Chapter 3
Chapter 3 — अध्ययन नोट्स
NCERT-संरेखित · 10 नोट्स · 3 निःशुल्क दिखाए गए
3.1 परिचय
व्याख्या3.1 परिचय
इस अनुभाग में वक्र के चाप का अवकलज एवं पदक समीकरण की आवश्यकता, महत्व और गणितीय पृष्ठभूमि का परिचय दिया गया है। वक्र (Curve) गणित में एक ऐसी रेखा है जिसका कोई निश्चित समीकरण होता है और जो दो या दो से अधिक बिंदुओं को जोड़ती है। वक्र के चाप का अवकलज (Differentiation of Arc of a Curve) का अर्थ है – वक्र के किसी बिंदु पर उसके स्पर्शज (tangent) की प्रवणता (slope) ज्ञात करना। पदक समीकरण (Parametric Equation) वे समीकरण होते हैं जिनमें वक्र के बिंदुओं को किसी अन्य चर (parameter) के रूप में व्यक्त किया जाता है। इस अध्याय में हम जानेंगे कि वक्र के चाप का अवकलज कैसे किया जाता है, पदक समीकरणों के माध्यम से वक्र का विश्लेषण कैसे किया जाता है, तथा इनकी गणितीय व्याख्या क्या है। यह विषय भौतिकी, अभियांत्रिकी, सांख्यिकी तथा अन्य विज्ञानों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, जैसे – गति के विश्लेषण, वक्र की लम्बाई, क्षेत्रफल आदि की गणना में।
- वक्र के चाप का अवकलज वक्र के किसी बिंदु पर स्पर्शज की प्रवणता ज्ञात करने की विधि है।
- पदक समीकरणों द्वारा वक्र के बिंदुओं को किसी अन्य चर के रूप में दर्शाया जाता है।
- यह विषय गति, क्षेत्रफल, लम्बाई आदि की गणना में उपयोगी है।
- वक्र के समीकरण को सामान्य (Cartesian) या पदक रूप में लिखा जा सकता है।
- अवकलज गणना के लिए गणितीय नियमों का पालन आवश्यक है।
- 📌 वक्र (Curve): एक ऐसी रेखा जिसका कोई निश्चित समीकरण होता है।
- 📌 अवकलज (Differentiation): किसी फलन के परिवर्तन की दर ज्ञात करने की क्रिया।
- 📌 पदक समीकरण (Parametric Equation): वक्र के बिंदुओं को किसी अन्य चर के रूप में व्यक्त करने वाले समीकरण।
3.2 वक्र के चाप का अवकलज
अवधारणा3.2 वक्र के चाप का अवकलज
इस अनुभाग में वक्र के चाप का अवकलज निकालने की विधि को विस्तार से समझाया गया है। वक्र के चाप का अवकलज का अर्थ है – वक्र के किसी बिंदु पर उसके स्पर्शज की प्रवणता ज्ञात करना। यदि वक्र का समीकरण y = f(x) है, तो x के सापेक्ष y का अवकलज (dy/dx) उस बिंदु पर वक्र की प्रवणता देता है। यदि वक्र को पदक समीकरणों के रूप में x = f(t), y = g(t) लिखा गया है, तो प्रवणता ज्ञात करने के लिए dx/dt और dy/dt का उपयोग किया जाता है।
- वक्र के चाप का अवकलज वक्र के किसी बिंदु पर स्पर्शज की प्रवणता देता है।
- कार्तीय समीकरण के लिए प्रवणता dy/dx द्वारा ज्ञात होती है।
- पदक समीकरणों के लिए प्रवणता (dy/dt) ÷ (dx/dt) होती है।
- अवकलज के लिए सामान्य अवकलन नियमों का पालन किया जाता है।
- स्पर्शज की प्रवणता का भौतिक अर्थ गति, दिशा आदि से जुड़ा है।
- 📌 स्पर्शज (Tangent): वक्र के किसी बिंदु पर उसे छूने वाली रेखा।
- 📌 प्रवणता (Slope): रेखा के झुकाव की मात्रा।
3.3 पदक समीकरणों के लिए अवकलज
व्याख्या3.3 पदक समीकरणों के लिए अवकलज
इस अनुभाग में पदक समीकरणों के लिए अवकलज निकालने की विधि को विस्तार से समझाया गया है। जब वक्र के बिंदुओं को किसी अन्य चर (parameter) t के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो x = f(t), y = g(t) पदक समीकरण कहलाते हैं। ऐसे में वक्र के किसी बिंदु पर स्पर्शज क
SLM - Calculus and Differential Equations (Hindi) के सभी 13 अध्याय
Calculus and Differential Equations · Vardhman Mahaveer Open University