Chapter 12

12.1 परिचय

इस अनुभाग में परिमाण ठोसों के आयतन एवं पृष्ठ के अध्ययन का महत्व बताया गया है। गणित में ठोसों के आयतन (Volume) और पृष्ठ (Surface Area) की गणना का उपयोग भौतिक विज्ञान, अभियांत्रिकी, वास्तुकला, और दैनिक जीवन में होता है। जब कोई ठोस वस्तु जैसे बेलन, शंकु, गोला आदि दी जाती है, तो उसके भीतर की जगह (आयतन) और उसकी बाहरी सतह (पृष्ठ) को मापना आवश्यक होता है। इस अध्याय में हम गणितीय विश्लेषण (Calculus) के माध्यम से इन ठोसों के आयतन एवं पृष्ठ की गणना करना सीखेंगे। यह अध्याय मुख्यतः घूर्णन द्वारा उत्पन्न ठोसों (Solids of Revolution) पर केंद्रित है, जिसमें किसी वक्र को किसी अक्ष के चारों ओर घुमाने से उत्पन्न ठोस का अध्ययन किया जाता है। इसके लिए हम समाकलन (Integration) की विधियों का प्रयोग करेंगे।

• परिमाण ठोसों के आयतन और पृष्ठ की गणना का दैनिक जीवन में महत्त्व।
• घूर्णन द्वारा उत्पन्न ठोसों की परिभाषा।
• समाकलन की सहायता से आयतन एवं पृष्ठ की गणना।
• गणित, विज्ञान और अभियांत्रिकी में इन अवधारणाओं का उपयोग।
• 📌 आयतन (Volume): किसी ठोस के भीतर की कुल जगह।
• 📌 पृष्ठ (Surface): ठोस की बाहरी सतह।
• 📌 घूर्णन (Revolution): किसी वक्र को किसी अक्ष के चारों ओर घुमाना।

12.2 घूर्णन द्वारा उत्पन्न ठोसों का आयतन

इस अनुभाग में बताया गया है कि जब कोई वक्र y = f(x), x = a से x = b तक, x-अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है, तो उससे उत्पन्न ठोस का आयतन कैसे निकाला जाता है। इस प्रक्रिया को 'घूर्णन द्वारा उत्पन्न ठोस' (Solid of Revolution) कहते हैं। आयतन निकालने के लिए हम छोटे-छोटे बेलनाकार पट्टियों (cylindrical shells) या डिस्क (discs) की कल्पना करते हैं और उनका समाकलन करते हैं। यदि वक्र y = f(x) को x-अक्ष के चारों ओर घुमाया जाए, तो उत्पन्न ठोस का आयतन निम्नलिखित सूत्र से निकलता है: आयतन = π × ∫[a से b] (f(x))² dx यह सूत्र डिस्क विधि (Disc Method) कहलाती है।

• घूर्णन द्वारा उत्पन्न ठोस का अर्थ।
• डिस्क विधि द्वारा आयतन की गणना।
• समाकलन का उपयोग।
• y = f(x) वक्र को x-अक्ष के चारों ओर घुमाने पर आयतन का सूत्र।
• 📌 डिस्क विधि (Disc Method): वक्र के छोटे-छोटे डिस्क बनाकर आयतन निकालने की विधि।
• 📌 समाकलन (Integration): छोटे-छोटे भागों को जोड़कर कुल मान निकालना।