Chapter 14

14.1 समुच्चय एवं सदृश समुच्चय का परिचय

इस अनुभाग में समुच्चय (Set) और सदृश समुच्चय (Similar Set) की मूल अवधारणा का परिचय दिया गया है। समुच्चय गणित में वस्तुओं के संग्रह को दर्शाता है, जिसमें प्रत्येक वस्तु को 'सदस्य' कहा जाता है। सदृश समुच्चय वे समुच्चय होते हैं जिनके सदस्यों की संख्या समान होती है, अर्थात् उनके बीच एक-एक का संबंध स्थापित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि समुच्चय A = {1, 2, 3} और समुच्चय B = {a, b, c} हैं, तो दोनों में 3-3 सदस्य हैं, अतः ये सदृश समुच्चय हैं। इस परिचय में समुच्चय की संकल्पना, सदस्यता, और सदृशता की शर्तों को विस्तार से समझाया गया है।

• समुच्चय वस्तुओं का संग्रह है, जिसमें प्रत्येक वस्तु को सदस्य कहते हैं।
• सदृश समुच्चय वे होते हैं जिनमें सदस्यों की संख्या समान होती है।
• सदृशता के लिए दोनों समुच्चयों में एक-एक का संबंध होना चाहिए।
• समुच्चय को {} के भीतर दर्शाया जाता है।
• सदृश समुच्चय की पहचान सदस्य संख्या से होती है।
• यह अवधारणा आगे विभाजन और परिमितता की समझ में सहायक है।
• 📌 समुच्चय: वस्तुओं का संग्रह
• 📌 सदृश समुच्चय: समान सदस्य संख्या वाले समुच्चय

14.2 समुच्चय का विभाजन

इस अनुभाग में समुच्चय के विभाजन (Partition of Set) की अवधारणा को विस्तार से समझाया गया है। विभाजन का अर्थ है समुच्चय को ऐसे उपसमुच्चयों में बाँटना कि प्रत्येक सदस्य किसी न किसी उपसमुच्चय में हो और कोई भी सदस्य दो उपसमुच्चयों में न हो। विभाजन के लिए आवश्यक शर्तें हैं: (1) सभी उपसमुच्चय मिलकर मूल समुच्चय बनाते हैं, (2) कोई भी उपसमुच्चय खाली नहीं होता, (3) उपसमुच्चयों के बीच कोई सदस्य साझा नहीं होता। उदाहरण के लिए, समुच्चय S = {1, 2, 3, 4} को उपसमुच्चय {1, 2} और {3, 4} में विभाजित किया जा सकता है।

• विभाजन में समुच्चय को उपसमुच्चयों में बाँटा जाता है।
• हर सदस्य किसी एक उपसमुच्चय में ही होता है।
• कोई भी उपसमुच्चय खाली नहीं होना चाहिए।
• उपसमुच्चयों के बीच कोई सदस्य साझा नहीं होता।
• सभी उपसमुच्चय मिलकर मूल समुच्चय बनाते हैं।
• विभाजन समुच्चय की संरचना को समझने में सहायक है।
• 📌 विभाजन: समुच्चय को उपसमुच्चयों में बाँटना
• 📌 उपसमुच्चय: मूल समुच्चय का भाग