Chapter 12

12.1 सदिश और उनके गुण

इस अनुभाग में सदिश (Vector) की मूलभूत परिभाषा, उनके प्रकार, और गुणों का विस्तार से वर्णन किया गया है। सदिश वे राशियाँ होती हैं जिनके पास परिमाण (Magnitude) और दिशा (Direction) दोनों होते हैं, जैसे विस्थापन, वेग, त्वरण आदि। इसके विपरीत, केवल परिमाण वाली राशियों को अदिश (Scalar) कहते हैं, जैसे द्रव्यमान, तापमान, समय आदि। सदिशों का निरूपण प्रायः तीर के रूप में किया जाता है, जिसमें तीर की लंबाई परिमाण को और तीर की दिशा सदिश की दिशा को दर्शाती है। सदिशों के प्रकारों में मुक्त सदिश (Free Vector), बंधित सदिश (Bound Vector), और स्थानिक सदिश (Position Vector) शामिल हैं। सदिशों के योग, घटाव, और गुणन के नियम भी इस अनुभाग में दिए गए हैं। सदिशों को जोड़ने के लिए त्रिभुज नियम और समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग किया जाता है।

• सदिश में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
• अदिश में केवल परिमाण होता है, दिशा नहीं।
• सदिश का निरूपण तीर द्वारा किया जाता है।
• मुक्त, बंधित, और स्थानिक सदिश इसके प्रकार हैं।
• सदिशों का योग त्रिभुज या समांतर चतुर्भुज नियम से होता है।
• सदिशों के गुणन के दो प्रकार होते हैं: डॉट और क्रॉस गुणन।
• 📌 सदिश: वह राशि जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
• 📌 अदिश: वह राशि जिसमें केवल परिमाण होता है।
• 📌 स्थानिक सदिश: किसी बिंदु का मूल से स्थिति दर्शाने वाला सदिश।

12.2 सदिशों का बीजगणित

इस अनुभाग में सदिशों के बीजगणितीय संक्रियाओं का विस्तार से वर्णन है। इसमें सदिशों का योग, घटाव, और गुणन (डॉट और क्रॉस प्रोडक्ट) के नियम दिए गए हैं। सदिशों का योग दो या दो से अधिक सदिशों को जोड़ने की प्रक्रिया है, जिसमें त्रिभुज नियम और समांतर चतुर्भुज नियम का प्रयोग किया जाता है। घटाव में एक सदिश को दूसरे से घटाया जाता है, जो कि जोड़ के विपरीत दिशा में होता है। डॉट प्रोडक्ट (a · b) दो सदिशों का अदिश गुणन है, जिसका परिणाम अदिश होता है। क्रॉस प्रोडक्ट (a × b) दो सदिशों का सदिश गुणन है, जिसका परिणाम एक नया सदिश होता है, जो दोनों सदिशों के समतल के लंबवत होता है।

• सदिशों का योग त्रिभुज या समांतर चतुर्भुज नियम से किया जाता है।
• सदिशों का घटाव, जोड़ के विपरीत दिशा में होता है।
• डॉट प्रोडक्ट का परिणाम अदिश होता है।
• क्रॉस प्रोडक्ट का परिणाम सदिश होता है।
• डॉट प्रोडक्ट: a · b = |a| × |b| × cosθ
• क्रॉस प्रोडक्ट: a × b = |a| × |b| × sinθ × n̂
• 📌 डॉट प्रोडक्ट: दो सदिशों का अदिश गुणन।
• 📌 क्रॉस प्रोडक्ट: दो सदिशों का सदिश गुणन।
• 📌 त्रिभुज नियम: दो सदिशों को जोड़ने का ज्यामितीय नियम।