Chapter 7

7.1 परिचय

इस अनुभाग में समघात रैखिक अवकल समीकरणों का परिचय दिया गया है। अवकल समीकरण गणित की वह शाखा है जिसमें किसी फलन और उसके अवकलन के बीच संबंध स्थापित किया जाता है। समघात रैखिक अवकल समीकरण वह समीकरण होते हैं जिनमें फलन और उसके अवकलन की शक्तियाँ केवल प्रथम घात तक होती हैं और समीकरण के सभी पदों में फलन या उसके अवकलन की कोई गुणन या भाग नहीं होती। समघात का अर्थ है कि समीकरण के सभी पदों में फलन या उसके अवकलन के साथ कोई स्वतंत्र पद नहीं जुड़ा होता। इस अध्याय में ऐसे समीकरणों के हल की विधियाँ, उनके गुण, और वास्तविक जीवन में उनकी उपयोगिता को विस्तार से समझाया गया है।

• अवकल समीकरणों का उपयोग भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान, और अर्थशास्त्र में होता है।
• समघात रैखिक अवकल समीकरणों में स्वतंत्र पद नहीं होता।
• रैखिक समीकरण में फलन और उसके अवकलन की शक्तियाँ केवल प्रथम घात तक होती हैं।
• इस अध्याय में हल की विधियाँ और उनके गुण विस्तार से दिए गए हैं।
• समघात रैखिक अवकल समीकरणों का हल प्रारंभिक शर्तों के आधार पर किया जाता है।
• 📌 अवकल समीकरण: वह समीकरण जिसमें किसी फलन और उसके अवकलन के बीच संबंध होता है।
• 📌 समघात: समीकरण में स्वतंत्र पद का अभाव।
• 📌 रैखिक: समीकरण में फलन और उसके अवकलन की शक्तियाँ प्रथम घात तक।

7.2 समघात रैखिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप

इस अनुभाग में समघात रैखिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप प्रस्तुत किया गया है। एक समघात रैखिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप निम्नलिखित है: dy/dx + p(x)y = 0, जहाँ p(x) कोई ज्ञात फलन है। यदि समीकरण उच्च क्रम का है, तो उसका सामान्य रूप d^n y/dx^n + p₁(x)d^(n−1)y/dx^(n−1) + ... + pₙ(x)y = 0 होता है। समीकरण में स्वतंत्र पद (यानि केवल x का पद) नहीं होता।

• समीकरण में केवल y और उसके अवकलन के पद होते हैं।
• समीकरण में स्वतंत्र पद का अभाव होता है।
• समीकरण का सामान्य रूप dy/dx + p(x)y = 0 है।
• उच्च क्रम के समीकरणों का सामान्य रूप भी दिया गया है।
• p(x) कोई ज्ञात फलन होता है।
• 📌 सामान्य रूप: समीकरण का मानक स्वरूप जिसमें सभी पद व्यवस्थित होते हैं।
• 📌 उच्च क्रम: समीकरण में अवकलन की शक्ति n तक होती है।