Chapter 5

5.1 उपसमूहों की पुनरावृत्ति

इस अनुभाग में उपसमूह की अवधारणा की पुनरावृत्ति की जाती है। उपसमूह (Subgroup) किसी समूह (Group) G का वह गैर-रिक्त उपसमुच्चय (Non-empty subset) होता है, जिसमें समूह के सभी गुण (Closure, Associativity, Identity, Inverse) बने रहते हैं। यदि H, G का उपसमुच्चय है और H स्वयं एक समूह है, तो H को G का उपसमूह कहते हैं। उपसमूह की जाँच के लिए दो मुख्य विधियाँ हैं: (1) उपसमुच्चय में क्लोजर, एसोसिएटिविटी, आइडेंटिटी और इनवर्स की पुष्टि करें; (2) उपसमुच्चय में a, b ∈ H के लिए a × b⁻¹ ∈ H होना चाहिए।

• उपसमूह किसी समूह का गैर-रिक्त उपसमुच्चय होता है।
• उपसमूह में क्लोजर, एसोसिएटिविटी, आइडेंटिटी, इनवर्स गुण बने रहते हैं।
• उपसमूह की जाँच के लिए दो विधियाँ उपयोग होती हैं।
• प्रत्येक समूह में ट्रिवियल उपसमूह (केवल आइडेंटिटी) और स्वयं समूह उपसमूह होते हैं।
• उपसमूहों की पुनरावृत्ति आगे सामान्य उपसमूह की समझ के लिए आवश्यक है।
• 📌 उपसमूह: किसी समूह का ऐसा उपसमुच्चय जिसमें समूह के सभी गुण बने रहते हैं।
• 📌 समूह: एक गैर-रिक्त सेट जिसमें क्लोजर, एसोसिएटिविटी, आइडेंटिटी, इनवर्स गुण होते हैं।

5.2 सामान्य उपसमूह की परिभाषा

इस अनुभाग में सामान्य उपसमूह (Normal Subgroup) की परिभाषा दी गई है। यदि H, G का उपसमूह है और G के प्रत्येक g ∈ G के लिए gHg⁻¹ = H होता है, तो H को G का सामान्य उपसमूह कहते हैं। सामान्य उपसमूह को 'N' या 'H' से दर्शाया जाता है और इसे N ⊲ G या H ⊲ G लिखा जाता है। सामान्य उपसमूह का महत्व यह है कि इससे क्वोटिएंट समूह (Quotient Group) की रचना संभव होती है।

• सामान्य उपसमूह वह उपसमूह है जिसमें gHg⁻¹ = H सभी g ∈ G के लिए।
• सामान्य उपसमूह को N ⊲ G से दर्शाया जाता है।
• सामान्य उपसमूह क्वोटिएंट समूह की रचना के लिए आवश्यक है।
• सभी समूहों में ट्रिवियल उपसमूह और स्वयं समूह सामान्य उपसमूह होते हैं।
• सामान्य उपसमूह की परिभाषा समूह के आंतरिक संरचना को दर्शाती है।
• 📌 सामान्य उपसमूह: ऐसा उपसमूह जिसमें gHg⁻¹ = H सभी g ∈ G के लिए होता है।
• 📌 क्वोटिएंट समूह: सामान्य उपसमूह के आधार पर बना नया समूह।