Question 1

एक मोटे तार, जिसके दूसरे सिरे पर कोई भार नहीं है , को एक दृढ़ आधार से लटकाया गया है

Accepted Answer

तार तनाव में होगा — [{"id": "d99f23cb-2018-41cc-93e2-57a42bc740a9", "type": "html", "value": " तार अपने स्वयं के भार के कारण कुछ तनाव का अनुभव करेगा "}]

Question 2

1 4.7 m लंबे व 3.0 × 10⁻⁶ m² अनुप्रस्थ काट के स्टील के तार तथा 3.5 m लंबे व 4.0 × 10⁻⁶ m² अनुप्रस्थ काट के ताँबे के तार पर दिए गए समान परिमाण के भारों को लटकाने पर उनकी लंबाइयों में समान वृद्धि होती है। स्टील तथा ताँबे के यंग प्रत्यास्थता गुणांकों में क्या अनुपात है?

Accepted Answer

दी गई जानकारी:
स्टील के तार की लंबाई, L₁ = 4.7 m
स्टील के तार का अनुप्रस्थ क्षेत्रफल, A₁ = 3.0 × 10⁻⁶ m²
ताँबे के तार की लंबाई, L₂ = 3.5 m
ताँबे के तार का अनुप्रस्थ क्षेत्रफल, A₂ = 4.0 × 10⁻⁶ m²
दोनों तारों पर समान भार लगने पर लंबाई में समान वृद्धि ΔL होती है।

हम जानते हैं कि प्रत्यास्थता के नियम के अनुसार:
ΔL = (F L) / (A Y)
जहाँ F = बल, L = लंबाई, A = अनुप्रस्थ क्षेत्रफल, Y = यंग प्रत्यास्थता गुणांक

चूंकि ΔL दोनों के लिए समान है और F भी समान है, तो:
(F L₁) / (A₁ Y₁) = (F L₂) / (A₂ Y₂)
=> (L₁) / (A₁ Y₁) = (L₂) / (A₂ Y₂)
=> Y₁ / Y₂ = (L₁ A₂) / (L₂ A₁)

मान डालते हैं:
Y₁ / Y₂ = (4.7 × 4.0 × 10⁻⁶) / (3.5 × 3.0 × 10⁻⁶) = (18.8 × 10⁻⁶) / (10.5 × 10⁻⁶) = 1.79

अतः स्टील तथा ताँबे के यंग प्रत्यास्थता गुणांकों का अनुपात लगभग 1.79 है। — दोनों तारों पर समान भार लगने पर लंबाई में समान वृद्धि होती है। प्रत्यास्थता के नियम से ΔL = (F L) / (A Y) होता है। समान ΔL और F के लिए, Y का अनुपात लंबाई और अनुप्रस्थ क्षेत्रफल के अनुपात के समानुपाती होता है। गणना करके अनुपात 1.79 प्राप्त हुआ।

Question 3

2 नीचे चित्र 8.9 में किसी दिए गए पदार्थ के लिए प्रतिबल-विकृति वक्र दर्शाया गया है। इस पदार्थ के लिए (a) यंग प्रत्यास्थता गुणांक, तथा (b) सन्निकट पराभव सामथ्य क्या है?

Accepted Answer

(a) यंग प्रत्यास्थता गुणांक (Y) प्रतिबल-विकृति वक्र के प्रारंभिक रैखिक भाग का ढाल होता है। इसे निम्नलिखित प्रकार से निकाला जा सकता है:

Y = प्रतिबल / विकृति = σ / ε

चित्र 8.9 से प्रारंभिक रैखिक भाग की ढाल निकालकर यंग प्रत्यास्थता गुणांक ज्ञात किया जाता है।

(b) सन्निकट पराभव सामथ्य (Bulk modulus, K) किसी पदार्थ की आयतन में परिवर्तन के प्रति उसका दाब परिवर्तन है। इसे निम्नलिखित सूत्र से परिभाषित किया जाता है:

K = - (ΔP) / (ΔV/V)

यहाँ, ΔP = दबाव में परिवर्तन, ΔV/V = आयतन परिवर्तन का अनुपात।

प्रतिबल-विकृति वक्र से सन्निकट पराभव सामथ्य सीधे नहीं निकाला जा सकता, इसके लिए आयतन में परिवर्तन और दबाव के बीच संबंध देखना आवश्यक है। — प्रतिबल-विकृति वक्र के प्रारंभिक रैखिक भाग से यंग प्रत्यास्थता गुणांक निकाला जाता है क्योंकि वह प्रत्यास्थ क्षेत्र दर्शाता है। सन्निकट पराभव सामथ्य आयतन में परिवर्तन के प्रति दबाव की संवेदनशीलता है, जो आयतन परिवर्तन और दबाव के अनुपात से मापा जाता है।

Question 4

3 दो पदार्थों A और B के लिए प्रतिबल-विकृति ग्राफ चित्र 8.10 में दर्शाए गए हैं। इन ग्राफों को एक ही पैमाना मानकर खींचा गया है। (a) किसी पदार्थ का यंग प्रत्यास्थता गुणांक अधिक है? (b) दोनों पदार्थों में कौन अधिक मजबूत है?

Accepted Answer

(a) यंग प्रत्यास्थता गुणांक ग्राफ के प्रारंभिक रैखिक भाग की ढाल के समान होता है। चित्र 8.10 में जो ग्राफ अधिक ढाल वाला है, उसका यंग प्रत्यास्थता गुणांक अधिक होगा। अतः जो ग्राफ अधिक तीव्रता से ऊपर बढ़ता है, उसका यंग गुणांक अधिक है।

(b) पदार्थ की मजबूती उसके अधिकतम अनुज्ञेय प्रतिबल (maximum allowable stress) से मापी जाती है, जो ग्राफ के अधिकतम प्रतिबल के मान से ज्ञात होती है। जो पदार्थ अधिकतम प्रतिबल अधिक सहन करता है, वह अधिक मजबूत है। — यंग प्रत्यास्थता गुणांक ग्राफ की प्रारंभिक ढाल से ज्ञात होता है। अधिक ढाल वाला पदार्थ अधिक प्रत्यास्थ होता है। अधिकतम प्रतिबल ग्राफ के चरम बिंदु से ज्ञात होता है, जो पदार्थ की मजबूती दर्शाता है।

Question 5

4 निम्नलिखित दो कथनों को ध्यान से पढ़िये और कारण सहित बताइये कि वे सत्य हैं या असत्य : (a) इस्पात की अपेक्षा रबड़ का यंग गुणांक अधिक है; (b) किसी कुण्डली का तनन उसके अपरूपण गुणांक से निर्धारित होता है।

Accepted Answer

(a) असत्य। इस्पात का यंग गुणांक रबड़ की तुलना में बहुत अधिक होता है क्योंकि इस्पात कठोर और प्रत्यास्थ होता है जबकि रबड़ बहुत लचीला और कम प्रत्यास्थ होता है।

(b) सत्य। किसी कुण्डली का तनन (stress) उसके अपरूपण गुणांक (shear modulus) से निर्धारित होता है क्योंकि कुण्डली पर लगने वाला तनन मुख्यतः अपरूपण विकृति से संबंधित होता है। — (a) यंग गुणांक कठोरता और प्रत्यास्थता का माप है। रबड़ का यंग गुणांक इस्पात से कम होता है।
(b) कुण्डली पर लगने वाला तनन उसके अपरूपण गुणांक से संबंधित होता है, इसलिए यह कथन सत्य है।

Question 6

5 0.25 cm व्यास के दो तार, जिनमें एक इस्पात का तथा दूसरा पीतल का है, चित्र 8.11 के अनुसार भारित हैं। बिना भार लटकाये इस्पात तथा पीतल के तारों की लंबाइयाँ क्रमश: 1.5 m तथा 1.0 m हैं। यदि इस्पात तथा पीतल के यंग गुणांक क्रमश: $2.0 	imes 10^{11} \mathrm{~Pa}$ तथा $0.91 	imes 10^{11} \mathrm{~Pa}$ हों तो इस्पात तथा पीतल के तारों में विस्तार की गणना कीजिए।

Accepted Answer

दी गई जानकारी:

व्यास d = 0.25 cm = 0.0025 m
इस्पात की लंबाई L₁ = 1.5 m
पीतल की लंबाई L₂ = 1.0 m
इस्पात का यंग गुणांक Y₁ = 2.0 × 10¹¹ Pa
पीतल का यंग गुणांक Y₂ = 0.91 × 10¹¹ Pa

हम मानते हैं कि दोनों तारों पर समान भार F लग रहा है।

तार का विस्तार (ΔL) सूत्र से:
ΔL = (F L) / (A Y)

अनुप्रस्थ क्षेत्रफल A = π d² / 4 = π (0.0025)² / 4 = 4.91 × 10⁻⁶ m²

इस्पात के तार का विस्तार:
ΔL₁ = (F × 1.5) / (4.91 × 10⁻⁶ × 2.0 × 10¹¹) = (1.5 F) / (9.82 × 10⁵) = 1.527 × 10⁻⁶ F

पीतल के तार का विस्तार:
ΔL₂ = (F × 1.0) / (4.91 × 10⁻⁶ × 0.91 × 10¹¹) = (1.0 F) / (4.47 × 10⁵) = 2.237 × 10⁻⁶ F

अतः, इस्पात का तार कम विस्तार करेगा जबकि पीतल का तार अधिक विस्तार करेगा। विस्तार के सापेक्ष मान F के अनुसार हैं। — प्रत्येक तार का विस्तार ΔL = (F L) / (A Y) से निकाला गया। अनुप्रस्थ क्षेत्रफल दोनों के लिए समान है क्योंकि व्यास समान है। लंबाई और यंग गुणांक के आधार पर विस्तार की तुलना की गई।

Question 7

6 एलुमिनियम के किसी घन के किनारे 10 cm लंबे हैं। इसकी एक फलक किसी ऊर्ध्वाधर दीवार से कसकर जड़ी हुई है। इस घन के सम्मुख फलक से 100 kg का एक द्रव्यमान जोड़ दिया गया है। एलुमिनियम का अपरूपण गुणांक 25 GPa है। इस फलक का ऊर्ध्वाधर विस्थापन कितना होगा?

Accepted Answer

दी गई जानकारी:

किनारे की लंबाई L = 10 cm = 0.1 m
द्रव्यमान m = 100 kg
गुरुत्वाकर्षण त्वरण g = 9.8 m/s²
बल F = m g = 100 × 9.8 = 980 N
अपरूपण गुणांक K = 25 GPa = 25 × 10⁹ Pa

फलक का क्षेत्रफल A = L × L = 0.1 × 0.1 = 0.01 m²

ऊर्ध्वाधर विस्थापन ΔL = (F L) / (A K)

ΔL = (980 × 0.1) / (0.01 × 25 × 10⁹) = 98 / (2.5 × 10⁸) = 3.92 × 10⁻⁷ m

अतः फलक का ऊर्ध्वाधर विस्थापन लगभग 3.92 × 10⁻⁷ मीटर होगा। — ऊर्ध्वाधर विस्थापन अपरूपण गुणांक के सूत्र से निकाला गया है। बल, लंबाई, क्षेत्रफल और अपरूपण गुणांक के मानों को सूत्र में रखकर विस्थापन प्राप्त किया गया।

Question 8

7 मृदु इस्पात के चार समरूप खोखले बेलनाकार स्तम्भ 50,000 kg द्रव्यमान के किसी बड़े ढाँचे को आधार दिये हुए हैं। प्रत्येक स्तम्भ की भीतरी तथा बाहरी त्रिज्याएँ क्रमशः 30 तथा 60 cm हैं। भार वितरण को एकसमान मानते हुए प्रत्येक स्तम्भ की संपीड़न विकृति की गणना कीजिये।

Accepted Answer

दी गई जानकारी:

कुल द्रव्यमान M = 50,000 kg
प्रत्येक स्तम्भ की भीतरी त्रिज्या r_i = 30 cm = 0.3 m
प्रत्येक स्तम्भ की बाहरी त्रिज्या r_o = 60 cm = 0.6 m
स्तम्भों की संख्या n = 4
गुरुत्वाकर्षण त्वरण g = 9.8 m/s²

प्रत्येक स्तम्भ पर लगने वाला भार:
F = (M g) / n = (50,000 × 9.8) / 4 = 1,22,500 N

स्तम्भ का अनुप्रस्थ क्षेत्रफल (खोखले बेलन का क्षेत्रफल):
A = π (r_o² - r_i²) = π (0.6² - 0.3²) = π (0.36 - 0.09) = π × 0.27 = 0.848 m²

मृदु इस्पात का यंग प्रत्यास्थता गुणांक Y ≈ 2 × 10¹¹ Pa (सामान्य मान)

संपीड़न विकृति ΔL = (F L) / (A Y)

यहाँ L ज्ञात नहीं है, अतः यदि L दिया होता तो विस्तार निकाला जा सकता था। यदि L ज्ञात हो तो सूत्र के अनुसार ΔL निकाला जा सकता है। — प्रत्येक स्तम्भ पर लगने वाला भार कुल भार का एक-चौथाई है। अनुप्रस्थ क्षेत्रफल खोखले बेलन के क्षेत्रफल के अनुसार निकाला गया। संपीड़न विकृति के लिए लंबाई की आवश्यकता होती है, जो प्रश्न में नहीं दी गई है। यदि लंबाई ज्ञात हो तो ΔL सूत्र से निकाला जा सकता है।

Question 9

8 ताँबे का एक टुकड़ा, जिसका अनुप्रस्थ परिच्छेद 15.2 mm × 19.1 mm का है, 44,500 N बल के तनाव से खींचा जाता है, जिससे केवल प्रत्यास्थ विरूपण उत्पन्न हो। उत्पन्न विकृति की गणना कीजिये।

Accepted Answer

दी गई जानकारी:

अनुप्रस्थ क्षेत्रफल A = 15.2 mm × 19.1 mm = (15.2 × 10⁻³) × (19.1 × 10⁻³) = 2.9032 × 10⁻⁴ m²
बल F = 44,500 N

तनाव σ = F / A = 44,500 / 2.9032 × 10⁻⁴ = 1.532 × 10⁸ Pa

ताँबे का यंग प्रत्यास्थता गुणांक Y ≈ 1.1 × 10¹¹ Pa

विकृति ε = σ / Y = (1.532 × 10⁸) / (1.1 × 10¹¹) = 1.393 × 10⁻³

अतः उत्पन्न विकृति लगभग 0.001393 या 0.1393% है। — तनाव बल और क्षेत्रफल से निकाला गया। विकृति यंग प्रत्यास्थता गुणांक के अनुपात से प्राप्त की गई।

Question 10

9 1.5 cm त्रिज्या का एक इस्पात का केबिल भार उठाने के लिए इस्तेमाल किया जाता है। यदि इस्पात के लिए अधिकतम अनुज्ञेय प्रतिबल 10⁸ N m⁻² है तो उस अधिकतम भार की गणना कीजिए जिसे केबिल उठा सकता है।

Accepted Answer

दी गई जानकारी:

त्रिज्या r = 1.5 cm = 0.015 m
अधिकतम अनुज्ञेय प्रतिबल σ_max = 10⁸ N/m²

क्षेत्रफल A = π r² = π × (0.015)² = π × 0.000225 = 7.07 × 10⁻⁴ m²

अधिकतम भार F_max = σ_max × A = 10⁸ × 7.07 × 10⁻⁴ = 7.07 × 10⁴ N

यदि भार का द्रव्यमान m है, तो F_max = m g
=> m = F_max / g = (7.07 × 10⁴) / 9.8 ≈ 7214 kg

अतः केबिल अधिकतम लगभग 7214 किलोग्राम भार उठा सकता है। — अधिकतम अनुज्ञेय प्रतिबल और केबिल के अनुप्रस्थ क्षेत्रफल से अधिकतम बल निकाला गया। फिर बल को गुरुत्वाकर्षण से विभाजित कर अधिकतम भार ज्ञात किया गया।

Question 11

10 15 kg द्रव्यमान की एक दृढ़ पट्टी को तीन तारों, जिनमें प्रत्येक की लंबाई 2 m है, से सममित लटकाया गया है। सिरों के दोनों तार ताँबे के हैं तथा बीच वाला लोहे का है। तारों के व्यासों के अनुपात निकालिए, प्रत्येक पर तनाव उतना ही रहना चाहिए।

Accepted Answer

दी गई जानकारी:

द्रव्यमान m = 15 kg
तारों की लंबाई L = 2 m
दो तार ताँबे के, एक लोहे का

चूंकि तारों पर लगने वाला तनाव समान है, अतः:

तनाव σ = F / A

जहाँ F = बल, A = क्षेत्रफल

चूंकि लंबाई समान है और तनाव समान है, विस्तार भी समान होगा।

विस्तार ΔL = (F L) / (A Y)

सभी तारों पर विस्तार समान होगा:

=> (F_ताँबा L) / (A_ताँबा Y_ताँबा) = (F_लोहा L) / (A_लोहा Y_लोहा)

चूंकि बलों का योग 15 g है और तार सममित हैं, बलों का वितरण ज्ञात करके व्यासों का अनुपात निकाला जा सकता है।

अधिक सटीक गणना के लिए तारों के बल और यंग गुणांक के मान ज्ञात करने होंगे। — तनाव समान होने पर क्षेत्रफल और बल के अनुपात से व्यासों का अनुपात निकाला जाता है। विस्तार समान होने के कारण यंग गुणांक और क्षेत्रफल के अनुपात से व्यासों का अनुपात निर्धारित होता है।

Question 12

11 एक मीटर अतानित लंबाई के इस्पात के तार के एक सिरे से 14.5 kg का द्रव्यमान बाँध कर उसे एक ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाया जाता है, वृत्त की तली पर उसका कोणीय वेग 2rev/s है। तार के अनुप्रस्थ परिच्छेद का क्षेत्रफल 0.065 cm² है। तार में विस्तार की गणना कीजिए जब द्रव्यमान अपने पथ के निम्नतम बिंदु पर है।

Accepted Answer

दी गई जानकारी:

तार की लंबाई L = 1 m
द्रव्यमान m = 14.5 kg
कोणीय वेग ω = 2 rev/s = 2 × 2π = 4π rad/s
अनुप्रस्थ क्षेत्रफल A = 0.065 cm² = 0.065 × 10⁻⁴ m² = 6.5 × 10⁻⁶ m²

जब द्रव्यमान निम्नतम बिंदु पर हो, तो तनाव में वृद्धि होती है क्योंकि केन्द्रीय बल और गुरुत्व बल दोनों लगते हैं।

तनाव σ = (m / A) × (g + ω² L)

पहले ω² L निकालते हैं:
ω² L = (4π)² × 1 = 16 π² ≈ 16 × 9.87 = 157.9 m/s²

σ = (14.5 / 6.5 × 10⁻⁶) × (9.8 + 157.9) = (2.23 × 10⁶) × 167.7 = 3.74 × 10⁸ Pa

इस्पात का यंग प्रत्यास्थता गुणांक Y ≈ 2 × 10¹¹ Pa

विकृति ε = σ / Y = (3.74 × 10⁸) / (2 × 10¹¹) = 1.87 × 10⁻³

अतः तार में विस्तार = ε × L = 1.87 × 10⁻³ × 1 = 1.87 mm

अतः तार का विस्तार लगभग 1.87 mm होगा। — तनाव में गुरुत्वाकर्षण और केन्द्रीय त्वरण दोनों शामिल हैं। तनाव σ = (m/A)(g + ω² L) से निकाला गया। फिर यंग प्रत्यास्थता गुणांक से विकृति और विस्तार निकाला गया।

Question 13

12 नीचे दिये गये आँकड़ों से जल के आयतन प्रत्यास्थ गणांक की गणना कीजिए; प्रारंभिक आयतन = 100.0 L दाब में वृद्धि = 100.0 atm (1 atm = 1.013 × 10⁵ Pa), अंतिम आयतन = 100.5 L। नियत ताप पर जल तथा वायु के आयतन प्रत्यास्थ गणांकों की तुलना कीजिए। सरल शब्दों में समझाइये कि यह अनुपात इतना अधिक क्यों है।

Accepted Answer

दी गई जानकारी:

प्रारंभिक आयतन V = 100.0 L
दाब में वृद्धि ΔP = 100 atm = 100 × 1.013 × 10⁵ = 1.013 × 10⁷ Pa
अंतिम आयतन V' = 100.5 L

आयतन परिवर्तन ΔV = V' - V = 0.5 L = 0.5 × 10⁻³ m³ (1 L = 10⁻³ m³)

आयतन प्रत्यास्थ गणांक K = - ΔP / (ΔV / V)

ΔV / V = 0.5 / 100 = 0.005

K = - (1.013 × 10⁷) / 0.005 = -2.026 × 10⁹ Pa

चूंकि आयतन बढ़ा है, इसलिए K का मान धनात्मक होगा:
K = 2.026 × 10⁹ Pa

जल का आयतन प्रत्यास्थ गणांक लगभग 2.0 × 10⁹ Pa है जबकि वायु का लगभग 10⁵ Pa होता है।

कारण: जल तरल है और संपीड़न के प्रति अधिक प्रतिरोधी है, जबकि वायु गैस है और आसानी से संपीड़ित हो जाती है। इसलिए जल का आयतन प्रत्यास्थ गणांक वायु से बहुत अधिक होता है। — आयतन प्रत्यास्थ गणांक K = - ΔP / (ΔV / V) से निकाला गया। जल का K वायु से अधिक होता है क्योंकि तरल पदार्थ गैस की तुलना में कम संपीड़ित होते हैं।

Question 14

13 जल का घनत्व उस गहराई पर, जहाँ दाब 80.0 atm हो, कितना होगा? दिया गया है कि पृष्ठ पर जल का घनत्व 1.03 × 10³ kg m⁻³, जल की संपीड़ता 45.8 × 10⁻¹¹ Pa⁻¹ (1 Pa = 1 N m⁻²)

Accepted Answer

दी गई जानकारी:

पृष्ठ पर घनत्व ρ₀ = 1.03 × 10³ kg/m³
दाब P = 80 atm = 80 × 1.013 × 10⁵ = 8.104 × 10⁶ Pa
संपीड़ता β = 45.8 × 10⁻¹¹ Pa⁻¹

घनत्व परिवर्तन Δρ / ρ₀ = β × ΔP

अतः,
Δρ = ρ₀ × β × ΔP = 1.03 × 10³ × 45.8 × 10⁻¹¹ × 8.104 × 10⁶
= 1.03 × 10³ × 3.713 × 10⁻³ = 3.82 kg/m³

नया घनत्व ρ = ρ₀ + Δρ = 1.03 × 10³ + 3.82 = 1033.82 kg/m³

अतः उस गहराई पर जल का घनत्व लगभग 1033.82 kg/m³ होगा। — संपीड़ता β के अनुसार दाब में वृद्धि से घनत्व में परिवर्तन होता है। Δρ / ρ₀ = β ΔP से घनत्व परिवर्तन निकाला गया।

Question 15

14 काँच के स्लेब पर 10 atm का जलीय दाब लगाने पर उसके आयतन में भिन्नात्मक अंतर की गणना कीजिए।

Accepted Answer

दी गई जानकारी:

दाब ΔP = 10 atm = 10 × 1.013 × 10⁵ = 1.013 × 10⁶ Pa

काँच का आयतन प्रत्यास्थ गुणांक K ≈ 5 × 10¹⁰ Pa (सामान्य मान)

आयतन परिवर्तन ΔV = - (ΔP × V) / K

यदि प्रारंभिक आयतन V ज्ञात नहीं है, तो भिन्नात्मक आयतन परिवर्तन प्रति इकाई आयतन:

\frac{\Delta V}{V} = - \frac{\Delta P}{K} = - \frac{1.013 	imes 10^6}{5 	imes 10^{10}} = -2.026 	imes 10^{-5}

अतः आयतन में लगभग 2.026 × 10⁻⁵ का संकुचन होगा। — आयतन प्रत्यास्थ गुणांक के सूत्र से आयतन परिवर्तन निकाला गया। दाब और K के अनुपात से प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात किया गया।

Chapter 1

Chapter 1 — अध्ययन नोट्स

8.1 भूमिका

8.2 प्रतिबल तथा विकृति

8.3 हुक का नियम

अभ्यास प्रश्न — Chapter 1

Bhautiki-II के सभी 7 अध्याय