Chapter 10
Chapter 10 — अध्ययन नोट्स
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10.1 रेखिक बीजीय समीकरणों का परिचय
व्याख्या10.1 रेखिक बीजीय समीकरणों का परिचय
इस अनुभाग में रेखिक बीजीय समीकरण (Linear Algebraic Equations) के मूलभूत सिद्धांतों का परिचय दिया गया है। रेखिक समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनमें चर (variables) की घात अधिकतम 1 होती है। उदाहरण के लिए, ax + by = c एक द्विचर रेखिक समीकरण है, जहाँ a, b, और c नियतांक (constants) हैं। रेखिक समीकरणों का अध्ययन गणित, भौतिकी, अभियांत्रिकी, सांख्यिकी आदि क्षेत्रों में महत्वपूर्ण है। इस खंड में यह भी बताया गया है कि रेखिक समीकरणों के समूह (system of linear equations) का समाधान कैसे निकाला जाता है। रेखिक समीकरणों के हल (solutions) वे मान होते हैं, जो सभी समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। रेखिक समीकरणों के प्रकार - संगत (consistent) और असंगत (inconsistent) - का भी उल्लेख किया गया है। संगत समीकरणों के एक या अधिक हल होते हैं, जबकि असंगत समीकरणों का कोई हल नहीं होता।
- रेखिक समीकरणों में चर की घात अधिकतम 1 होती है।
- रेखिक समीकरणों के समूह को हल करने के लिए विभिन्न विधियाँ हैं।
- संगत समीकरणों के एक या अधिक हल होते हैं।
- असंगत समीकरणों का कोई हल नहीं होता।
- रेखिक समीकरणों का वास्तविक जीवन में व्यापक उपयोग है।
- 📌 रेखिक समीकरण: ऐसा समीकरण जिसमें चर की घात 1 हो।
- 📌 संगत समीकरण: जिनके हल होते हैं।
- 📌 असंगत समीकरण: जिनके हल नहीं होते।
10.2 रेखिक समीकरणों के समूह का वर्गीकरण
अवधारणा10.2 रेखिक समीकरणों के समूह का वर्गीकरण
इस अनुभाग में रेखिक समीकरणों के समूह (system of linear equations) के वर्गीकरण पर चर्चा की गई है। समीकरणों के समूह को उनकी संगति (consistency) के आधार पर तीन भागों में बाँटा गया है: (i) संगत एवं स्वतंत्र हल (Consistent and Independent Solution), (ii) संगत एवं असंख्य हल (Consistent and Infinite Solutions), (iii) असंगत (Inconsistent)। संगत एवं स्वतंत्र हल वाले समीकरणों का हल एकमात्र होता है, जबकि संगत एवं असंख्य हल वाले समीकरणों के अनंत हल होते हैं। असंगत समीकरणों का कोई हल नहीं होता। इस खंड में समीकरणों के ग्राफिकल निरूपण द्वारा भी इन वर्गों को समझाया गया है।
- रेखिक समीकरणों के समूह को संगति के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है।
- संगत एवं स्वतंत्र हल का अर्थ है एकमात्र हल।
- संगत एवं असंख्य हल का अर्थ है अनंत हल।
- असंगत समीकरणों का कोई हल नहीं होता।
- ग्राफिकल निरूपण से वर्गीकरण को समझना आसान होता है।
- 📌 संगत समीकरण: हल संभव है।
- 📌 असंगत समीकरण: हल संभव नहीं।
- 📌 स्वतंत्र हल: केवल एक हल।
10.3 रेखिक समीकरणों के हल की ग्राफिक विधि
व्याख्या10.3 रेखिक समीकरणों के हल की ग्राफिक विधि
इस अनुभाग में रेखिक समीकरणों के समूह को हल करने की ग्राफिक विधि (Graphical Method) का विस्तार से वर्णन किया गया है। इसमें बताया गया है कि प्रत्येक समीकरण को एक रेखा के रूप में ग्राफ पर निरूपित किया जा सकता है। जहाँ ये रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, वही
SLM - Numerical Analysis and Vector Calculus (Hindi) के सभी 18 अध्याय
Numerical Analysis and Vector Calculus · Vardhman Mahaveer Open University
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