Chapter 12

12.1 सदिशों की पुनरावृत्ति

इस अनुभाग में सदिश (Vector) की मूलभूत अवधारणा की पुनरावृत्ति की जाती है। सदिश वे राशियाँ होती हैं जिनके पास परिमाण (Magnitude) और दिशा (Direction) दोनों होते हैं। उदाहरण के लिए, विस्थापन, वेग, त्वरण, बल आदि। सदिशों का निरूपण प्रायः तीर (Arrow) द्वारा किया जाता है, जिसमें तीर की लंबाई परिमाण और तीर की दिशा, दिशा को दर्शाती है। सदिशों को जोड़ने, घटाने, गुणा करने के नियमों को इस अनुभाग में विस्तार से समझाया गया है। सदिशों के लिए त्रि-आयामी निर्देशांक (x, y, z) का उपयोग किया जाता है। यदि A = a₁i + a₂j + a₃k और B = b₁i + b₂j + b₃k, तो इनका योग, घटाव, और अन्य संक्रियाएँ सरलता से की जा सकती हैं।

• सदिश में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
• सदिशों का निरूपण तीर द्वारा किया जाता है।
• त्रि-आयामी निर्देशांक में सदिशों को लिखा जाता है।
• सदिशों का योग, घटाव, गुणा के नियम होते हैं।
• सदिशों के उदाहरण: विस्थापन, वेग, बल।
• 📌 सदिश: ऐसी राशि जिसके पास परिमाण और दिशा दोनों हों।
• 📌 परिमाण: सदिश की लंबाई या माप।
• 📌 दिशा: वह दिशा जिसमें सदिश इंगित करता है।

12.2 सदिश फलन

सदिश फलन (Vector Function) वह फलन है जिसमें स्वतंत्र चर (जैसे t या x, y, z) के प्रत्येक मान के लिए एक अद्वितीय सदिश मान प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, किसी कण की स्थिति सदिश r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k के रूप में व्यक्त की जाती है, जहाँ x(t), y(t), z(t) समय t के फलन हैं। सदिश फलन का उपयोग भौतिकी, अभियांत्रिकी, और गणित में किसी कण की गति, क्षेत्र, बल आदि को निरूपित करने के लिए किया जाता है।

• सदिश फलन स्वतंत्र चर के लिए एक सदिश मान देता है।
• स्थिति सदिश r(t) एक सामान्य उदाहरण है।
• x(t), y(t), z(t) स्वतंत्र चर के फलन होते हैं।
• सदिश फलन का उपयोग गति, क्षेत्र आदि में होता है।
• 📌 सदिश फलन: स्वतंत्र चर के लिए सदिश मान देने वाला फलन।
• 📌 स्थिति सदिश: किसी बिंदु की स्थिति को दर्शाने वाला सदिश।