Chapter 4

4.1 प्रस्तावना

इस अनुभाग में असमान अंतराल द्वारा अंतःपतन (Interpolation with Unequal Intervals) की आवश्यकता और महत्व को विस्तार से समझाया गया है। जब हमें किसी फलन के कुछ ज्ञात बिंदुओं के लिए मान ज्ञात होते हैं और वे बिंदु समान दूरी (अंतराल) पर नहीं होते, तब असमान अंतराल विधियों का उपयोग किया जाता है। यह खंड बताता है कि व्यावहारिक स्थितियों में प्रायः डेटा असमान अंतराल पर ही उपलब्ध होता है, जैसे भौतिकी, अभियांत्रिकी, सांख्यिकी आदि क्षेत्रों में। इस कारण, असमान अंतराल के लिए उपयुक्त अंतःपतन सूत्रों की आवश्यकता होती है। इस अनुभाग में यह भी बताया गया है कि समान अंतराल के लिए न्यूटन का गॉस, फॉरवर्ड या बैकवर्ड फॉर्मूला प्रयुक्त होते हैं, जबकि असमान अंतराल के लिए न्यूटन का डिवाइडेड डिफरेंस फॉर्मूला तथा लैग्रेंज का फॉर्मूला उपयुक्त होते हैं।

• असमान अंतराल का अर्थ है – ज्ञात बिंदुओं के बीच की दूरी समान नहीं होती।
• असमान अंतराल के लिए विशेष अंतःपतन सूत्रों की आवश्यकता होती है।
• न्यूटन का डिवाइडेड डिफरेंस फॉर्मूला और लैग्रेंज फॉर्मूला असमान अंतराल के लिए उपयुक्त हैं।
• व्यावहारिक समस्याओं में प्रायः डेटा असमान अंतराल पर ही मिलता है।
• समान अंतराल के लिए प्रयुक्त सूत्र असमान अंतराल पर लागू नहीं होते।
• 📌 अंतःपतन: ज्ञात डेटा बिंदुओं के मध्य किसी बिंदु पर फलन का मान ज्ञात करना।
• 📌 असमान अंतराल: जब ज्ञात बिंदुओं के बीच की दूरी समान न हो।

4.2 न्यूटन का डिवाइडेड डिफरेंस अंतःपतन सूत्र

इस अनुभाग में न्यूटन के डिवाइडेड डिफरेंस अंतःपतन सूत्र (Newton's Divided Difference Interpolation Formula) का विस्तार से वर्णन किया गया है। यह सूत्र असमान अंतराल पर दिए गए डेटा के लिए उपयुक्त है। इसमें डिवाइडेड डिफरेंस की अवधारणा का प्रयोग किया जाता है, जिसमें फलन के मानों के बीच के अंतर को उनके x मानों के अंतर से विभाजित किया जाता है। सूत्र की व्युत्पत्ति, उसकी सामान्य रूप, और उसका उपयोग विस्तार से समझाया गया है।

• न्यूटन का डिवाइडेड डिफरेंस फॉर्मूला असमान अंतराल के लिए उपयुक्त है।
• डिवाइडेड डिफरेंस क्रमशः उच्च कोटि के अंतर निकालने की प्रक्रिया है।
• सूत्र में x के मानों के अंतर का उपयोग किया जाता है।
• यह सूत्र पुनरावृत्त रूप में लिखा जाता है।
• प्रत्येक डिवाइडेड डिफरेंस पिछले डिफरेंस पर आधारित होता है।
• 📌 डिवाइडेड डिफरेंस: दो बिंदुओं के y मानों का अंतर, उनके x मानों के अंतर से विभाजित।
• 📌 अंतःपतन बहुपद: ज्ञात बिंदुओं के आधार पर निर्मित बहुपद।