Chapter 7

7.1 अनन्तपदश्रृंखला का परिचय

इस अनुभाग में अनन्तपदश्रृंखला (Infinite Series) की मूल अवधारणा को विस्तार से समझाया गया है। अनन्तपदश्रृंखला गणित में एक महत्वपूर्ण विषय है, जिसमें पदों की संख्या अनन्त होती है। यह विषय विशेष रूप से कैलकुलस और अवकल समीकरणों में उपयोगी है। अनन्तपदश्रृंखला का सामान्य रूप है: S = a₁ + a₂ + a₃ + ... जहाँ प्रत्येक पद aₙ है और n अनन्त तक जाता है। इस प्रकार की श्रृंखला का अध्ययन हमें यह समझने में मदद करता है कि क्या ऐसी श्रृंखला का योग सीमित (संकलनीय) होता है या अनन्त। NCERT के अनुसार, अनन्तपदश्रृंखला की परिभाषा, उदाहरण और वास्तविक जीवन में इसके उपयोग को विस्तार से बताया गया है। इसके अंतर्गत संकलनीय (convergent), असंकलनीय (divergent) और अनिश्चित (indeterminate) श्रृंखला की अवधारणाएँ भी प्रस्तुत की गई हैं।

• अनन्तपदश्रृंखला में पदों की संख्या अनन्त होती है।
• ऐसी श्रृंखला का योग सीमित या अनन्त हो सकता है।
• संकलनीय श्रृंखला का योग एक निश्चित मान पर पहुँचता है।
• असंकलनीय श्रृंखला का योग अनन्त होता है।
• अनिश्चित श्रृंखला में योग का कोई निश्चित मान नहीं होता।
• अनन्तपदश्रृंखला कैलकुलस और अवकल समीकरणों में महत्वपूर्ण है।
• 📌 अनन्तपदश्रृंखला: पदों की अनन्त संख्या वाली श्रृंखला।
• 📌 संकलनीय: जिसका योग सीमित हो।
• 📌 असंकलनीय: जिसका योग अनन्त हो।

7.2 अनन्तपदश्रृंखला का योग और संकलनीयता

इस अनुभाग में अनन्तपदश्रृंखला के योग (Sum) और संकलनीयता (Convergence) की अवधारणा को विस्तार से समझाया गया है। यदि किसी अनन्तपदश्रृंखला S = a₁ + a₂ + a₃ + ... के प्रारंभिक n पदों का योग Sₙ है, तो Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ। यदि n → ∞ पर Sₙ एक निश्चित मान S पर पहुँचता है, तो श्रृंखला संकलनीय कहलाती है। यदि Sₙ अनन्त या अनिश्चित हो, तो श्रृंखला असंकलनीय या अनिश्चित कहलाती है। संकलनीयता की जाँच के लिए विभिन्न परीक्षण (जैसे, सीमा परीक्षण) का उपयोग किया जाता है।

• अनन्तपदश्रृंखला का योग Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ होता है।
• n → ∞ पर Sₙ यदि निश्चित मान S पर पहुँचता है, तो श्रृंखला संकलनीय है।
• यदि Sₙ अनन्त हो, तो श्रृंखला असंकलनीय है।
• सीमा परीक्षण संकलनीयता की जाँच के लिए उपयोगी है।
• संकलनीय श्रृंखला का योग वास्तविक जीवन में महत्वपूर्ण है।
• NCERT में संकलनीयता के उदाहरण दिए गए हैं।
• 📌 योग (Sum): पदों का कुल जोड़।
• 📌 संकलनीयता (Convergence): योग का निश्चित मान पर पहुँचना।
• 📌 सीमा परीक्षण (Limit Test): संकलनीयता की जाँच का तरीका।