Chapter 12

12.1 सदिश और सदिश क्षेत्र

इस अनुभाग में सदिश (Vector) और सदिश क्षेत्र (Vector Field) की मूलभूत परिभाषाएँ और उनके गुणों का विस्तार से वर्णन किया गया है। सदिश वह राशि होती है जिसमें परिमाण (Magnitude) के साथ-साथ दिशा (Direction) भी होती है। उदाहरण के लिए, वेग, बल, विस्थापन आदि। दूसरी ओर, सदिश क्षेत्र वह गणितीय संरचना है जिसमें प्रत्येक बिंदु पर एक सदिश जुड़ा होता है। उदाहरण के लिए, किसी क्षेत्र में वायु का वेग या चुंबकीय क्षेत्र। इस अनुभाग में यह भी बताया गया है कि सदिशों का योग, घटाव, और गुणा कैसे किया जाता है। सदिशों का योग त्रिभुज नियम या समांतर चतुर्भुज नियम द्वारा किया जाता है। सदिश क्षेत्र का भौतिक महत्व भी समझाया गया है, जैसे कि विद्युत क्षेत्र, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र आदि।

• सदिश में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
• सदिश क्षेत्र प्रत्येक बिंदु पर एक सदिश को दर्शाता है।
• सदिशों का योग त्रिभुज या समांतर चतुर्भुज नियम से किया जाता है।
• बल, वेग, विस्थापन आदि सदिश राशियाँ हैं।
• सदिश क्षेत्र का भौतिक महत्व विद्युत, चुंबकीय, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों में है।
• 📌 सदिश: वह राशि जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
• 📌 सदिश क्षेत्र: वह क्षेत्र जिसमें प्रत्येक बिंदु पर एक सदिश जुड़ा होता है।

12.2 सदिश फलन

इस अनुभाग में सदिश फलन (Vector Function) की परिभाषा, उदाहरण और उनके गुणों का विस्तार से वर्णन किया गया है। सदिश फलन वह फलन है जिसमें स्वतंत्र चर (जैसे t) के प्रत्येक मान के लिए एक सदिश मान प्राप्त होता है। इसे R(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k के रूप में लिखा जाता है। सदिश फलन का भौतिक अर्थ यह है कि यह किसी कण की गति, बल, या अन्य सदिश राशियों का समय के साथ परिवर्तन दर्शाता है। इस अनुभाग में यह भी बताया गया है कि सदिश फलनों का योग, घटाव, और गुणा कैसे किया जाता है।

• सदिश फलन स्वतंत्र चर के प्रत्येक मान के लिए एक सदिश देता है।
• R(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k सदिश फलन का सामान्य रूप है।
• सदिश फलनों का योग और घटाव उनके घटकों के अनुसार किया जाता है।
• सदिश फलन गति, बल आदि के समय के साथ परिवर्तन को दर्शाता है।
• 📌 सदिश फलन: वह फलन जिसमें स्वतंत्र चर के लिए एक सदिश मान प्राप्त होता है।