Chapter 10

10.1 रेखिक बीजीय समीकरणों का परिचय

इस अनुभाग में रेखिक बीजीय समीकरणों की मूलभूत अवधारणा का परिचय दिया गया है। रेखिक बीजीय समीकरण वह समीकरण है जिसमें अज्ञात (variables) की शक्ति केवल 1 होती है और समीकरण में कोई गुणांक (coefficient) शून्य नहीं होता। रेखिक समीकरणों का सामान्य रूप Ax + By + Cz + ... = D होता है, जहाँ A, B, C,... गुणांक हैं और D एक स्थिरांक है। रेखिक समीकरणों का अध्ययन गणित, भौतिकी, इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र आदि में अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि ये वास्तविक जीवन की समस्याओं को मॉडल करने में सहायक होते हैं। इस अध्याय में हम रेखिक समीकरणों के हल, उनके गुण, तथा हल करने की विभिन्न विधियों का अध्ययन करेंगे।

• रेखिक बीजीय समीकरणों में अज्ञात की शक्ति 1 होती है।
• समीकरण का सामान्य रूप Ax + By + Cz + ... = D है।
• गुणांक (coefficient) वास्तविक या जटिल संख्याएँ हो सकते हैं।
• रेखिक समीकरणों का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में समस्याओं के समाधान हेतु होता है।
• रेखिक समीकरणों के हल की विधियाँ अध्याय में विस्तार से दी गई हैं।
• 📌 रेखिक समीकरण: ऐसा समीकरण जिसमें अज्ञात की शक्ति 1 होती है।
• 📌 गुणांक: समीकरण में अज्ञात के साथ जुड़ी संख्या।

10.2 रेखिक समीकरणों के प्रकार

इस अनुभाग में रेखिक समीकरणों के विभिन्न प्रकारों का वर्णन किया गया है। रेखिक समीकरणों को अज्ञातों की संख्या के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है: एक अज्ञात वाले, दो अज्ञात वाले, तीन अज्ञात वाले आदि। एक अज्ञात वाले समीकरण का सामान्य रूप ax = b होता है। दो अज्ञात वाले समीकरण ax + by = c के रूप में होते हैं। तीन अज्ञात वाले समीकरण ax + by + cz = d के रूप में होते हैं। समीकरणों के प्रकार के अनुसार हल करने की विधियाँ भी बदलती हैं।

• रेखिक समीकरणों को अज्ञातों की संख्या के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है।
• एक अज्ञात वाले समीकरण ax = b का हल x = b/a है।
• दो अज्ञात वाले समीकरण ax + by = c का हल समीकरणों के युग्म द्वारा मिलता है।
• तीन अज्ञात वाले समीकरण ax + by + cz = d का हल समीकरणों के त्रिक द्वारा मिलता है।
• समीकरणों के प्रकार के अनुसार हल की विधि चुनी जाती है।
• 📌 अज्ञात: समीकरण में वह राशि जिसका मान ज्ञात नहीं है।
• 📌 युग्म: दो समीकरणों का समूह।