Chapter 6
Chapter 6 — अध्ययन नोट्स
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6.1 परिचय
व्याख्या6.1 परिचय
इस अनुभाग में उच्चतम (मैक्सिमा) और निम्नतम (मिनिमा) की अवधारणा का परिचय दिया गया है। गणित में, किसी फलन के अधिकतम और न्यूनतम मानों का निर्धारण करना अत्यंत महत्वपूर्ण है। यह विषय भौतिकी, अर्थशास्त्र, अभियांत्रिकी, और अन्य क्षेत्रों में भी उपयोगी है, जहाँ हमें किसी प्रक्रिया या वस्तु के अधिकतम या न्यूनतम मान ज्ञात करने होते हैं। उदाहरण के लिए, किसी वस्तु की अधिकतम ऊँचाई, न्यूनतम लागत, अधिकतम लाभ आदि ज्ञात करने के लिए उच्चतम व निम्नतम का अध्ययन किया जाता है। इस अध्याय में, हम एक चर वाले फलनों के अधिकतम और न्यूनतम मानों को ज्ञात करने की विधियों का अध्ययन करेंगे। साथ ही, हम स्थानीय (स्थानीय) तथा वैश्विक (सार्वत्रिक) अधिकतम व न्यूनतम के बीच का अंतर भी समझेंगे।
- उच्चतम व निम्नतम का अर्थ अधिकतम और न्यूनतम मानों से है।
- गणित में इनका उपयोग किसी फलन के चरम मान ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
- यह विषय भौतिकी, अर्थशास्त्र, अभियांत्रिकी आदि में अत्यंत महत्वपूर्ण है।
- स्थानीय व सार्वत्रिक अधिकतम-न्यूनतम में अंतर होता है।
- इस अध्याय में एक चर वाले फलनों के अधिकतम-न्यूनतम का अध्ययन किया जाएगा।
- 📌 अधिकतम (Maximum) – किसी फलन का सबसे बड़ा मान।
- 📌 न्यूनतम (Minimum) – किसी फलन का सबसे छोटा मान।
- 📌 स्थानीय (Local) – किसी सीमित क्षेत्र में चरम मान।
6.2 चरम बिंदु (Extrema) की परिभाषा
परिभाषा6.2 चरम बिंदु (Extrema) की परिभाषा
इस अनुभाग में चरम बिंदु (Extrema) की औपचारिक परिभाषा दी गई है। यदि किसी फलन f(x) के किसी बिंदु x = c पर f(c) अपने समीपवर्ती बिंदुओं की तुलना में सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान लेता है, तो x = c को चरम बिंदु (Extremum) कहते हैं। चरम बिंदु दो प्रकार के होते हैं – अधिकतम (Maximum) और न्यूनतम (Minimum)। यदि f(c) समीपवर्ती बिंदुओं की तुलना में सबसे बड़ा है, तो वह अधिकतम बिंदु है, और यदि सबसे छोटा है, तो न्यूनतम बिंदु है। स्थानीय (Local) चरम बिंदु का अर्थ है कि वह मान केवल समीपवर्ती बिंदुओं के लिए चरम है, जबकि सार्वत्रिक (Global) चरम बिंदु सम्पूर्ण परिभाषा क्षेत्र में चरम होता है।
- चरम बिंदु वे बिंदु हैं जहाँ फलन अधिकतम या न्यूनतम मान लेता है।
- स्थानीय चरम बिंदु समीपवर्ती क्षेत्र में चरम होते हैं।
- सार्वत्रिक चरम बिंदु सम्पूर्ण क्षेत्र में चरम होते हैं।
- अधिकतम और न्यूनतम – चरम बिंदु के दो प्रकार।
- चरम बिंदु ज्ञात करने के लिए समीकरण f'(x) = 0 हल किया जाता है।
- 📌 चरम बिंदु (Extremum) – अधिकतम या न्यूनतम बिंदु।
- 📌 स्थानीय अधिकतम (Local Maximum) – समीपवर्ती क्षेत्र में सबसे बड़ा मान।
- 📌 स्थानीय न्यूनतम (Local Minimum) – समीपवर्ती क्षेत्र में सबसे छोटा मान।
6.3 आवश्यक शर्त (Necessary Condition) – प्रथम अवकलज परीक्षण
अवधारणा6.3 आवश्यक शर्त (Necessary Condition) – प्रथम अवकलज परीक्षण
इस अनुभाग में अधिकतम या न्यूनतम मान प्राप्त करने के लिए आवश्यक शर्त का वर्णन किया गया है। यदि किसी फलन f(x) का x = c पर अधिकतम या न्यूनतम मान है, तो आवश्यक है कि f'(c) = 0 हो। इसे प्रथम अवकलज परीक्षण (First Derivative Test) कहते हैं। इसका अर्थ है कि
SLM - Calculus and Differential Equations (Hindi) के सभी 13 अध्याय
Calculus and Differential Equations · Vardhman Mahaveer Open University