Question 1

1 नीचे दिए गए उदाहरणों में कौन आवर्ती गति को निरूपित करता है?

(i) किसी तैराक द्वारा नदी के एक तट से दूसरे तट तक जाना और अपनी एक वापसी यात्रा पूरी करना।

(ii) किसी स्वतंत्रतापूर्वक लटकाए गए दंड चुंबक को उसकी N-S दिशा से विस्थापित कर छोड़ देना।

(iii) अपने द्रव्यमान केंद्र के परित: घूर्णी गति करता कोई हाइड्रोजन अणु।

(iv) किसी कमान से छोड़ा गया तीर।

Accepted Answer

उत्तर:
(i) तैराक नदी के एक तट से दूसरे तट तक जाता है और वापसी करता है, अतः यह आवर्ती गति है क्योंकि वह अपनी प्रारंभिक स्थिति पर लौटता है।

(ii) दंड चुंबक स्वतंत्रतापूर्वक लटकाया गया है और N-S दिशा से विस्थापित कर छोड़ दिया जाता है, यह सरल आवर्ती गति का उदाहरण है क्योंकि यह दोलन करता है।

(iii) हाइड्रोजन अणु अपने द्रव्यमान केंद्र के परित: घूर्णी गति करता है, यह आवर्ती गति नहीं है क्योंकि यह घूर्णन है, आवर्ती गति नहीं।

(iv) कमान से छोड़ा गया तीर आवर्ती गति नहीं करता क्योंकि यह एक बार चलकर आगे बढ़ता है और वापस नहीं आता। — आवर्ती गति वह है जिसमें कण अपनी प्रारंभिक स्थिति पर नियमित अंतराल पर लौटता है। तैराक और दंड चुंबक के उदाहरण आवर्ती गति हैं, जबकि हाइड्रोजन अणु की घूर्णी गति और तीर की गति आवर्ती गति नहीं हैं।

Question 2

2 नीचे दिए गए उदाहरणों में कौन (लगभग) सरल आवर्ती गति को तथा कौन आवर्ती परंतु सरल आवर्ती गति नहीं निरूपित करते हैं?

(i) पृथ्वी की अपने अक्ष के परित: घूर्णन गति।

(ii) किसी U-नली में दोलायमान पारे के स्तंभ की गति।

(iii) किसी चिकने वक्रीय कटोरे के भीतर एक बॉल बेयरिंग की गति जब उसे निम्नतम बिंदु से कुछ ऊपर के बिंदु से मुक्त रूप से छोड़ा जाए।

(iv) किसी बहुपरमाणुक अणु की अपनी साम्यावस्था की स्थिति के परित: व्यापक कंपन।

Accepted Answer

उत्तर:
(i) पृथ्वी की अपने अक्ष के परित: घूर्णन गति आवर्ती है परंतु सरल आवर्ती गति नहीं है क्योंकि यह एक स्थायी घूर्णन है, दोलन नहीं।

(ii) U-नली में दोलायमान पारे का स्तंभ सरल आवर्ती गति करता है क्योंकि यह साम्यावस्था के चारों ओर दोलन करता है।

(iii) चिकने वक्रीय कटोरे में बॉल बेयरिंग की गति सरल आवर्ती गति है क्योंकि यह न्यूनतम बिंदु के चारों ओर दोलन करता है।

(iv) बहुपरमाणुक अणु की साम्यावस्था के चारों ओर व्यापक कंपन सरल आवर्ती गति है क्योंकि यह छोटे दोलन होते हैं। — सरल आवर्ती गति वह होती है जिसमें दोलन साम्यावस्था के चारों ओर होता है और आवर्तकाल स्थिर होता है। पृथ्वी की घूर्णन गति आवर्ती है पर सरल आवर्ती गति नहीं।

Question 3

3 चित्र 13.18 में किसी कण की रैखिक गति के लिए चार $x - t$ आरेख दिए गए हैं। इनमें से कौन-सा आरेख आवर्ती गति का निरूपण करता है? उस गति का आवर्तकाल क्या है (आवर्ती गति वाली गति का)।

Accepted Answer

उत्तर:
आरेखों में से केवल वह आरेख आवर्ती गति को निरूपित करता है जिसमें कण की स्थिति समय के साथ आवर्ती रूप से दोलन करती है, अर्थात् स्थिति समय के साथ आवर्ती रूप से दोलती है।

आमतौर पर, आवर्ती गति के लिए $x(t)$ एक आवर्ती फलन होता है जैसे $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ या $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$।

आरेखों में से जो $x$ समय के साथ आवर्ती रूप से दोलता है, वही आवर्ती गति दर्शाता है।

आवर्तकाल $T$ को $x(t)$ के आवर्ती व्यवहार से निकाला जा सकता है। यदि $x(t)$ का आवर्तकाल $T$ है, तो $x(t+T) = x(t)$ होता है।

इस प्रश्न में, चित्र 13.18 के आरेखों को देखकर आवर्ती गति वाला आरेख पहचानना होगा और फिर उसका आवर्तकाल ज्ञात करना होगा। — आवर्ती गति वह है जिसमें कण की स्थिति समय के साथ आवर्ती रूप से दोलती है। आवर्तकाल वह समय होता है जिसमें कण अपनी स्थिति को दोहराता है।

Question 4

4 नीचे दिए गए समय के फलनों में कौन (a) सरल आवर्ती गति (b) आवर्ती परंतु सरल आवर्ती गति नहीं, तथा (c) अनावर्ती गति का निरूपण करते हैं। प्रत्येक आवर्ती गति का आवर्तकाल ज्ञात कीजिए : ( $\omega$ कोई धनात्मक अचर है।)

(a) $\sin \omega t - \cos \omega t$

(b) $\sin^3 \omega t$

(c) $3 \cos \left( \frac{\pi}{4} - 2 \omega t \right)$

(d) $\cos \omega t + \cos 3 \omega t + \cos 5 \omega t$

(e) $\exp \left( -\omega^2 t^2 \right)$

(f) $1 + \omega t + \omega^2 t^2$

Accepted Answer

उत्तर:
(a) $\sin \omega t - \cos \omega t$ सरल आवर्ती गति है क्योंकि यह दो सरल आवर्ती फलनों का योग है। इसे $R \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में लिखा जा सकता है। आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।

(b) $\sin^3 \omega t$ आवर्ती है लेकिन सरल आवर्ती गति नहीं क्योंकि यह $\sin^3 x$ को त्रिकोणमितीय पहचान से $\frac{3 \sin x - \sin 3x}{4}$ लिखा जा सकता है, जो कई आवृत्तियों का योग है। आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।

(c) $3 \cos \left( \frac{\pi}{4} - 2 \omega t \right)$ सरल आवर्ती गति है, आवर्तकाल $T = \frac{\pi}{\omega}$ है क्योंकि कोणीय आवृत्ति $2\omega$ है।

(d) $\cos \omega t + \cos 3 \omega t + \cos 5 \omega t$ आवर्ती है पर सरल आवर्ती गति नहीं क्योंकि इसमें कई आवृत्तियाँ हैं। आवर्तकाल सबसे छोटी आवृत्ति के अनुसार $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।

(e) $\exp \left( -\omega^2 t^2 \right)$ अनावर्ती गति है क्योंकि यह समय के साथ घटती है और आवर्ती नहीं है।

(f) $1 + \omega t + \omega^2 t^2$ अनावर्ती गति है क्योंकि यह बहुपद फलन है और आवर्ती नहीं है। — सरल आवर्ती गति के लिए विस्थापन एकल आवृत्ति का त्रिकोणमितीय फलन होता है। जब कई आवृत्तियाँ हों या फलन आवर्ती न हो तो सरल आवर्ती गति नहीं होती।

Question 5

5 कोई कण एक दूसरे से 10 cm दूरी पर स्थित दो बिंदुओं A तथा B के बीच रैखिक सरल आवर्ती गति कर रहा है। A से B की ओर की दिशा को धनात्मक दिशा मानकर वेग, त्वरण तथा कण पर लगे बल के चिह्न ज्ञात कीजिए जबकि यह कण

(a) A सिरे पर है,

(b) B सिरे पर है,

(c) A की ओर जाते हुए AB के मध्य बिंदु पर है,

(d) A की ओर जाते हुए B से 2 cm दूर है,

(e) B की ओर जाते हुए A से 3 cm दूर है, तथा

(f) A की ओर जाते हुए B से 4 cm दूर है ।

Accepted Answer

उत्तर:
दिया गया है कि कण A और B के बीच सरल आवर्ती गति करता है, दूरी AB = 10 cm।

सरल आवर्ती गति में विस्थापन x(t) = A cos(\omega t + \phi) होता है, जहाँ A = 5 cm (आयाम, क्योंकि दो बिंदुओं के बीच कुल दूरी 10 cm है, तो आयाम आधा होगा)।

(i) विस्थापन x को A से मापा जाता है, जहाँ A = 0 से 10 cm के बीच।

(ii) वेग v = dx/dt = -\omega A sin(\omega t + \phi)

(iii) त्वरण a = d^2x/dt^2 = -\omega^2 x

(iv) बल F = m a = -m \omega^2 x

अब प्रत्येक स्थिति के लिए:

(a) A सिरे पर है: x = 0 cm (यदि A को 0 माना जाए), परन्तु यहाँ A और B के बीच 10 cm है, मान लेते हैं A = 0 cm, B = 10 cm। अतः A सिरे पर x = 0 cm।

- वेग: v = 0 (अधिकतम विस्थापन पर वेग शून्य होता है)
- त्वरण: a = -\omega^2 x = 0
- बल: F = 0

(b) B सिरे पर है: x = 10 cm = +5 cm (आयाम के अनुसार)

- वेग: v = 0
- त्वरण: a = -\omega^2 x = -\omega^2 (5 cm)
- बल: F = -m \omega^2 (5 cm)

(c) AB के मध्य बिंदु पर है: x = 5 cm = 0 cm (मध्य बिंदु को 0 माना जाता है)

- वेग: अधिकतम (क्योंकि मध्य बिंदु पर वेग अधिकतम होता है)
- त्वरण: a = 0
- बल: F = 0

(d) A की ओर जाते हुए B से 2 cm दूर है: B से 2 cm दूर का मतलब x = 10 - 2 = 8 cm = +3 cm (आयाम के अनुसार)

- वेग: धनात्मक या ऋणात्मक दिशा में, चिह्न गति की दिशा पर निर्भर
- त्वरण: a = -\omega^2 x = -\omega^2 (3 cm)
- बल: F = -m \omega^2 (3 cm)

(e) B की ओर जाते हुए A से 3 cm दूर है: A से 3 cm दूर x = 3 cm = -2 cm (आयाम के अनुसार)

- वेग: धनात्मक दिशा में
- त्वरण: a = -\omega^2 x = -\omega^2 (-2 cm) = +2 \omega^2 cm
- बल: F = +m \omega^2 (2 cm)

(f) A की ओर जाते हुए B से 4 cm दूर है: B से 4 cm दूर x = 10 - 4 = 6 cm = +1 cm

- वेग: ऋणात्मक दिशा में
- त्वरण: a = -\omega^2 x = -\omega^2 (1 cm)
- बल: F = -m \omega^2 (1 cm)

नोट: चिह्न गति की दिशा पर निर्भर करते हैं। — सरल आवर्ती गति में विस्थापन, वेग, त्वरण और बल के चिह्न विस्थापन के चिह्न और गति की दिशा पर निर्भर करते हैं। आयाम आधा होता है क्योंकि कुल दूरी 10 cm है।

Question 6

6 नीचे दिए गए किसी कण के त्वरण α तथा विस्थापन x के बीच संबंधों में से किससे सरल आवर्त गति संबद्ध है :
(a) α = 0.7 x
(b) α = -200 x²
(c) α = -10 x
(d) α = 100 x³

Accepted Answer

उत्तर:
सरल आवर्ती गति के लिए त्वरण विस्थापन के विपरीत दिशा में और विस्थापन के समानुपाती होता है, अर्थात्

α = -\omega^2 x

इसलिए विकल्पों में से केवल (c) α = -10 x सरल आवर्ती गति से संबंधित है क्योंकि इसमें त्वरण विस्थापन के विपरीत दिशा में है और सीधे अनुपाती है।

अन्य विकल्पों में:
(a) α = 0.7 x → त्वरण विस्थापन के समान दिशा में है, सरल आवर्ती गति नहीं।
(b) α = -200 x² → त्वरण विस्थापन के वर्ग के साथ है, सरल आवर्ती गति नहीं।
(d) α = 100 x³ → त्वरण विस्थापन के घात के साथ है, सरल आवर्ती गति नहीं। — सरल आवर्ती गति में त्वरण विस्थापन के विपरीत दिशा में और सीधे अनुपाती होता है।

Question 7

7 सरल आवर्त गति करते किसी कण की गति का वर्णन नीचे दिए गए विस्थापन फलन द्वारा किया जाता है,
$$
x(t) = A \cos(\omega t + \phi)
$$
यदि कण की आरंभिक (t = 0) स्थिति 1 cm तथा उसका आरंभिक वेग π cm s⁻¹ है, तो कण का आयाम तथा आरंभिक कला कोण क्या है ? कण की कोणीय आवृत्ति π s⁻¹ है । यदि सरल आवर्त गति का वर्णन करने के लिए कोन्या (cos) फलन के स्थान पर हम न्या (sin) फलन चुनें; x = B sin(ωt + α), तो उपरोक्त आरंभिक प्रतिबंधों में कण का आयाम तथा आरंभिक कला कोण क्या होगा ?

Accepted Answer

उत्तर:
दिया है:
$ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) $
$ t=0 $ पर,
$ x(0) = A \cos \phi = 1 \text{ cm} $
$ v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi) $
$ v(0) = -A \omega \sin \phi = \pi \text{ cm/s} $

कोणीय आवृत्ति $ \omega = \pi \text{ s}^{-1} $

पहले समीकरण से:
$ A \cos \phi = 1 $  ...(1)

दूसरे समीकरण से:
$ -A \pi \sin \phi = \pi \Rightarrow -A \sin \phi = 1 $  ...(2)

(1) और (2) से,
$ \cos \phi = \frac{1}{A} $
$ \sin \phi = -\frac{1}{A} $

$ \sin^2 \phi + \cos^2 \phi = 1 $ से,
$ \left( -\frac{1}{A} \right)^2 + \left( \frac{1}{A} \right)^2 = 1 \Rightarrow \frac{1}{A^2} + \frac{1}{A^2} = 1 \Rightarrow \frac{2}{A^2} = 1 \Rightarrow A^2 = 2 \Rightarrow A = \sqrt{2} \text{ cm} $

अब,
$ \cos \phi = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \sin \phi = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

इसलिए,
$ \phi = -\frac{\pi}{4} $

यदि हम विस्थापन को
$ x = B \sin(\omega t + \alpha) $ के रूप में लिखें,

$ x = B \sin(\omega t + \alpha) = A \cos(\omega t + \phi) $

$ \Rightarrow B \sin(\omega t + \alpha) = A \cos(\omega t + \phi) = A \sin\left( \omega t + \phi + \frac{\pi}{2} \right) $

इसलिए,
$ B = A = \sqrt{2} \text{ cm} $
$ \alpha = \phi + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} $

अतः,
आयाम $ A = \sqrt{2} \text{ cm} $, प्रारंभिक कला कोण $ \phi = -\frac{\pi}{4} $

न्या फलन के लिए आयाम $ B = \sqrt{2} \text{ cm} $, प्रारंभिक कला कोण $ \alpha = \frac{\pi}{4} $ है। — आरंभिक स्थिति और वेग के आधार पर आयाम और प्रारंभिक कला कोण ज्ञात करने के लिए दो समीकरण बनाए और उन्हें हल किया। कोसाइन और साइन रूपांतरण के लिए त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग किया।

Question 8

8 किसी कमानीदार तुला का पैमाना 0 से 50 kg तक अंकित है और पैमाने की लंबाई 20 cm है । इस तुला से लटकाया गया कोई पिण्ड, जब विस्थापित करके मुक्त किया जाता है, 0.6 s के आवर्तकाल से दोलन करता है । पिंड को भार कितना है ?

Accepted Answer

उत्तर:

दिया है:

पैमाने की लंबाई, l = 20 cm = 0.2 m

आवर्तकाल, T = 0.6 s

कमानीदार तुला का आवर्तकाल:

$ T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}} $

जहाँ,
I = पिण्ड का जड़त्वाघूर्ण,
m = पिण्ड का द्रव्यमान,
g = गुरुत्वाकर्षण त्वरण,
d = कमानी की लंबाई (यहाँ पैमाने की लंबाई)

चूँकि पिण्ड तुला से लटका है, और तुला का पैमाना 0 से 50 kg तक है, तो हम मानते हैं कि पिण्ड का द्रव्यमान m है।

आवर्तकाल के सूत्र से,

$ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} $

यह सरल दोलन का आवर्तकाल है यदि पिण्ड सरल दोलन करता है।

इसलिए,

$ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \Rightarrow l = \frac{g T^2}{4 \pi^2} $

$ l = \frac{9.8 \times (0.6)^2}{4 \times (3.1416)^2} = \frac{9.8 \times 0.36}{39.478} = \frac{3.528}{39.478} = 0.0894 \text{ m} = 8.94 \text{ cm} $

यह पैमाने की लंबाई से मेल नहीं खाता, अतः हमें पिण्ड का द्रव्यमान ज्ञात करना होगा।

पिण्ड का भार:

$ W = mg $

यहाँ, आवर्तकाल से पिण्ड का द्रव्यमान ज्ञात करने के लिए अधिक जानकारी आवश्यक है, जैसे पिण्ड का जड़त्वाघूर्ण या तुला की विशेषताएँ।

यदि तुला सरल दोलन करती है, तो आवर्तकाल से पिण्ड का द्रव्यमान सीधे नहीं निकाला जा सकता।

इसलिए, प्रश्न में दी गई जानकारी के आधार पर पिण्ड का भार ज्ञात करना संभव नहीं है।

(यदि अतिरिक्त जानकारी दी जाए तो हल किया जा सकता है।) — कमानीदार तुला के आवर्तकाल का सूत्र उपयोग किया गया। उपलब्ध जानकारी से पिण्ड का भार सीधे ज्ञात नहीं किया जा सकता क्योंकि पिण्ड का जड़त्वाघूर्ण ज्ञात नहीं है।

Question 9

9 1200 N m⁻¹ कमानी-स्थिरांक की कोई कमानी चित्र 13.19 में दर्शाए अनुसार किसी क्षैतिज मेज से जुड़ी है । कमानी के मुक्त सिरे से 3 kg द्रव्यमान का कोई पिण्ड जुड़ा है । इस पिण्ड को एक ओर 2.0 cm दूरी तक खींच कर मुक्त किया जाता है,

(i) पिण्ड के दोलन की आवृत्ति,

(ii) पिण्ड का अधिकतम त्वरण, तथा

(iii) पिण्ड की अधिकतम चाल ज्ञात कीजिए ।

Accepted Answer

उत्तर:

दिया है:

कमानी-स्थिरांक, k = 1200 N/m

पिण्ड का द्रव्यमान, m = 3 kg

खिंचाव, x = 2.0 cm = 0.02 m

(i) दोलन की आवृत्ति:

आवर्तकाल,
$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} $

$ T = 2\pi \sqrt{\frac{3}{1200}} = 2\pi \sqrt{0.0025} = 2\pi \times 0.05 = 0.314 s $

आवृत्ति,
$ f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.314} = 3.18 \text{ Hz} $

(ii) अधिकतम त्वरण:

$ a_{max} = \omega^2 x $

$ \omega = 2\pi f = 2\pi \times 3.18 = 19.96 \text{ rad/s} $

$ a_{max} = (19.96)^2 \times 0.02 = 398.4 \times 0.02 = 7.97 \text{ m/s}^2 $

(iii) अधिकतम चाल:

$ v_{max} = \omega A = 19.96 \times 0.02 = 0.399 \text{ m/s} $

अतः,
(i) आवृत्ति = 3.18 Hz
(ii) अधिकतम त्वरण = 7.97 m/s²
(iii) अधिकतम चाल = 0.399 m/s — सरल दोलन के सूत्रों का उपयोग कर आवर्तकाल, आवृत्ति, अधिकतम त्वरण और अधिकतम चाल की गणना की गई।

Question 10

अभ्यास 13.10 में, मान लीजिए जब कमानी अतानित अवस्था में है तब पिण्ड की स्थिति x = 0 है तथा बाएँ से दाएँ की दिशा x-अक्ष की धनात्मक दिशा है । दोलन करते पिण्ड के विस्थापन x को समय के फलन के रूप में दर्शाइए, जबकि विराम घड़ी को आरंभ (t = 0) करते समय पिण्ड,
(a) अपनी माध्य स्थिति,
(b) अधिकतम तानित स्थिति, तथा
(c) अधिकतम संपीड़न की स्थिति पर है ।

सरल आवर्त गति के लिए ये फलन एक दूसरे से आवृत्ति में, आयाम में अथवा आरंभिक कला में किस रूप में भिन्न हैं ?

Accepted Answer

समाधान:

सरल आवर्त गति (Simple Harmonic Motion) के विस्थापन का सामान्य रूप है:

x(t) = A 
\cos(\omega t + \phi)

जहाँ,
A = आयाम,
\omega = कोणीय आवृत्ति,
\phi = आरंभिक कला (initial phase)

(a) जब पिण्ड अपनी माध्य स्थिति पर हो (x = 0) और दाएँ की दिशा में गति कर रहा हो (धनात्मक दिशा), तो

x(t) = A \sin \omega t

यहाँ, आरंभिक कला \phi = 0 और विस्थापन प्रारंभ में 0 है।

(b) जब पिण्ड अधिकतम तानित स्थिति पर हो (x = +A), तो

x(t) = A \cos \omega t

यहाँ, आरंभिक कला \phi = 0 और विस्थापन प्रारंभ में अधिकतम है।

(c) जब पिण्ड अधिकतम संपीड़न की स्थिति पर हो (x = -A), तो

x(t) = A \cos (\omega t + \pi)

यहाँ, आरंभिक कला \phi = \pi है, जिससे विस्थापन प्रारंभ में -A होता है।

सरल आवर्त गति के ये फलन केवल आरंभिक कला \phi में भिन्न हैं, आयाम A और कोणीय आवृत्ति \omega समान रहते हैं। — सरल आवर्त गति के विस्थापन का सामान्य रूप x = A cos(ωt + φ) होता है। प्रारंभिक स्थिति के अनुसार φ बदलता है। माध्य स्थिति पर φ = 0 या π/2 हो सकता है, अधिकतम विस्थापन पर φ = 0 या π होता है। इसलिए ये फलन केवल आरंभिक कला में भिन्न होते हैं।

Question 11

11 चित्र 13.20 में दिए गए दो आरेख दो वर्तुल गतियों के तदनुरूपी हैं । प्रत्येक आरेख पर वृत्त की त्रिन्य, परिक्रमण-काल, आरंभिक स्थिति और परिक्रमण की दिशा दर्शायी गई है । प्रत्येक प्रकरण में, परिक्रमण करते कण के त्रिन्य-सदिश के x-अक्ष पर प्रक्षेप की तदनुरूपी सरल आवर्त गति ज्ञात कीजिए ।

Accepted Answer

समाधान:

परिक्रमण करते कण की स्थिति वृत्तीय गति के कोणीय स्थान के रूप में दी जाती है। सरल आवर्त गति (SHM) x-अक्ष पर त्रिज्या के प्रक्षेप के समान होती है।

यदि कोणीय चाल ω है और आरंभिक कोण φ, तो x-अक्ष पर विस्थापन:

x(t) = A \cos (\omega t + \phi)

जहाँ A = वृत्त की त्रिज्या।

प्रत्येक आरेख के लिए:

1) वृत्त की त्रिज्या A, परिक्रमण काल T दिया है। ω = 2π/T
2) आरंभिक स्थिति से φ ज्ञात करें।
3) परिक्रमण दिशा (वामावर्त या दक्षिणावर्त) के अनुसार ω का चिह्न निर्धारित करें।

फिर x(t) लिखें।

(विशिष्ट मान चित्र 13.20 के आधार पर निर्धारित किए जाएंगे।) — वृत्तीय गति के त्रिज्या सदिश का x-अक्ष पर प्रक्षेप सरल आवर्त गति है। ω = 2π/T होता है। आरंभिक कोण φ और परिक्रमण दिशा से x(t) का रूप निर्धारित होता है।

Question 12

12 नीचे दी गई प्रत्येक सरल आवर्त गति के लिए तदनुरूपी निर्देश वृत्त का आरेख खींचिए। पूर्णों कण की आरंभिक $(t = 0)$ स्थिति, वृत्त की त्रिज्या तथा कोणीय चाल दर्शाइए। सुगमता के लिए प्रत्येक प्रकरण में परिक्रमण की दिशा वामावर्त लीजिए। (x को cm में तथा t को s में लीजिए।)

(a) $x = -2 \sin \left(3t + \pi / 3\right)$
(b) $x = \cos \left(\pi / 6 - t\right)$
(c) $x = 3 \sin \left(2\pi t + \pi / 4\right)$
(d) $x = 2 \cos \pi t$

Accepted Answer

समाधान:

सरल आवर्त गति x(t) = A \cos (\omega t + \phi) के लिए निर्देश वृत्त की त्रिज्या A, कोणीय चाल ω और आरंभिक कला φ होती है। परिक्रमण दिशा वामावर्त है, अतः ω को ऋणात्मक मानेंगे।

(a) $x = -2 \sin (3t + \pi/3)$

पहले इसे cos रूप में लिखें:
\sin 	heta = \cos (	heta - \pi/2) \Rightarrow
x = -2 \sin (3t + \pi/3) = -2 \cos (3t + \pi/3 - \pi/2) = -2 \cos (3t - \pi/6)$

यह बराबर है:
$x = 2 \cos (3t - \pi/6 + \pi)$

तो,
त्रिज्या A = 2 cm,
कोणीय चाल ω = 3 rad/s (वामावर्त, अतः ω = -3 rad/s),
आरंभिक कला φ = -\pi/6 + \pi = 5\pi/6

(b) $x = \cos (\pi/6 - t) = \cos (-t + \pi/6)$

यह रूप है:
$x = \cos (-1 \cdot t + \pi/6)$

तो,
A = 1 cm,
ω = -1 rad/s (वामावर्त),
φ = \pi/6

(c) $x = 3 \sin (2\pi t + \pi/4)$

इसे cos में बदलें:
$x = 3 \sin (2\pi t + \pi/4) = 3 \cos (2\pi t + \pi/4 - \pi/2) = 3 \cos (2\pi t - \pi/4)$

ω = 2π rad/s (वामावर्त, ω = -2π),
A = 3 cm,
φ = -\pi/4

(d) $x = 2 \cos \pi t$

यह सीधे है:
A = 2 cm,
ω = π rad/s (वामावर्त, ω = -π),
φ = 0

प्रत्येक के लिए निर्देश वृत्त खींचें, त्रिज्या A, कोणीय चाल ω और आरंभिक कला φ दर्शाएं। — सभी x(t) को cos के रूप में लिखकर A, ω, φ ज्ञात करें। ω को वामावर्त दिशा के लिए ऋणात्मक लें। फिर निर्देश वृत्त बनाएं।

Question 13

13 चित्र 13.21(a) में $k$ बल-स्थिरांक की किसी कमानी के एक सिरे को किसी दृढ़ आधार से जकड़ा तथा दूसरे मुक्त सिरे से एक द्रव्यमान $m$ जुड़ा दर्शाया गया है। कमानी के मुक्त सिरे पर बल $mathbf{F}$ आरोपित करने से कमानी तन जाती है। चित्र 13.21(b) में उसी कमानी के दोनों मुक्त सिरों से द्रव्यमान $m$ जुड़ा दर्शाया गया है। कमानी के दोनों सिरों को चित्र 13.21 में समान बल $mathbf{F}$ द्वारा तानित किया गया है।

(a) दोनों प्रकरणों में कमानी का अधिकतम विस्तार क्या है?
(b) यदि (a) का द्रव्यमान तथा (b) के दोनों द्रव्यमानों को मुक्त छोड़ दिया जाए, तो प्रत्येक प्रकरण में दोलन का आवर्तकाल ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

समाधान:

(a) अधिकतम विस्तार:

(i) चित्र 13.21(a): कमानी के एक सिरे पर द्रव्यमान m है। जब बल F लगाया जाता है, तो विस्तार x_1 होगा।

F = k x_1 \Rightarrow x_1 = \frac{F}{k}

(ii) चित्र 13.21(b): कमानी के दोनों सिरों पर द्रव्यमान m जुड़ा है और दोनों सिरों पर समान बल F लगाया जाता है।

कुल बल 2F लगेगा, परंतु कमानी का विस्तार x_2 होगा।

क्योंकि दोनों सिरों पर बल समान है, तो विस्तार:

F = k \frac{x_2}{2} \Rightarrow x_2 = \frac{2F}{k}

अतः, अधिकतम विस्तार (b) में (a) का दोगुना होगा।

(b) आवर्तकाल:

(i) चित्र 13.21(a): द्रव्यमान m और कमानी स्थिरांक k के लिए आवर्तकाल:

T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}

(ii) चित्र 13.21(b): दो द्रव्यमान m जुड़े हैं। कुल द्रव्यमान 2m होगा। कमानी स्थिरांक k है।

आवर्तकाल:

T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{2m}{k}}

अतः, (b) का आवर्तकाल (a) से \sqrt{2} गुना अधिक होगा। — कमानी पर लगे बल और विस्तार के संबंध से अधिकतम विस्तार ज्ञात करें। आवर्तकाल T = 2π√(m/k) सूत्र से प्रत्येक प्रकरण का आवर्तकाल निकालें।

Question 14

14 किसी रेलगाड़ी के इंजन के सिलिंडर हैड में पिस्टन का स्ट्रोक (आयाम का दो गुना) 1.0 m का है। यदि पिस्टन 200 rad/min की कोणीय आवृत्ति से सरल आवर्त गति करता है, तो उसकी अधिकतम चाल कितनी है ?

Accepted Answer

दिया गया:

स्ट्रोक = 1.0 m = 2A \Rightarrow A = 0.5 m

कोणीय आवृत्ति ω = 200 rad/min = \frac{200}{60} rad/s = \frac{10}{3} rad/s

अधिकतम चाल vmax = ω A = \frac{10}{3} 	imes 0.5 = \frac{5}{3} = 1.67 m/s

अतः पिस्टन की अधिकतम चाल 1.67 m/s है। — सरल आवर्त गति में अधिकतम चाल vmax = ω A होती है। स्ट्रोक से आयाम A ज्ञात करें और ω को rad/s में बदलकर vmax निकालें।

Question 15

15 चंद्रमा के पृष्ठ पर गुरुत्वीय त्वरण 1.7 m s⁻² है। यदि किसी सरल लोलक का पृथ्वी के पृष्ठ पर आवर्तकाल 3.5 s है, तो उसका चंद्रमा के पृष्ठ पर आवर्तकाल कितना होगा ? (पृथ्वी के पृष्ठ पर g = 9.8 m s⁻²)

Accepted Answer

दिया गया:

पृथ्वी पर आवर्तकाल T_earth = 3.5 s

पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण g = 9.8 m/s²

चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण g_moon = 1.7 m/s²

सरल लोलक का आवर्तकाल:

T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}

चूँकि लोलक की लंबाई l समान है, इसलिए:

\frac{T_{moon}}{T_{earth}} = \sqrt{\frac{g_{earth}}{g_{moon}}}

अतः,

T_{moon} = T_{earth} \sqrt{\frac{g_{earth}}{g_{moon}}} = 3.5 	imes \sqrt{\frac{9.8}{1.7}} = 3.5 	imes \sqrt{5.76} = 3.5 	imes 2.4 = 8.4 s

अतः चंद्रमा पर आवर्तकाल लगभग 8.4 सेकंड होगा। — लोलक का आवर्तकाल T ∝ 1/√g होता है। गुरुत्वीय त्वरण के अनुपात से आवर्तकाल का अनुपात निकालकर चंद्रमा पर आवर्तकाल ज्ञात करें।

Chapter 6

Chapter 6 — अध्ययन नोट्स

13.1 भूमिका

13.2 दोलन और आवर्ती गति

13.2.1 आवर्तकाल तथा आवृत्ति

अभ्यास प्रश्न — Chapter 6

Bhautiki-II के सभी 7 अध्याय