Chapter 4

4.1 समाकारता (Homomorphism) की परिभाषा

इस अनुभाग में समाकारता (Homomorphism) की औपचारिक परिभाषा दी गई है। यदि (G, *) और (G', ◦) दो समूह हैं, तो एक फलन φ: G → G' को समूह समाकारता कहा जाता है यदि वह प्रत्येक a, b ∈ G के लिए φ(a * b) = φ(a) ◦ φ(b) को संतुष्ट करता है। इसका अर्थ है कि समूह G के दो अवयवों का गुणनफल लेकर उस पर φ लागू करने से वही परिणाम मिलता है, जैसा कि पहले दोनों अवयवों पर φ लागू कर, फिर उनके परिणामों का G' में गुणनफल लेने से मिलता है। समाकारता समूह के संरचनात्मक गुणों को संरक्षित करता है।

• समाकारता दो समूहों के बीच संरचना-संरक्षण करने वाला फलन है।
• φ(a * b) = φ(a) ◦ φ(b) सभी a, b ∈ G के लिए संतुष्ट होना चाहिए।
• समाकारता समूह के तत्त्वों के बीच संबंध को बनाए रखता है।
• समाकारता समूह के तत्त्वों की व्यवस्था या ऑपरेशन को नहीं बदलता।
• 📌 समाकारता (Homomorphism): दो समूहों के बीच संरचना-संरक्षण करने वाला फलन।
• 📌 समूह (Group): एक बीजगणितीय संरचना जिसमें एक बाइनरी ऑपरेशन, एकता तत्त्व, प्रतिलोम तत्त्व, और संयोजन का गुण होता है।

4.2 समाकारता के प्रकार

इस अनुभाग में समाकारता के विभिन्न प्रकारों का वर्णन किया गया है, जैसे एक-एक (Injective), परिपूर्ण (Surjective), द्व्येक (Bijective) समाकारता, तथा समरूपता (Isomorphism) और स्वसमाकारता (Automorphism)। यदि समाकारता φ एक-एक और परिपूर्ण दोनों है, तो उसे समरूपता (Isomorphism) कहा जाता है। यदि समूह G से स्वयं में समाकारता है, तो उसे स्वसमाकारता (Automorphism) कहते हैं। इन प्रकारों की पहचान करने के लिए फलन के गुणों की जाँच की जाती है।

• एक-एक समाकारता में प्रत्येक तत्त्व का अलग छवि होती है।
• परिपूर्ण समाकारता में हर तत्त्व की छवि होती है।
• द्व्येक समाकारता दोनों गुणों को संतुष्ट करता है।
• समरूपता संरचना की पूर्ण समानता दर्शाता है।
• स्वसमाकारता समूह के भीतर संरचना-संरक्षण करता है।
• 📌 एक-एक (Injective): प्रत्येक अवयव का अलग छवि।
• 📌 परिपूर्ण (Surjective): हर छवि के लिए पूर्वछवि मौजूद।
• 📌 द्व्येक (Bijective): एक-एक और परिपूर्ण दोनों।