Chapter 5

5.1 परिचय

इस अनुभाग में आंशिक अवकलन का परिचय दिया गया है। आंशिक अवकलन गणित की वह शाखा है जिसमें बहुपरिवर्ती फलनों के अवकलन का अध्ययन किया जाता है। जब कोई फलन दो या अधिक स्वतंत्र चर (जैसे x, y, z) पर निर्भर करता है, तो उस फलन के प्रत्येक चर के सापेक्ष अवकलन को आंशिक अवकलन कहते हैं। उदाहरणस्वरूप, यदि u = f(x, y) है, तो x के सापेक्ष आंशिक अवकलन को ∂u/∂x और y के सापेक्ष आंशिक अवकलन को ∂u/∂y द्वारा दर्शाया जाता है। आंशिक अवकलन का उपयोग भौतिकी, रसायन, जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र आदि में बहुपरिवर्ती समस्याओं के समाधान में होता है। इस अध्याय में हम आंशिक अवकलन की मूलभूत परिभाषा, गुण, नियम, और उनके अनुप्रयोगों का अध्ययन करेंगे।

• आंशिक अवकलन बहुपरिवर्ती फलनों के लिए प्रयुक्त होता है।
• प्रत्येक स्वतंत्र चर के सापेक्ष अवकलन को आंशिक अवकलन कहते हैं।
• आंशिक अवकलन का संकेत ∂ द्वारा किया जाता है।
• यह भौतिकी, रसायन, जीव विज्ञान आदि में महत्वपूर्ण है।
• इस अध्याय में आंशिक अवकलन के नियम, गुण और अनुप्रयोगों का अध्ययन किया जाएगा।
• 📌 आंशिक अवकलन: बहुपरिवर्ती फलन के किसी एक चर के सापेक्ष अवकलन
• 📌 स्वतंत्र चर: वह चर जिस पर फलन निर्भर करता है

5.2 आंशिक अवकलन की परिभाषा

इस अनुभाग में आंशिक अवकलन की औपचारिक परिभाषा दी गई है। यदि u = f(x, y) एक फलन है, जो x और y दोनों पर निर्भर करता है, तो x के सापेक्ष आंशिक अवकलन को निम्न प्रकार से परिभाषित किया जाता है: ∂u/∂x = lim (h→0) [f(x+h, y) - f(x, y)] / h यहाँ y को स्थिर मानकर x में परिवर्तन किया जाता है। इसी प्रकार y के सापेक्ष आंशिक अवकलन: ∂u/∂y = lim (k→0) [f(x, y+k) - f(x, y)] / k आंशिक अवकलन का संकेत ∂ (डेल) द्वारा किया जाता है। यदि फलन तीन चर (x, y, z) पर निर्भर करता है, तो ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z तीनों आंशिक अवकलन होंगे।

• आंशिक अवकलन में एक चर को बदलते हैं, अन्य को स्थिर रखते हैं।
• ∂u/∂x का अर्थ है x के सापेक्ष अवकलन, y को स्थिर रखते हुए।
• आंशिक अवकलन का संकेत ∂ द्वारा किया जाता है।
• बहुपरिवर्ती फलनों के लिए आवश्यक है।
• NCERT में सीमित परिवर्तन विधि द्वारा परिभाषा दी गई है।
• 📌 डेल (∂): आंशिक अवकलन का संकेत
• 📌 सीमित परिवर्तन: h या k के बहुत छोटे मान