Chapter 8

8.1 परिचय

इस अनुभाग में संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration) की आवश्यकता और महत्व को विस्तार से समझाया गया है। गणित में कई बार हमें ऐसे फलनों का समाकलन करना होता है जिनका विश्लेषणात्मक (Analytical) रूप से समाकलन करना संभव नहीं होता या बहुत कठिन होता है। ऐसे में हम संख्यात्मक विधियों का प्रयोग करते हैं, जिससे समाकलन का मान अनुमानित (Approximate) रूप में प्राप्त किया जा सकता है। संख्यात्मक समाकलन का उपयोग भौतिकी, अभियंत्रण, सांख्यिकी, अर्थशास्त्र आदि अनेक क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे - क्षेत्रफल, आयतन, कार्य, ऊर्जा इत्यादि की गणना में। इस अध्याय में विभिन्न संख्यात्मक समाकलन विधियों का अध्ययन किया जाएगा, जैसे - त्रैपेज़ियम नियम, सिम्पसन का नियम, न्यूटन-कॉट्स सूत्र आदि।

• संख्यात्मक समाकलन का उद्देश्य ऐसे समाकलनों का मान ज्ञात करना है जिन्हें सीधे हल करना कठिन है।
• यह विधि फलन के ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल का अनुमान लगाती है।
• संख्यात्मक समाकलन में त्रुटि (Error) का आकलन भी महत्वपूर्ण है।
• वास्तविक जीवन की समस्याओं में संख्यात्मक समाकलन का व्यापक उपयोग होता है।
• इस अध्याय में मुख्यतः त्रैपेज़ियम नियम, सिम्पसन का नियम आदि का अध्ययन किया जाएगा।
• 📌 संख्यात्मक समाकलन: समाकलन का अनुमानित मान ज्ञात करने की विधि।
• 📌 त्रुटि (Error): अनुमानित और वास्तविक मान के बीच का अंतर।

8.2 त्रैपेज़ियम नियम

त्रैपेज़ियम नियम संख्यात्मक समाकलन की एक सरल और लोकप्रिय विधि है। इसमें समाकलन के क्षेत्र को छोटे-छोटे समद्विबाहु त्रैपेज़ियमों में विभाजित किया जाता है और प्रत्येक त्रैपेज़ियम का क्षेत्रफल जोड़कर कुल क्षेत्रफल का अनुमान लगाया जाता है। यदि फलन f(x) को [a, b] अंतराल में n समभागों में विभाजित किया जाए, तो प्रत्येक भाग की चौड़ाई h = (b - a)/n होगी। फिर, समाकलन का अनुमानित मान निम्नलिखित सूत्र से ज्ञात किया जाता है: ∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/2) × [f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) + ... + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)] जहाँ x₀ = a, x₁ = a + h, x₂ = a + 2h, ..., xₙ = b। त्रैपेज़ियम नियम का उपयोग सरलता से किया जा सकता है और यह तब विशेष रूप से उपयोगी है जब फलन रेखीय के समीप हो।

• त्रैपेज़ियम नियम में क्षेत्र को त्रैपेज़ियमों में विभाजित किया जाता है।
• प्रत्येक त्रैपेज़ियम का क्षेत्रफल जोड़कर कुल क्षेत्रफल ज्ञात किया जाता है।
• सूत्र में सिरों के मान एक बार और मध्य के मान दो बार लिए जाते हैं।
• यह विधि सरल है लेकिन फलन के वक्रता पर निर्भर करती है।
• त्रुटि का अनुमान भी संभव है।
• 📌 त्रैपेज़ियम नियम: संख्यात्मक समाकलन की एक विधि जिसमें क्षेत्र को त्रैपेज़ियमों में विभाजित किया जाता है।
• 📌 h: प्रत्येक उपविभाजन की चौड़ाई।