Chapter 8
Chapter 8 — अध्ययन नोट्स
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8.1 संख्यात्मक समाकलन का परिचय
व्याख्या8.1 संख्यात्मक समाकलन का परिचय
संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration) गणित की वह शाखा है जिसमें समाकलनों के मानों का अनुमानित (approximate) मान संख्यात्मक विधियों द्वारा निकाला जाता है। जब किसी फलन का विश्लेषणात्मक समाकलन कठिन या असंभव हो, तब संख्यात्मक विधियों का प्रयोग किया जाता है। ये विधियाँ मुख्यतः गणना के लिए उपयुक्त होती हैं, विशेषकर जब फलन केवल सारणीबद्ध (tabulated) रूप में दिया गया हो या जब डेटा बिंदुओं के रूप में हो। संख्यात्मक समाकलन का उद्देश्य निश्चित समाकलन (definite integration) के मान को समीपवर्ती (approximate) रूप में निकालना है। यह भौतिकी, अभियांत्रिकी, सांख्यिकी, अर्थशास्त्र आदि क्षेत्रों में अत्यंत उपयोगी है, जहाँ जटिल फलनों का समाकलन आवश्यक होता है।
- संख्यात्मक समाकलन का प्रयोग तब किया जाता है जब विश्लेषणात्मक समाकलन संभव न हो।
- यह विधि फलन के निश्चित समाकलन के मान का अनुमानित मान देती है।
- यह विधियाँ सारणीबद्ध डेटा या जटिल फलनों के लिए उपयुक्त हैं।
- संख्यात्मक समाकलन के प्रमुख तरीके: ट्रैपेज़ॉइडल नियम, सिम्पसन का नियम आदि।
- इन विधियों में त्रुटि (error) का भी अनुमान लगाया जा सकता है।
- यह भौतिकी, अभियांत्रिकी, सांख्यिकी आदि में अत्यंत उपयोगी है।
- 📌 संख्यात्मक समाकलन: समाकलन के मान का अनुमानित निर्धारण संख्यात्मक विधियों द्वारा।
- 📌 विश्लेषणात्मक समाकलन: समाकलन का वास्तविक हल, जिसमें फलन का प्रतिलोम (antiderivative) ज्ञात किया जाता है।
8.2 ट्रैपेज़ॉइडल नियम
सूत्र8.2 ट्रैपेज़ॉइडल नियम
ट्रैपेज़ॉइडल नियम (Trapezoidal Rule) संख्यात्मक समाकलन की एक सरल विधि है, जिसमें समाकलन के क्षेत्रफल को कई छोटे-छोटे समांतर चतुर्भुजों (trapeziums) में विभाजित किया जाता है। प्रत्येक उपखंड (subinterval) में फलन को रेखीय (linear) माना जाता है, जिससे क्षेत्रफल का अनुमान लगाया जाता है। यदि समाकलन I = ∫ₐᵇ f(x) dx का मान निकालना है, और [a, b] को n बराबर भागों में बाँटा गया है, तो प्रत्येक उपखंड की चौड़ाई h = (b - a)/n होगी। ट्रैपेज़ॉइडल नियम के अनुसार,
- ट्रैपेज़ॉइडल नियम में क्षेत्रफल को समांतर चतुर्भुजों के योग के रूप में लिया जाता है।
- यह विधि सरल और शीघ्र गणना के लिए उपयुक्त है।
- त्रुटि का अनुमान भी लगाया जा सकता है।
- यह विधि तब अधिक सटीक होती है जब फलन रेखीय के समीप हो।
- n जितना अधिक होगा, अनुमान उतना ही सटीक होगा।
- यह विधि अन्य जटिल विधियों की आधारशिला है।
- 📌 ट्रैपेज़ॉइडल नियम: समाकलन के क्षेत्रफल का अनुमान समांतर चतुर्भुजों के योग द्वारा।
- 📌 उपखंड (Subinterval): [a, b] को विभाजित करने वाले छोटे-छोटे खंड।
8.3 सिम्पसन का एक-तिहाई नियम
सूत्र8.3 सिम्पसन का एक-तिहाई नियम
सिम्पसन का एक-तिहाई नियम (Simpson's One-Third Rule) संख्यात्मक समाकलन की एक उन्नत विधि है, जिसमें फलन को प्रत्येक उपखंड में द्विघात (quadratic) बहुपद द्वारा निरूपित किया जाता है। यह नियम तब लागू होता है जब उपखंडों की संख्या (n) सम (even) हो। इस नियम
SLM - Numerical Analysis and Vector Calculus (Hindi) के सभी 18 अध्याय
Numerical Analysis and Vector Calculus · Vardhman Mahaveer Open University
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