Chapter 7

7.1 परिचय

इस अनुभाग में अनन्तपद श्रेणियों (Infinite Series) का परिचय दिया गया है। गणित में अनन्तपद श्रेणियाँ एक अत्यंत महत्वपूर्ण विषय है, जिसका उपयोग विभिन्न क्षेत्रों जैसे भौतिकी, सांख्यिकी, अर्थशास्त्र, और अभियांत्रिकी में किया जाता है। जब किसी अनुक्रम (Sequence) के पदों का योग अनन्त तक किया जाता है, तो उसे अनन्तपद श्रेणी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... एक अनन्तपद श्रेणी है। इस प्रकार की श्रेणियों का अध्ययन करने से हमें यह समझने में सहायता मिलती है कि किसी अनुक्रम का योग किस ओर अग्रसर होता है और क्या उसका योग एक निश्चित मान (समीपवर्ती योग) तक पहुँचता है या नहीं। इस अध्याय में हम श्रेणियों के प्रकार, अभिसरण (Convergence) एवं अपसरण (Divergence), तथा विभिन्न परीक्षणों का अध्ययन करेंगे।

• अनन्तपद श्रेणी में अनुक्रम के सभी पदों का योग अनन्त तक किया जाता है।
• गणित, भौतिकी, और अन्य विज्ञानों में अनन्तपद श्रेणियों का विशेष महत्व है।
• श्रृंखला के योग को समीपवर्ती योग (Sum to infinity) कहा जाता है।
• श्रृंखला का योग सीमित या असीमित हो सकता है।
• इस अध्याय में अभिसरण, अपसरण, तथा परीक्षणों का अध्ययन किया जाएगा।
• 📌 अनुक्रम: संख्याओं की एक क्रमबद्ध सूची।
• 📌 श्रृंखला: अनुक्रम के पदों का योग।
• 📌 अनन्तपद श्रेणी: अनुक्रम के सभी पदों का अनन्त तक योग।

7.2 अनुक्रम और श्रेणी

इस अनुभाग में अनुक्रम (Sequence) और श्रेणी (Series) के बीच का अंतर स्पष्ट किया गया है। अनुक्रम संख्याओं की एक क्रमबद्ध सूची है, जबकि श्रेणी उन संख्याओं का योग है। उदाहरण के लिए, 2, 4, 6, 8, ... एक अनुक्रम है, जबकि 2 + 4 + 6 + 8 + ... एक श्रेणी है। यदि श्रेणी के पद अनन्त तक जाते हैं, तो वह अनन्तपद श्रेणी कहलाती है। श्रेणी के योग को Sₙ द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ n पदों का योग लिया जाता है।

• अनुक्रम में केवल संख्याएँ होती हैं, श्रेणी में उनका योग होता है।
• Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ, n पदों का योग।
• अनन्तपद श्रेणी में n → ∞ तक योग किया जाता है।
• हर अनुक्रम से एक श्रेणी बनाई जा सकती है।
• श्रृंखला के योग का अध्ययन महत्वपूर्ण है।
• 📌 अनुक्रम: संख्याओं की क्रमबद्ध सूची।
• 📌 श्रृंखला: अनुक्रम के पदों का योग।