Chapter 15

15.1 परिचय

इस अनुभाग में रेखा समाकल, पृष्ठ समाकल एवं आयतन समाकल की मूल अवधारणाओं का परिचय दिया गया है। समाकलन गणित की एक महत्वपूर्ण शाखा है, जिसका उपयोग विभिन्न प्रकार के क्षेत्रों, पृष्ठों एवं आयतनों की गणना में किया जाता है। रेखा समाकलन का अर्थ है किसी वक्र या रेखा के साथ किसी फलन का समाकलन करना, जबकि पृष्ठ समाकलन का प्रयोग किसी सतह पर फलन का समाकलन करने के लिए किया जाता है। आयतन समाकलन त्रिविमीय क्षेत्रों के भीतर फलनों के समाकल के लिए प्रयुक्त होता है। इस अध्याय में हम इन तीनों प्रकार के समाकलों की परिभाषा, गणना की विधियाँ, तथा उनके भौतिक एवं गणितीय अनुप्रयोगों का अध्ययन करेंगे। रेखा समाकल का उपयोग विद्युतचुंबकीय क्षेत्र, द्रव प्रवाह, एवं कार्य-ऊर्जा सिद्धांत में किया जाता है। पृष्ठ समाकलन से हम सतहों पर प्रवाह, क्षेत्रफल, एवं अन्य भौतिक राशियों की गणना कर सकते हैं। आयतन समाकलन से किसी ठोस के भीतर द्रव्यमान, आवेश, या तापमान का वितरण ज्ञात किया जा सकता है।

• रेखा, पृष्ठ एवं आयतन समाकल की मूलभूत अवधारणाएँ प्रस्तुत की गई हैं।
• रेखा समाकलन वक्रों के साथ फलनों के समाकल के लिए प्रयुक्त होता है।
• पृष्ठ समाकलन सतहों पर फलनों के समाकल के लिए प्रयुक्त होता है।
• आयतन समाकलन त्रिविमीय क्षेत्रों के भीतर फलनों के समाकल के लिए उपयोगी है।
• इन समाकलों के भौतिक एवं गणितीय अनुप्रयोगों का उल्लेख किया गया है।
• 📌 रेखा समाकल: किसी वक्र के साथ फलन का समाकल।
• 📌 पृष्ठ समाकल: किसी सतह पर फलन का समाकल।
• 📌 आयतन समाकल: किसी त्रिविमीय क्षेत्र के भीतर फलन का समाकल।

15.2 रेखा समाकल (Line Integrals)

रेखा समाकल किसी वक्र के साथ किसी फलन का समाकल होता है। इसे वक्र समाकल भी कहा जाता है। यदि कोई वेक्टर फलन F(x, y, z) किसी वक्र C पर परिभाषित है, तो रेखा समाकल का अर्थ है वक्र C के साथ F का समाकलन। इसे निम्न प्रकार से लिखा जाता है: ∫_C F ⋅ dr, जहाँ dr वक्र के साथ एक सूक्ष्म विस्थापन वेक्टर है। यदि F(x, y, z) = P i + Q j + R k है, तो रेखा समाकल ∫_C (P dx + Q dy + R dz) के रूप में लिखा जाता है। रेखा समाकल का भौतिक अर्थ कार्य, ऊर्जा, एवं प्रवाह की गणना में होता है। रेखा समाकल की गणना के लिए वक्र C को उपयुक्त पैरामीटर t के रूप में व्यक्त किया जाता है, फिर dx, dy, dz को dt के रूप में लिखा जाता है, एवं समाकलन सीमा t₁ से t₂ तक होती है।

• रेखा समाकल वक्रों के साथ फलनों के समाकल के लिए प्रयुक्त होता है।
• इसे ∫_C F ⋅ dr या ∫_C (P dx + Q dy + R dz) के रूप में लिखा जाता है।
• रेखा समाकल का भौतिक अर्थ कार्य, ऊर्जा, एवं प्रवाह की गणना में होता है।
• वक्र को पैरामीटर t के रूप में व्यक्त कर समाकलन किया जाता है।
• रेखा समाकल स्केलर एवं वेक्टर दोनों फलनों के लिए परिभाषित किया जा सकता है।
• 📌 रेखा समाकल: वक्र के साथ फलन का समाकल।
• 📌 वक्र: कोई घुमावदार या सीधी रेखा, जिस पर समाकलन किया जाता है।