Chapter 4

4.1 परिचय

इस अनुभाग में अवकल समीकरणों की मूलभूत अवधारणा का परिचय दिया गया है। अवकल समीकरण गणित की वह शाखा है जिसमें अज्ञात फलनों तथा उनके अवकलजों के मध्य संबंधों का अध्ययन किया जाता है। यह भौतिकी, रसायन, जीवविज्ञान, अर्थशास्त्र, अभियांत्रिकी आदि में विविध घटनाओं का गणितीय निरूपण करने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, किसी वस्तु की गति, ताप का प्रवाह, विद्युत परिपथ में धारा का परिवर्तन आदि घटनाओं को अवकल समीकरणों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। अवकल समीकरण मुख्यतः दो प्रकार के होते हैं—साधारण अवकल समीकरण (Ordinary Differential Equation) तथा आंशिक अवकल समीकरण (Partial Differential Equation)। इस अध्याय में केवल प्रथम कोटि तथा उच्च घात के साधारण अवकल समीकरणों का अध्ययन किया जाएगा। प्रथम कोटि का अर्थ है कि समीकरण में सर्वाधिक उच्च अवकलज प्रथम कोटि का है। इस अनुभाग में यह भी स्पष्ट किया गया है कि अवकल समीकरणों के हल का अर्थ क्या है, तथा क्यों इनका अध्ययन आवश्यक है। हल का अर्थ है, वह फलन जो समीकरण को संतुष्ट करता है।

• अवकल समीकरण अज्ञात फलनों और उनके अवकलजों के मध्य संबंध को दर्शाते हैं।
• इनका उपयोग भौतिकी, रसायन, जीवविज्ञान आदि में घटनाओं के गणितीय मॉडल बनाने में होता है।
• साधारण अवकल समीकरणों में केवल एक स्वतंत्र चर होता है।
• प्रथम कोटि का अर्थ है कि समीकरण में सर्वाधिक उच्च अवकलज प्रथम कोटि का है।
• हल वह फलन है जो समीकरण को संतुष्ट करता है।
• 📌 अवकल समीकरण: वह समीकरण जिसमें अज्ञात फलन तथा उसके अवकलज सम्मिलित हों।
• 📌 साधारण अवकल समीकरण: जिसमें केवल एक स्वतंत्र चर हो।
• 📌 आंशिक अवकल समीकरण: जिसमें दो या अधिक स्वतंत्र चर हों।

4.2 अवकल समीकरण की परिभाषा एवं उदाहरण

इस अनुभाग में अवकल समीकरण की औपचारिक परिभाषा दी गई है। अवकल समीकरण वह समीकरण है जिसमें एक अज्ञात फलन तथा उसके अवकलज (एक या अधिक) सम्मिलित होते हैं। यदि समीकरण में केवल एक स्वतंत्र चर है, तो वह साधारण अवकल समीकरण कहलाता है। यदि दो या अधिक स्वतंत्र चर हैं, तो वह आंशिक अवकल समीकरण कहलाता है। अवकल समीकरणों के कई उदाहरण दिए गए हैं, जैसे: 1. dy/dx + y = eˣ 2. d²y/dx² + 5 dy/dx + 6y = 0 3. dx/dt = kx इन उदाहरणों के माध्यम से यह स्पष्ट किया गया है कि अवकल समीकरणों में फलन और उसके अवकलज के बीच संबंध होता है।

• अवकल समीकरण में अज्ञात फलन तथा उसके अवकलज सम्मिलित होते हैं।
• साधारण अवकल समीकरण में केवल एक स्वतंत्र चर होता है।
• आंशिक अवकल समीकरण में दो या अधिक स्वतंत्र चर होते हैं।
• अवकल समीकरणों के भिन्न-भिन्न प्रकार के उदाहरण दिए गए हैं।
• 📌 कोटि (Order): समीकरण में उपस्थित सर्वाधिक उच्च अवकलज की कोटि।
• 📌 घात (Degree): समीकरण में उच्चतम अवकलज की घात।