Chapter 15
Chapter 15 — अध्ययन नोट्स
NCERT-संरेखित · 10 नोट्स · 3 निःशुल्क दिखाए गए
15.1 परिचय
व्याख्या15.1 परिचय
इस अनुभाग में रेखा समाकल, पृष्ठ समाकल और आयतन समाकल की अवधारणा का परिचय दिया गया है। समाकलन गणित की वह शाखा है जिसमें किसी फलन के क्षेत्रफल, पृष्ठीय क्षेत्रफल या आयतन की गणना की जाती है। रेखा समाकल का तात्पर्य किसी वक्र या रेखा के अनुदिश किसी फलन के समाकलन से है। पृष्ठ समाकल का प्रयोग किसी सतह पर परिभाषित फलन के समाकलन के लिए किया जाता है, जबकि आयतन समाकल त्रिविमीय क्षेत्र में फलन के समाकलन के लिए प्रयुक्त होता है। इन समाकलों का उपयोग भौतिकी, अभियांत्रिकी, सांख्यिकी, तथा अन्य विज्ञानों में किया जाता है। इस अध्याय में हम क्रमशः रेखा समाकल, पृष्ठ समाकल एवं आयतन समाकल की परिभाषा, सूत्र, गुणधर्म, तथा उनके अनुप्रयोगों का अध्ययन करेंगे।
- रेखा समाकल, पृष्ठ समाकल और आयतन समाकल का परिचय
- इन समाकलों का उपयोग क्षेत्रफल, पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की गणना में होता है
- समाकलन गणित की एक महत्वपूर्ण शाखा है
- इन समाकलों का उपयोग भौतिकी, अभियांत्रिकी आदि में होता है
- इस अध्याय में तीनों प्रकार के समाकलों का विस्तार से अध्ययन किया जाएगा
- 📌 रेखा समाकल: किसी वक्र के अनुदिश फलन का समाकलन
- 📌 पृष्ठ समाकल: किसी सतह पर फलन का समाकलन
- 📌 आयतन समाकल: त्रिविमीय क्षेत्र में फलन का समाकलन
15.2 रेखा समाकल
अवधारणा15.2 रेखा समाकल
रेखा समाकल का अर्थ है किसी वक्र या रेखा के अनुदिश किसी फलन का समाकलन करना। यदि कोई वक्र C है, जिस पर कोई फलन f(x, y, z) परिभाषित है, तो रेखा समाकल का सूत्र निम्न प्रकार है: ∫_C f(x, y, z) ds, जहाँ ds वक्र का सूक्ष्मांश है। रेखा समाकल दो प्रकार के होते हैं: (i) स्केलर फलन के लिए रेखा समाकल, (ii) सदिश फलन के लिए रेखा समाकल। स्केलर फलन के लिए, समाकलन वक्र की लंबाई के सापेक्ष किया जाता है। सदिश फलन के लिए, रेखा समाकल का उपयोग कार्य, प्रवाह आदि की गणना में किया जाता है। रेखा समाकल की गणना के लिए वक्र को उपयुक्त पैरामीटर के रूप में लिखा जाता है, जैसे r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t₁ ≤ t ≤ t₂। फिर ds = √((dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²) dt।
- रेखा समाकल वक्र के अनुदिश फलन का योगफल है
- दो प्रकार के रेखा समाकल: स्केलर और सदिश
- वक्र को पैरामीटर के रूप में व्यक्त किया जाता है
- ds वक्र का सूक्ष्मांश है
- रेखा समाकल का उपयोग कार्य, प्रवाह आदि की गणना में होता है
- 📌 वक्र (Curve): एक सतत रेखा जो किसी समीकरण से परिभाषित होती है
- 📌 पैरामीटर (Parameter): वह चर जिससे वक्र के बिंदु व्यक्त किए जाते हैं
15.3 सदिश क्षेत्र में रेखा समाकल
व्याख्या15.3 सदिश क्षेत्र में रेखा समाकल
सदिश क्षेत्र में रेखा समाकल का प्रयोग किसी बल क्षेत्र में कार्य, प्रवाह आदि की गणना के लिए किया जाता है। यदि F(x, y, z) = F₁ i + F₂ j + F₃ k कोई सदिश फलन है और C कोई वक्र है, तो रेखा समाकल का सूत्र है: ∫_C F ⋅ dr, जहाँ dr = dx i + dy j + dz k। इसका भ
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Numerical Analysis and Vector Calculus · Vardhman Mahaveer Open University
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