Question 1

50 kg द्रव्यमान की 20 cm लंबी तानित डोरी पर 200 N बल का तनाव है। यदि इस डोरी के एक सिरे को अनुप्रस्थ झटका दिया जाए तो उत्पन्न विक्षोभ कितने समय में दूसरे सिरे तक पहुँचेगा ?

Accepted Answer

दी गई जानकारी:
द्रव्यमान m = 2.50 kg
लंबाई L = 20 cm = 0.20 m
तनाव T = 200 N

तरंग की चाल v = √(T/μ), जहाँ μ = द्रव्यमान घनत्व = m/L

μ = 2.50 / 0.20 = 12.5 kg/m

v = √(200 / 12.5) = √16 = 4 m/s

समय t = दूरी / चाल = L / v = 0.20 / 4 = 0.05 s

अतः विक्षोभ दूसरे सिरे तक पहुँचने में 0.05 सेकंड लगेंगे। — तरंग की चाल निकालने के लिए तनाव और द्रव्यमान घनत्व का उपयोग किया जाता है।

चाल v = √(T/μ)

जहाँ μ = द्रव्यमान / लंबाई

फिर समय = दूरी / चाल

Question 2

m ऊँची मीनार के शीर्ष से गिराया गया पत्थर मीनार के आधार पर बने तालाब के पानी से टकराता है। यदि वायु में ध्वनि की चाल 340 m s⁻¹ है तो पत्थर के टकराने की ध्वनि मीनार के शीर्ष पर पत्थर गिराने के कितनी देर बाद सुनाई देगी? ($g = 9.8$ m s⁻²)

Accepted Answer

दी गई जानकारी:
ऊँचाई h = 300 m
ध्वनि की चाल v_sound = 340 m/s
गुरुत्वाकर्षण त्वरण g = 9.8 m/s²

पत्थर गिरने में लगने वाला समय t_fall = √(2h/g) = √(2×300/9.8) = √(61.22) ≈ 7.82 s

पत्थर के टकराने की ध्वनि मीनार के शीर्ष तक आने में लगने वाला समय t_sound = दूरी / चाल = 300 / 340 ≈ 0.882 s

कुल विलंब = t_fall + t_sound = 7.82 + 0.882 ≈ 8.70 s

अतः पत्थर के गिरने की ध्वनि लगभग 8.7 सेकंड बाद मीनार के शीर्ष पर सुनाई देगी। — पत्थर गिरने में लगने वाला समय गुरुत्वाकर्षण के कारण गिरने के नियम से निकाला जाता है।

ध्वनि के आने का समय दूरी को ध्वनि की चाल से भाग देकर निकाला जाता है।

दोनों समय जोड़कर कुल विलंब ज्ञात किया जाता है।

Question 3

0 m लंबे स्टील के तार का द्रव्यमान 2.10 kg है। तार में तनाव कितना होना चाहिए ताकि उस तार पर किसी अनुप्रस्थ तरंग की चाल 20 °C पर शुष्क वायु में ध्वनि की चाल (343 m s⁻¹) के बराबर हो।

Accepted Answer

दी गई जानकारी:
लंबाई L = 12.0 m
द्रव्यमान m = 2.10 kg
तरंग की चाल v = 343 m/s

द्रव्यमान घनत्व μ = m / L = 2.10 / 12.0 = 0.175 kg/m

तनाव T = μ v² = 0.175 × (343)² = 0.175 × 117,649 = 20,588.575 N

अतः तार में तनाव लगभग 20,589 N होना चाहिए। — तरंग की चाल v = √(T/μ) से,

T = μ v²

द्रव्यमान घनत्व μ निकालकर तनाव T ज्ञात किया गया।

Question 4

सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ का उपयोग करके स्पष्ट कीजिए कि वायु में ध्वनि की चाल क्यों

(a) दाब पर निर्भर नहीं करती,
(b) ताप के साथ बढ़ जाती है, तथा
(c) आर्द्रता के साथ बढ़ जाती है ?

Accepted Answer

(a) वायु में ध्वनि की चाल v = √(γP/ρ) है। यहाँ P वायु का दाब और ρ उसका घनत्व है। तापमान और दाब के अनुसार वायु की घनत्व और दाब दोनों बदलते हैं। आदर्श गैस समीकरण के अनुसार P/ρ = RT/M (जहाँ R गैस स्थिरांक, T तापमान, M मोलर द्रव्यमान) होता है। अतः v = √(γRT/M) होता है। इस प्रकार दाब P और घनत्व ρ दोनों का अनुपात स्थिर रहता है, इसलिए ध्वनि की चाल दाब पर निर्भर नहीं करती।

(b) तापमान T के बढ़ने पर √T के अनुपात में ध्वनि की चाल बढ़ती है क्योंकि v = √(γRT/M)।

(c) आर्द्रता बढ़ने पर वायु में जलवाष्प की मात्रा बढ़ती है, जो कि वायु की तुलना में कम घनत्व वाली होती है। इससे कुल घनत्व ρ कम हो जाता है, जिससे v = √(γP/ρ) बढ़ जाती है। अतः आर्द्रता के साथ ध्वनि की चाल बढ़ जाती है। — ध्वनि की चाल का सूत्र वायु के दाब, घनत्व और तापमान के बीच संबंध को दर्शाता है।

आदर्श गैस समीकरण से दाब और घनत्व के अनुपात को समझकर ध्वनि की चाल पर दाब के प्रभाव को खारिज किया जाता है।

तापमान और आर्द्रता के प्रभाव को घनत्व और तापमान के परिवर्तन के आधार पर समझाया जाता है।

Question 5

आपने यह सीखा है कि एक विमा में कोई प्रगामी तरंग फलन $y = f(x, t)$ द्वारा निरूपित की जाती है जिसमें $x$ तथा $t$ को $x - vt$ अथवा $x + vt$ अर्थात् $y = f(x \pm vt)$ संयोजन में प्रकट होना चाहिए। क्या इसका प्रतिलोम भी सत्य है ? नीचे दिए गए $y$ के प्रत्येक फलन का परीक्षण करके यह बताइए कि वह किसी प्रगामी तरंग को निरूपित कर सकता है:

(a) $(x - vt)^2$
(b) $\log \left[ \frac{(x + vt)}{x_0} \right]$
(c) $1 / (x + vt)$

Accepted Answer

प्रगामी तरंग का फलन $y = f(x \pm vt)$ होना आवश्यक है।

(a) $(x - vt)^2$ : यह भी $x - vt$ का फलन है, अतः प्रगामी तरंग निरूपित कर सकता है।

(b) $\log \left[ \frac{(x + vt)}{x_0} \right]$ : यह भी $x + vt$ का फलन है, अतः प्रगामी तरंग निरूपित कर सकता है।

(c) $1 / (x + vt)$ : यह भी $x + vt$ का फलन है, अतः प्रगामी तरंग निरूपित कर सकता है।

अतः सभी फलन प्रगामी तरंग को निरूपित कर सकते हैं। — प्रगामी तरंग का सामान्य रूप $y = f(x \pm vt)$ होता है।

यदि फलन केवल $x \pm vt$ के रूप में व्यक्त हो, तो वह प्रगामी तरंग है।

सभी दिए गए फलन इसी रूप में हैं।

Question 6

कोई चमगादड़ वायु में 1000 kHz आवृत्ति की पराश्रव्य ध्वनि उत्सर्जित करता है। यदि यह ध्वनि जल के पृष्ठ से टकराती है, तो (a) परावर्तित ध्वनि तथा (b) पारगमित ध्वनि की तरंगदैर्घ्य ज्ञात कीजिए। वायु तथा जल में ध्वनि की चाल क्रमश: 340 m s⁻¹ तथा 1486 m s⁻¹ है।

Accepted Answer

दी गई जानकारी:
आवृत्ति f = 1000 kHz = 1 × 10^6 Hz
ध्वनि की चाल वायु में v_air = 340 m/s
ध्वनि की चाल जल में v_water = 1486 m/s

(a) वायु में तरंगदैर्घ्य λ_air = v_air / f = 340 / (1 × 10^6) = 3.4 × 10^{-4} m = 0.34 mm

(b) जल में तरंगदैर्घ्य λ_water = v_water / f = 1486 / (1 × 10^6) = 1.486 × 10^{-3} m = 1.486 mm

अतः
परावर्तित ध्वनि की तरंगदैर्घ्य 0.34 mm और पारगमित ध्वनि की तरंगदैर्घ्य 1.486 mm है। — तरंगदैर्घ्य λ = चाल / आवृत्ति

दोनों माध्यमों में आवृत्ति समान रहती है।

चाल के अनुसार तरंगदैर्घ्य अलग-अलग होंगे।

Question 7

किसी अस्पताल में ऊतकों में ट्यूबर्स का पता लगाने के लिए पराश्रव्य स्कैनर का प्रयोग किया जाता है। उस ऊतक में ध्वनि में तरंगदैर्घ्य कितनी है जिसमें ध्वनि की चाल 1.7 k m s⁻¹ है ? स्कैनर की प्रचालन आवृत्ति 4.2 MHz है।

Accepted Answer

दी गई जानकारी:
ध्वनि की चाल v = 1.7 km/s = 1700 m/s
आवृत्ति f = 4.2 MHz = 4.2 × 10^6 Hz

तरंगदैर्घ्य λ = v / f = 1700 / (4.2 × 10^6) ≈ 4.05 × 10^{-4} m = 0.405 mm

अतः ऊतक में ध्वनि की तरंगदैर्घ्य लगभग 0.405 मिलीमीटर है। — तरंगदैर्घ्य λ = चाल / आवृत्ति

यह सूत्र सीधे लागू किया गया।

Question 8

किसी डोरी पर कोई अनुप्रस्थ गुणावृत्ति तरंग का वर्णन

$$
y (x, t) = 3.0 \sin \left(36 t + 0.018 x + \pi / 4\right)
$$

द्वारा किया जाता है। यहाँ x तथा y सेंटीमीटर में तथा t सेकंड में है। x की धनात्मक दिशा बाएँ से दाएँ है।
(a) क्या यह प्रगामी तरंग है अथवा अप्रगामी ? यदि यह प्रगामी तरंग है तो इसकी चाल तथा संचरण की दिशा क्या है ?
(b) इसका आयाम तथा आवृत्ति क्या है ?
(c) उद्गम के समय इसकी आरंभिक कला क्या है ?
(d) इस तरंग में दो क्रमागत शिखरों के बीच की न्यूनतम दूरी क्या है ?

Accepted Answer

(a) तरंग का फलन है:
 y(x,t) = 3.0 sin(36 t + 0.018 x + π/4)

सामान्य प्रगामी तरंग का रूप y = f(kx - ωt) या y = f(ωt - kx) होता है। यहाँ तर्क में x और t दोनों धनात्मक हैं, और चिन्ह + है, अतः यह अप्रगामी तरंग है।

यदि इसे y = 3.0 sin(36 t + 0.018 x + π/4) = 3.0 sin[0.018 x + 36 t + π/4] के रूप में देखें, तो इसे y = 3.0 sin(kx + ωt + φ) कहा जा सकता है। यह अप्रगामी तरंग है क्योंकि kx और ωt का योग है।

(b) आयाम A = 3.0 cm

ω = 36 rad/s से आवृत्ति f = ω / (2π) = 36 / (2 × 3.1416) ≈ 5.73 Hz

(c) t = 0 पर कला φ = 0.018 x + π/4

(d) तरंगदैर्घ्य λ = 2π / k = 2π / 0.018 = 349.07 cm = 3.49 m

दो शिखरों के बीच न्यूनतम दूरी λ = 3.49 m है। — तरंग के तर्क में x और t के चिन्ह से प्रगामी या अप्रगामी होने का निर्धारण होता है।

आयाम, आवृत्ति ω से निकाली जाती है।

कलांतर φ को तर्क से पढ़ा जाता है।

तरंगदैर्घ्य k से निकाला जाता है।

Question 9

प्रश्न 14.8 में वर्णित तरंग के लिए x = 0 cm, 2 cm तथा 4 cm के लिए विस्थापन (y) और समय (t) के बीच ग्राफ आलेखित कीजिए। इन ग्राफों की आकृति क्या है ? आयाम, आवृत्ति अथवा कला में से किन पहलुओं में प्रगामी तरंग में दोलनी गति एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर भिन्न है ?

Accepted Answer

प्रश्न 14.8 के अनुसार:

तरंग: y = 3.0 sin(36 t + 0.018 x + π/4)

x = 0 cm: y = 3.0 sin(36 t + π/4)
x = 2 cm: y = 3.0 sin(36 t + 0.036 + π/4)
x = 4 cm: y = 3.0 sin(36 t + 0.072 + π/4)

प्रत्येक बिंदु पर y और t के बीच साइन तरंग के रूप में ग्राफ बनेगा, जो एक दूसरे से कला (phase) में भिन्न होंगे।

आयाम (3.0 cm) और आवृत्ति (5.73 Hz) सभी बिंदुओं पर समान रहेंगे। केवल कला भिन्न होगी।

इसलिए, प्रगामी तरंग में दोलनी गति का आयाम और आवृत्ति सभी बिंदुओं पर समान होती है, पर कला बिंदुओं के अनुसार भिन्न होती है। — प्रत्येक x के लिए y का फलन समय t के सापेक्ष साइन तरंग है।

आयाम और आवृत्ति स्थिर हैं, कला स्थान के अनुसार बदलती है।

Question 10

प्रगामी गुणावृत्ति तरंग
$$
y(x, t) = 2.0 \cos 2\pi (10t - 0.0080x + 0.35)
$$
जिसमें x तथा y को m में तथा t को s में लिया गया है, के लिए उन दो दोलनी बिंदुओं के बीच कलांतर कितना है जिनके बीच की दूरी है
(a) 4 m
(b) 0.5 m
(c) $\frac{\lambda}{3\lambda}$
(d) $\frac{2}{3\lambda}$

Accepted Answer

तरंग का फलन है:
y(x,t) = 2.0 cos 2π (10 t - 0.0080 x + 0.35)

यहाँ ω = 2π × 10 rad/s, k = 2π × 0.0080 m⁻¹ = 0.016π m⁻¹

तरंगदैर्घ्य λ = 2π / k = 2π / (0.016π) = 2π / 0.016π = 2 / 0.016 = 125 m

दो दोलनी बिंदुओं के बीच कलांतर Δφ = k Δx

(a) Δx = 4 m
Δφ = k × 4 = 0.016π × 4 = 0.064π rad

(b) Δx = 0.5 m
Δφ = 0.016π × 0.5 = 0.008π rad

(c) Δx = λ / 3 = 125 / 3 ≈ 41.67 m
Δφ = k × Δx = (2π / λ) × (λ / 3) = 2π / 3 rad

(d) Δx = 2 / 3 λ = (2/3) × 125 ≈ 83.33 m
Δφ = k × Δx = (2π / λ) × (2λ / 3) = 4π / 3 rad

अतः कलांतर क्रमशः (a) 0.064π, (b) 0.008π, (c) 2π/3, (d) 4π/3 रेडियन है। — कलांतर Δφ = k Δx होता है।

तरंगदैर्घ्य λ = 2π / k

दूरी के अनुसार कलांतर निकाला गया।

Question 11

दोनों सिरों पर परिबद्ध किसी तानित डोरी पर अनुप्रस्थ विस्थापन को इस प्रकार व्यक्त किया गया है
$$
y(x, t) = 0.06 \sin \left( \frac{2\pi}{3}x \right) \cos (120\pi t)
$$
जिसमें x तथा y को m तथा t को s में लिया गया है। इसमें डोरी की लंबाई 1.5 m है जिसकी संहति 3.0 × 10⁻² kg है। निम्नलिखित का उत्तर दीजिए :
(a) यह फलन प्रगामी तरंग अथवा अप्रगामी तरंग में से किसे निरूपित करता है ?
(b) इसकी व्याख्या विपरीत दिशाओं में गमन करती दो तरंगों के अध्यारोपण के रूप में करते हुए प्रत्येक तरंग की तरंगदैर्घ्य, आवृत्ति तथा चाल ज्ञात कीजिए।
(c) डोरी में तनाव ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

(a) दिया गया फलन y(x,t) = 0.06 sin(2πx/3) cos(120π t) अप्रगामी तरंग को निरूपित करता है क्योंकि यह दो विपरीत दिशाओं में चलने वाली तरंगों का अध्यारोपण है।

(b) इसे y = 2A sin kx cos ωt के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ A = 0.03 m

यह दो प्रगामी तरंगों y₁ = A sin(kx - ωt) और y₂ = A sin(kx + ωt) का अध्यारोपण है।

तरंग संख्या k = 2π / λ = 2π / 3 ⇒ λ = 3 m

आवृत्ति f = ω / (2π) = 120π / (2π) = 60 Hz

चाल v = f λ = 60 × 3 = 180 m/s

(c) द्रव्यमान संहति μ = 3.0 × 10⁻² kg/m

तनाव T = μ v² = 0.03 × (180)² = 0.03 × 32400 = 972 N

अतः डोरी में तनाव 972 N है। — अप्रगामी तरंग दो विपरीत दिशाओं में चलने वाली तरंगों का अध्यारोपण होती है।

तरंगदैर्घ्य k से, आवृत्ति ω से, चाल fλ से निकाली जाती है।

तनाव μ और v से T = μ v² द्वारा ज्ञात होता है।

Question 12

(i) प्रश्न 14.11 में वर्णित डोरी पर तरंग के लिए बताइए कि क्या डोरी के सभी बिंदु समान (a) आवृत्ति, (b) कला, (c) आयाम से कंपन करते हैं ? अपने उत्तरों को स्पष्ट कीजिए।
(ii) एक सिरे से 0.375 m दूर के बिंदु का आयाम कितना है ?

Accepted Answer

(i)
(a) आवृत्ति सभी बिंदुओं पर समान होती है क्योंकि ω समय का गुणक है और सभी बिंदु एक ही ω से कंपन करते हैं।

(b) कला स्थान के अनुसार भिन्न होती है क्योंकि कला kx के अनुसार बदलती है।

(c) आयाम भी स्थान के अनुसार बदलता है क्योंकि आयाम sin(kx) के अनुसार है।

(ii) x = 0.375 m पर आयाम:

A(x) = 0.06 sin(2π x / 3)

= 0.06 sin(2π × 0.375 / 3) = 0.06 sin(2π × 0.125) = 0.06 sin(π/4) = 0.06 × 0.7071 = 0.0424 m = 4.24 cm

अतः 0.375 m दूर बिंदु का आयाम 4.24 cm है। — आवृत्ति समय के साथ समान रहती है।

कला और आयाम स्थान के अनुसार sin(kx) के अनुसार बदलते हैं।

आयाम की गणना sin(kx) के मान से की जाती है।

Question 13

नीचे किसी प्रत्यास्थ तरंग (अनुप्रस्थ अथवा अनुदैर्घ्य) के विस्थापन को निरूपित करने वाले x तथा t के फलन दिए गए हैं। यह बताइए कि इनमें से कौन (i) प्रगामी तरंग को, (ii) अप्रगामी तरंग को, (iii) इनमें से किसी भी तरंग को नहीं निरूपित करता है
(a) $y = 2 \cos (3x) \sin 10t$
(b) $y = 2 \sqrt{x - vt}$
(c) $y = 3 \sin (5x - 0.5t) + 4 \cos (5x - 0.5t)$
(d) $y = \cos x \sin t + \cos 2x \sin 2t$

Accepted Answer

(a) y = 2 cos(3x) sin 10t
यह y = f(x) g(t) के रूप में है, जो अप्रगामी तरंग का रूप है। अतः (a) अप्रगामी तरंग है।

(b) y = 2 √(x - vt)
यह f(x - vt) के रूप में है, अतः प्रगामी तरंग है।

(c) y = 3 sin(5x - 0.5t) + 4 cos(5x - 0.5t)
इसे y = A sin(kx - ωt) + B cos(kx - ωt) = R sin(kx - ωt + φ) के रूप में लिखा जा सकता है, अतः प्रगामी तरंग है।

(d) y = cos x sin t + cos 2x sin 2t
यह दो अलग-अलग आवृत्तियों और तरंग संख्याओं का योग है, जो न प्रगामी न अप्रगामी तरंग का सरल रूप है। अतः (d) किसी भी तरंग को निरूपित नहीं करता। — प्रगामी तरंग का रूप y = f(x ± vt) होता है।

अप्रगामी तरंग y = f(x) g(t) के रूप में होती है।

यदि फलन इन रूपों में नहीं है तो वह तरंग नहीं है।

Question 14

दो दूड़ टेकों के बीच तानित तार अपनी मूल विधा में 45 Hz आवृत्ति से कंपन करता है। इस तार का द्रव्यमान 3.5 × 10⁻² kg तथा रैखिक द्रव्यमान घनत्व 4.0 × 10⁻² kg m⁻¹ है। (a) तार पर अनुप्रस्थ तरंग की चाल क्या है, तथा (b) तार में तनाव कितना है ?

Accepted Answer

(a) आवृत्ति f = 45 Hz

द्रव्यमान m = 3.5 × 10⁻² kg

रैखिक द्रव्यमान घनत्व μ = 4.0 × 10⁻² kg/m

लंबाई L = m / μ = (3.5 × 10⁻²) / (4.0 × 10⁻²) = 0.875 m

मूल विधा में λ = 2L = 2 × 0.875 = 1.75 m

तरंग की चाल v = f λ = 45 × 1.75 = 78.75 m/s

(b) तनाव T = μ v² = 0.04 × (78.75)² = 0.04 × 6201.56 = 248.06 N

अतः
(a) तरंग की चाल 78.75 m/s है।
(b) तनाव 248.06 N है। — मूल विधा में λ = 2L होता है।

तरंग की चाल v = f λ

तनाव T = μ v²

Question 15

एक सिरे पर खुली तथा दूसरे सिरे पर चलायमान पिस्टन लगी 1 m लंबी नलिका, किसी नियत आवृत्ति के स्रोत (340 Hz आवृत्ति का स्वरित्र द्विभुज) के साथ, जब नलिका में वायु कॉलम 25.5 cm अथवा 79.3 cm होता है तब अनुनाद दर्शाती है। प्रयोगशाला के ताप पर वायु में ध्वनि की चाल का आकलन कीजिए। कोर-प्रभाव को नगण्य मान सकते हैं।

Accepted Answer

दी गई जानकारी:
लंबाई L₁ = 25.5 cm = 0.255 m
लंबाई L₂ = 79.3 cm = 0.793 m
आवृत्ति f = 340 Hz

खुली एक सिरे वाली नलिका में अनुनाद की लंबाई:
L = (2n - 1) λ / 4

दो अनुनाद लंबाई के लिए:
0.255 = λ / 4
0.793 = 3λ / 4

पहले से λ = 4 × 0.255 = 1.02 m

दूसरे से λ = (4/3) × 0.793 = 1.057 m

औसत λ = (1.02 + 1.057) / 2 = 1.0385 m

ध्वनि की चाल v = f λ = 340 × 1.0385 = 353.1 m/s

अतः प्रयोगशाला के ताप पर ध्वनि की चाल लगभग 353 m/s है। — खुली एक सिरे वाली नलिका में अनुनाद की लंबाई λ के अनुपात में होती है।

दो अनुनाद लंबाई से λ निकालकर चाल ज्ञात की जाती है।

Chapter 7

Chapter 7 — अध्ययन नोट्स

14.1 भूमिका

14.2 अनुप्रस्थ तथा अनुदैर्घ्य तरंगें

14.3 प्रगामी तरंगों में विस्थापन संबंध

अभ्यास प्रश्न — Chapter 7

Bhautiki-II के सभी 7 अध्याय