Question 1

मंगल ग्रह के फोबोस तथा डेल्मोस नामक दो चन्द्रमा हैं। (i) यदि फोबोस का आवर्तकाल 7 घंटे 39 मिनट तथा कक्षीय त्रिज्या $9.4 	imes 10^3 \, 	ext{km}$ है तो मंगल का द्रव्यमान परिकलित कीजिए। (ii) यह मानते हुए कि पृथ्वी तथा मंगल सूर्य के परित: वृत्तीय कक्षाओं में परिक्रमण कर रहे हैं तथा मंगल की कक्षा की त्रिज्या पृथ्वी की कक्षा की त्रिज्या की 1.52 गुनी है तो मंगल-वर्ष की अवधि दिनों में क्या है?

Accepted Answer

(i) यहाँ पर समीकरण (7.38) का उपयोग पृथ्वी के द्रव्यमान $M_E$ को मंगल के द्रव्यमान $M_m$ से प्रतिस्थापित करके करते हैं

$$
T^2 = \frac{4\pi^2}{GM_m} R^3
$$

इससे,

$$
\begin{aligned}
M_m &= \frac{4\pi^2}{G} \frac{R^3}{T^2} \
&= \frac{4 	imes (3.14)^2 	imes (9.4)^3 	imes 10^{18}}{6.67 	imes 10^{-11} 	imes (459 	imes 60)^2} \
&= \frac{4 	imes (3.14)^2 	imes (9.4)^3 	imes 10^{18}}{6.67 	imes (4.59 	imes 6)^2 	imes 10^{-5}} \
&= 6.48 	imes 10^{23} \, 	ext{kg}
\end{aligned}
$$

(ii) केप्लर के आवर्तकालों के नियम का उपयोग करते हुए,

$$
\frac{T_M^2}{T_E^2} = \frac{R_{MS}^3}{R_{ES}^3}
$$

जहाँ $R_{MS}$ एवं $R_{ES}$ क्रमशः मंगल-सूर्य तथा पृथ्वी-सूर्य के बीच की दूरियां हैं।

$$
T_M = (1.52)^{3/2} 	imes 365 = 684 	ext{ दिन}
$$ — प्रश्न (i) में, मंगल के द्रव्यमान $M_m$ ज्ञात करने के लिए केप्लर के नियम का उपयोग किया गया है। आवर्तकाल $T$ और कक्षीय त्रिज्या $R$ ज्ञात हैं। समीकरण (7.38) से,

$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM_m} R^3$,

जिससे $M_m$ निकाला गया।

प्रश्न (ii) में, मंगल और पृथ्वी के सूर्य के चारों ओर के आवर्तकालों और कक्षीय त्रिज्याओं के अनुपात का उपयोग किया गया है। केप्लर के नियम के अनुसार,

$\frac{T_M^2}{T_E^2} = \frac{R_{MS}^3}{R_{ES}^3}$,

यहाँ $R_{MS} = 1.52 R_{ES}$ दिया गया है, जिससे $T_M$ निकाला गया।

Question 2

पृथ्वी को तोलना : आपको निम्नलिखित आंकड़े दिए गए हैं: $g = 9.81 \, 	ext{m s}^{-2}$, $R_E = 6.37 	imes 10^6 \, 	ext{m}$, पृथ्वी से चन्द्रमा की दूरी $R = 3.84 	imes 10^8 \, 	ext{m}$ पृथ्वी के परित: चन्द्रमा के परिक्रमण का आवर्त काल = 27.3 दिन। दो भिन्न विधियों द्वारा पृथ्वी का द्रव्यमान प्राप्त कीजिए।

Accepted Answer

(i) पहली विधि : समीकरण (7.12) से

$$
M_E = \frac{g R_E^2}{G}
$$

$$
= \frac{9.81 	imes (6.37 	imes 10^6)^2}{6.67 	imes 10^{-11}} = 5.97 	imes 10^{24} \, 	ext{kg}
$$

(ii) दूसरी विधि : चन्द्रमा पृथ्वी का उपग्रह है। कैप्लर के आवर्तकालों के नियम की व्युत्पत्ति में (समीकरण (7.38) देखिए)

$$
T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{G M_E}
$$

$$
M_E = \frac{4\pi^2 R^3}{G T^2}
$$

$$
= \frac{4 	imes 3.14 	imes 3.14 	imes (3.84)^3 	imes 10^{24}}{6.67 	imes 10^{-11} 	imes (27.3 	imes 24 	imes 60 	imes 60)^2} = 6.02 	imes 10^{24} \, 	ext{kg}
$$

दोनों विधियों द्वारा लगभग समान उत्तर प्राप्त होते हैं, जिनमें 1% से भी कम का अंतर है। — पहली विधि में, गुरुत्वाकर्षण त्वरण $g$ और पृथ्वी की त्रिज्या $R_E$ से पृथ्वी का द्रव्यमान $M_E$ निकाला गया है।

दूसरी विधि में, चन्द्रमा के पृथ्वी के चारों ओर परिक्रमण काल और दूरी का उपयोग करते हुए केप्लर के नियम से $M_E$ निकाला गया।

दोनों विधियों से प्राप्त मान लगभग समान हैं, जो विधियों की सटीकता दर्शाता है।

Question 3

समीकरण (7.38) में स्थिरांक $k$ को दिनों तथा किलोमीटरों में व्यक्त कीजिए। $k = 10^{-13} \, 	ext{s}^2 \, 	ext{m}^{-3}$ है। चन्द्रमा पृथ्वी से $3.84 	imes 10^5 \, 	ext{km}$ दूर है। चन्द्रमा के परिक्रमण के आवर्तकाल को दिनों में प्राप्त कीजिए।

Accepted Answer

हम जानते हैं कि

$$
k = 10^{-13} \, 	ext{s}^2 \, 	ext{m}^{-3}
$$

इसे दिनों और किलोमीटर में बदलते हैं:

$$
k = 10^{-13} \left[ \frac{1}{(24 	imes 60 	imes 60)^2} \, 	ext{d}^2 ight] \left[ \frac{1}{(1/1000)^3 \, 	ext{km}^3} ight]
$$

$$
= 1.33 	imes 10^{-14} \, 	ext{d}^2 \, 	ext{km}^{-3}
$$

समीकरण (7.38) के अनुसार,

$$
T^2 = k (R)^3 = (1.33 	imes 10^{-14})(3.84 	imes 10^5)^3
$$

इससे,

$$
T = 27.3 \, 	ext{d}
$$ — प्रश्न में दिया गया है कि स्थिरांक $k$ को सेकंड और मीटर के बजाय दिनों और किलोमीटर में व्यक्त करना है। इसके लिए समय को सेकंड से दिन में और दूरी को मीटर से किलोमीटर में बदला गया।

फिर केप्लर के नियम के अनुसार $T^2 = k R^3$ में $k$ और $R$ के नए मानों को प्रतिस्थापित कर $T$ निकाला गया।

Question 4

1 निम्नलिखित के उत्तर दीजिए:

(a) आप किसी आवेश का वैद्युत बलों से परिरक्षण उस आवेश को किसी खोखले चालक के भीतर रखकर कर सकते हैं। क्या आप किसी पिण्ड का परिरक्षण, निकट में रखे पदार्थ के गुरुत्वीय प्रभाव से, उसे खोखले गोले में रखकर अथवा किसी अन्य साधनों द्वारा कर सकते हैं?

(b) पृथ्वी के परित: परिक्रमण करने वाले छोटे अन्तरिक्षयान में बैठा कोई अन्तरिक्ष यात्री गुरुत्व बल का संसूचन नहीं कर सकता। यदि पृथ्वी के परित: परिक्रमण करने वाला अन्तरिक्ष स्टेशन आकार में बढ़ा है, तब क्या वह गुरुत्व बल के संसूचन की आशा कर सकता है?

(c) यदि आप पृथ्वी पर सूर्य के कारण गुरुत्वीय बल की तुलना पृथ्वी पर चन्द्रमा के कारण गुरुत्व बल से करें, तो आप यह पाएंगे कि सूर्य का खिंचाव चन्द्रमा के खिंचाव की तुलना में अधिक है (इसकी जाँच आप स्वयं आगामी अध्याय में करेंगे)। फिर भी, पृथ्वी पर समुद्र की ज्वार-भाटा चन्द्रमा के कारण अधिक होती है। ऐसा क्यों?

Accepted Answer

उत्तर:

(a) नहीं, किसी पिण्ड का गुरुत्वीय परिरक्षण वैद्युत आवेश के परिरक्षण की तरह नहीं किया जा सकता। वैद्युत आवेश को खोखले चालक के भीतर रखा जाता है क्योंकि चालक के भीतर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है, जिससे आवेश बाहरी विद्युत क्षेत्र से सुरक्षित रहता है। परंतु गुरुत्वीय क्षेत्र को इस प्रकार परिरक्षित नहीं किया जा सकता क्योंकि गुरुत्वीय क्षेत्र हमेशा आकर्षक होता है और इसे किसी खोखले गोले या अन्य साधनों द्वारा पूरी तरह से रोका नहीं जा सकता।

(b) पृथ्वी के परित: परिक्रमण करने वाले छोटे अन्तरिक्षयान में बैठा कोई अन्तरिक्ष यात्री गुरुत्व बल का अनुभव नहीं करता क्योंकि वह मुक्त पतन की स्थिति में होता है। यदि अन्तरिक्ष स्टेशन आकार में बढ़ा है, तो वह गुरुत्वीय क्षेत्र में असमानता (ग्रेडिएंट) महसूस कर सकता है, जिससे गुरुत्व बल का संसूचन संभव हो सकता है। इसलिए बड़े आकार के अन्तरिक्ष स्टेशन में गुरुत्व बल के प्रभाव का पता चल सकता है।

(c) सूर्य पृथ्वी से बहुत दूर है, इसलिए उसका गुरुत्वीय बल पृथ्वी पर कम होता है, जबकि चन्द्रमा पृथ्वी के निकट है और उसका गुरुत्वीय बल अधिक प्रभावी होता है। ज्वार-भाटा चन्द्रमा के गुरुत्वीय खिंचाव के कारण अधिक होती है क्योंकि ज्वार-भाटा गुरुत्वीय बल के अंतर (ग्रेडिएंट) पर निर्भर करता है, जो चन्द्रमा के कारण अधिक होता है। इसलिए, यद्यपि सूर्य का गुरुत्वीय बल अधिक है, परंतु चन्द्रमा के कारण ज्वार-भाटा अधिक होती है। — गुरुत्वीय परिरक्षण वैद्युत परिरक्षण से भिन्न है क्योंकि गुरुत्वीय क्षेत्र को पूरी तरह से रोका नहीं जा सकता। अन्तरिक्षयान में मुक्त पतन की स्थिति में गुरुत्व बल का अनुभव नहीं होता, लेकिन बड़े अन्तरिक्ष स्टेशन में गुरुत्वीय क्षेत्र में असमानता महसूस की जा सकती है। ज्वार-भाटा गुरुत्वीय बल के अंतर पर निर्भर करता है, इसलिए चन्द्रमा का प्रभाव सूर्य से अधिक होता है।

Question 5

2 सही विकल्प का चयन कीजिए :

(a) बढ़ती तुगता के साथ गुरुत्वीय त्वरण बढ़ता/घटता है।

(b) बढ़ती गहराई के साथ (पृथ्वी को एकसमान घनत्व को गोला मानकर) गुरुत्वीय त्वरण बढ़ता/घटता है।

(c) गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी के द्रव्यमान/पिण्ड के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता।

(d) पृथ्वी के केन्द्र से $r_2$ तथा $r_1$ दूरियों के दो बिन्दुओं के बीच स्थितिज ऊर्जा-अन्तर के लिए सूत्र $-G M m (1/r_2 - 1/r_1)$ सूत्र $mg(r_2 - r_1)$ से अधिक/कम यथार्थ है।

Accepted Answer

उत्तर:

(a) बढ़ती तुगता के साथ गुरुत्वीय त्वरण घटता है। क्योंकि गुरुत्वीय त्वरण गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता है, जो दूरी बढ़ने पर घटती है।

(b) पृथ्वी को एकसमान घनत्व वाला गोला मानने पर, बढ़ती गहराई के साथ गुरुत्वीय त्वरण बढ़ता नहीं बल्कि घटता है क्योंकि पृथ्वी के अंदर गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता दूरी के साथ घटती है।

(c) गुरुत्वीय त्वरण पिण्ड के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता, यह केवल पृथ्वी के द्रव्यमान और दूरी पर निर्भर करता है।

(d) स्थितिज ऊर्जा-अन्तर के लिए सूत्र $-G M m (1/r_2 - 1/r_1)$ अधिक यथार्थ है, क्योंकि $mg(r_2 - r_1)$ केवल सतह के निकट छोटे ऊंचाई के लिए उपयुक्त है। — गुरुत्वीय त्वरण $g = GM/r^2$ से ज्ञात होता है, जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $r$ दूरी है। अतः दूरी बढ़ने पर $g$ घटता है। पृथ्वी के अंदर गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता $g' = g (r/R)$ होती है, जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है, अतः गहराई बढ़ने पर $g$ घटता है। गुरुत्वीय त्वरण पिण्ड के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता क्योंकि गुरुत्वीय बल $F = mg$ होता है। स्थितिज ऊर्जा का सही सूत्र गुरुत्वीय क्षेत्र में $U = -GMm/r$ है, अतः दो बिन्दुओं के बीच अंतर $-GMm(1/r_2 - 1/r_1)$ होगा। सतह के निकट छोटे ऊंचाई के लिए $mg 	imes 	ext{ऊंचाई}$ समीकरण उपयुक्त है।

Question 6

3 मान लीजिए एक ऐसा ग्रह है जो सूर्य के परित: पृथ्वी की तुलना में दो गुनी चाल से गति करता है, तब पृथ्वी की कक्षा की तुलना में इसका कक्षीय आमाप क्या है?

Accepted Answer

उत्तर:

सूर्य के परित: ग्रह की कक्षीय अवधि $T$ और कक्षा का आमाप $r$ के बीच के सम्बन्ध के अनुसार,

केप्लर का तीसरा नियम: $T^2 \propto r^3$

यदि ग्रह की चाल पृथ्वी की चाल का दो गुना है, तो इसका अर्थ है कि कक्षा की अवधि $T$ पृथ्वी की अवधि का आधा है (चाल $v = \frac{2\pi r}{T}$, यदि $v$ दोगुना है और $r$ ज्ञात नहीं है, तो $T$ कम होगा)।

चाल $v = \frac{2\pi r}{T}$ से,

यदि $v$ दोगुना है और $T$ ज्ञात है, तो

$2v = \frac{2\pi r'}{T'}$ और $v = \frac{2\pi r}{T}$

अर्थात्,

$2 	imes \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi r'}{T'}$

$\Rightarrow \frac{r'}{T'} = 2 	imes \frac{r}{T}$

केप्लर के नियम से,

$T^2 \propto r^3$ या $T = k r^{3/2}$

तो,

$T' = k r'^{3/2}$

इसलिए,

$\frac{r'}{T'} = \frac{r'}{k r'^{3/2}} = \frac{1}{k} r'^{-1/2}$

और

$\frac{r}{T} = \frac{1}{k} r^{-1/2}$

तो,

$\frac{r'}{T'} = 2 	imes \frac{r}{T}$

$\Rightarrow \frac{1}{k} r'^{-1/2} = 2 	imes \frac{1}{k} r^{-1/2}$

$\Rightarrow r'^{-1/2} = 2 r^{-1/2}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{r'}} = 2 	imes \frac{1}{\sqrt{r}}$

$\Rightarrow \sqrt{r'} = \frac{\sqrt{r}}{2}$

$\Rightarrow r' = \frac{r}{4}$

अतः ग्रह की कक्षा का आमाप पृथ्वी की कक्षा के एक चौथे भाग के बराबर होगा। — केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार, कक्षीय अवधि $T$ और कक्षा का आमाप $r$ के बीच $T^2 \propto r^3$ संबंध होता है। चाल $v = \frac{2\pi r}{T}$ होती है। यदि चाल दोगुनी है, तो $v' = 2v$। इन समीकरणों से $r'$ का मान निकालने पर $r' = r/4$ प्राप्त होता है।

Question 7

4 बृहस्पति के एक उपग्रह, आयो (Io), की कक्षीय अवधि 1.769 दिन तथा कक्षा की त्रिज्या $4.22 	imes 10^8$ m है। यह दर्शाइए कि बृहस्पति का द्रव्यमान सूर्य के द्रव्यमान का लगभग 1/1000 गुना है।

Accepted Answer

उत्तर:

केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,

$T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{G M}$

जहाँ,
$T$ = कक्षीय अवधि,
$r$ = कक्षा की त्रिज्या,
$G$ = गुरुत्वीय स्थिरांक,
$M$ = ग्रह का द्रव्यमान (यहाँ बृहस्पति)।

दिया है,

$T = 1.769$ दिन = $1.769 	imes 24 	imes 3600 = 152,793.6$ सेकंड,

$r = 4.22 	imes 10^8$ m,

$G = 6.67 	imes 10^{-11}$ N m²/kg²।

$M = \frac{4 \pi^2 r^3}{G T^2}$

अब,

$r^3 = (4.22 	imes 10^8)^3 = 7.52 	imes 10^{25} m^3$

$T^2 = (152,793.6)^2 = 2.33 	imes 10^{10} s^2$

तो,

$M = \frac{4 \pi^2 	imes 7.52 	imes 10^{25}}{6.67 	imes 10^{-11} 	imes 2.33 	imes 10^{10}}$

$= \frac{39.48 	imes 7.52 	imes 10^{25}}{1.55 	imes 10^{0}} = \frac{2.97 	imes 10^{27}}{1.55} = 1.92 	imes 10^{27} kg$

सूर्य का द्रव्यमान $M_{sun} = 2 	imes 10^{30} kg$

तो,

$\frac{M}{M_{sun}} = \frac{1.92 	imes 10^{27}}{2 	imes 10^{30}} = 9.6 	imes 10^{-4} \approx \frac{1}{1000}$

अतः बृहस्पति का द्रव्यमान सूर्य के द्रव्यमान का लगभग 1/1000 है। — केप्लर के तीसरे नियम से ग्रह के द्रव्यमान का मान कक्षा की त्रिज्या और कक्षीय अवधि से निकाला जाता है। उपग्रह आयो के कक्षा के आंकड़ों से बृहस्पति का द्रव्यमान लगभग $1.92 	imes 10^{27}$ kg पाया गया जो सूर्य के द्रव्यमान का लगभग 1/1000 है।

Question 8

6 सही विकल्प का चयन कीजिए :

(a) यदि स्थितिज ऊर्जा का शून्य अनन्त पर है, तो कक्षा में परिक्रमा करते किसी उपग्रह की कुल ऊर्जा इसकी गतिज/स्थितिज ऊर्जा का ऋणात्मक है।

(b) कक्षा में परिक्रमा करने वाले किसी उपग्रह को पृथ्वी के गुरुत्वीय प्रभाव से बाहर निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा समान ऊंचाई (जितनी उपग्रह की है) के किसी स्थिर पिण्ड को पृथ्वी के प्रभाव से बाहर प्रक्षेपित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा से अधिक/कम होती है।

Accepted Answer

उत्तर:

(a) कक्षा में परिक्रमा करते उपग्रह की कुल ऊर्जा उसकी गतिज ऊर्जा का ऋणात्मक होती है क्योंकि कुल ऊर्जा $E = K + U$ होती है, जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा और $U$ स्थितिज ऊर्जा है। स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक होती है और $|U| = 2K$ होता है, अतः कुल ऊर्जा $E = -K$ होती है।

(b) उपग्रह को पृथ्वी के गुरुत्वीय प्रभाव से बाहर निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा उस स्थिर पिण्ड को बाहर निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा से कम होती है क्योंकि उपग्रह की गतिज ऊर्जा पहले से होती है। — गुरुत्वीय बंधन में उपग्रह की कुल ऊर्जा ऋणात्मक होती है। उपग्रह की गतिज ऊर्जा $K = \frac{GMm}{2r}$ और स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ होती है। अतः कुल ऊर्जा $E = K + U = -\frac{GMm}{2r} = -K$ होती है। पृथ्वी से बाहर निकालने के लिए ऊर्जा की आवश्यकता होती है जो कुल ऊर्जा के बराबर होती है। स्थिर पिण्ड को बाहर निकालने के लिए पूरी ऊर्जा चाहिए, जबकि उपग्रह के पास पहले से गतिज ऊर्जा होती है, इसलिए आवश्यक ऊर्जा कम होती है।

Question 9

7 क्या किसी पिण्ड की पृथ्वी से पलायन चाल (a) पिण्ड के द्रव्यमान, (b) प्रक्षेपण बिन्दु की अवस्थिति, (c) प्रक्षेपण की दिशा, (d) पिण्ड के प्रमोचन की अवस्थिति की ऊंचाई पर निर्भर करती है?

Accepted Answer

उत्तर:

(a) नहीं, पलायन चाल पिण्ड के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती क्योंकि गुरुत्वीय बल और त्वरण द्रव्यमान पर समानुपाती होते हैं।

(b) हाँ, प्रक्षेपण बिन्दु की अवस्थिति (जैसे पृथ्वी की सतह या ऊंचाई) पर पलायन चाल निर्भर करती है क्योंकि गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता दूरी के साथ बदलती है।

(c) नहीं, प्रक्षेपण की दिशा पलायन चाल को प्रभावित नहीं करती, केवल चाल की मात्रा मायने रखती है।

(d) हाँ, प्रमोचन की ऊंचाई पर पलायन चाल बदलती है क्योंकि गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता ऊंचाई के साथ घटती है। — पलायन चाल वह न्यूनतम चाल है जिससे पिण्ड पृथ्वी के गुरुत्वीय क्षेत्र से बाहर निकल सके। यह गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता और दूरी पर निर्भर करती है, न कि पिण्ड के द्रव्यमान या प्रक्षेपण दिशा पर। ऊंचाई बढ़ने पर गुरुत्वीय क्षेत्र कम होता है, इसलिए पलायन चाल भी कम होती है।

Question 10

8 कोई धूमकेतु सूर्य की परिक्रमा अत्यधिक दीर्घवृत्तीय कक्षा में कर रहा है। क्या अपनी कक्षा में धूमकेतु की शुरू से अन्त तक (a) रैखिक चाल, (b) कोणीय चाल, (c) कोणीय संवेग, (d) गतिज ऊर्जा, (e) स्थितिज ऊर्जा (f) कुल ऊर्जा नियत रहती है। सूर्य के अति निकट आने पर धूमकेतु के द्रव्यमान में हास को नगण्य मानिये।

Accepted Answer

उत्तर:

(a) रैखिक चाल: नहीं, क्योंकि धूमकेतु की चाल कक्षा के विभिन्न बिन्दुओं पर बदलती रहती है।

(b) कोणीय चाल: नहीं, क्योंकि कक्षा की त्रिज्या बदलती है, अतः कोणीय चाल भी बदलती है।

(c) कोणीय संवेग: हाँ, कोणीय संवेग नियत रहता है क्योंकि गुरुत्वीय बल के कारण कोणीय संवेग संरक्षण होता है।

(d) गतिज ऊर्जा: नहीं, गतिज ऊर्जा कक्षा के विभिन्न बिन्दुओं पर बदलती रहती है।

(e) स्थितिज ऊर्जा: नहीं, स्थितिज ऊर्जा भी कक्षा के अनुसार बदलती रहती है।

(f) कुल ऊर्जा: हाँ, कुल ऊर्जा नियत रहती है क्योंकि गुरुत्वीय क्षेत्र में ऊर्जा संरक्षण होता है। — गुरुत्वीय क्षेत्र में कोणीय संवेग और कुल ऊर्जा संरक्षण होते हैं। धूमकेतु की गति और स्थिति के अनुसार गतिज और स्थितिज ऊर्जा बदलती रहती है। रैखिक और कोणीय चाल भी कक्षा के अनुसार परिवर्तित होती हैं।

Question 11

9 निम्नलिखित में से कौन से लक्षण अन्तरिक्ष में अन्तरिक्ष यात्री के लिए दुख/दायी हो सकते हैं? (a) पैरों में सूजन, (b) चेहरे पर सूजन, (c) सिरदर्द, (d) दिक्विन्यास समस्या।

Accepted Answer

उत्तर:

अंतरिक्ष में निम्नलिखित लक्षण दुखदायी हो सकते हैं:

(a) पैरों में सूजन
(b) चेहरे पर सूजन
(c) सिरदर्द
(d) दिक्विन्यास समस्या

ये सभी लक्षण अंतरिक्ष में गुरुत्वाकर्षण की कमी और वातावरण के कारण होते हैं। — अंतरिक्ष में गुरुत्वाकर्षण की कमी के कारण शरीर में द्रव्यों का वितरण बदल जाता है, जिससे सूजन और सिरदर्द हो सकता है। दिक्विन्यास समस्या भी गुरुत्वाकर्षण की कमी के कारण होती है।

Question 12

10 एकसमान द्रव्यमान घनत्व की अर्धगोलीय खोलों द्वारा परिभाषित ढोल के पृष्ठ के केन्द्र पर गुरुत्वीय तीव्रता की दिशा [देखिए चित्र 7.11] (i) a, (ii) b, (iii) c, (iv) 0 में किस तीर द्वारा दर्शायी जाएगी?

Accepted Answer

उत्तर:

अर्धगोलीय खोलों द्वारा परिभाषित ढोल के पृष्ठ के केन्द्र पर गुरुत्वीय तीव्रता की दिशा तीर (iv) 0 द्वारा दर्शायी जाएगी। क्योंकि अर्धगोलीय खोलों के गुरुत्वीय प्रभावों का समाकलन करने पर केन्द्र पर तीव्रता शून्य होती है। — गुरुत्वीय क्षेत्र की दिशा और तीव्रता अर्धगोलीय खोलों के द्रव्यमान वितरण पर निर्भर करती है। केन्द्र पर गुरुत्वीय बल शून्य होता है क्योंकि सभी दिशाओं से बल बराबर और विपरीत होता है।

Question 13

11 उपरोक्त समस्या में किसी यादृच्छिक बिन्दु P पर गुरुत्वीय तीव्रता किस तीर (i) d, (ii) e, (iii) f, (iv) g द्वारा व्यक्त की जाएगी?

Accepted Answer

उत्तर:

यादृच्छिक बिन्दु P पर गुरुत्वीय तीव्रता तीर (ii) e द्वारा व्यक्त की जाएगी। क्योंकि यह तीर गुरुत्वीय क्षेत्र की दिशा और तीव्रता को सही रूप में दर्शाता है। — गुरुत्वीय क्षेत्र की दिशा द्रव्यमान वितरण और बिन्दु की स्थिति पर निर्भर करती है। चित्र 7.11 में तीर e उस दिशा को दर्शाता है जो गुरुत्वीय बल की दिशा के अनुरूप है।

Question 14

12 पृथ्वी से किसी रॉकेट को सूर्य की ओर दागा गया है। पृथ्वी के केन्द्र से किस दूरी पर रॉकेट पर गुरुत्वाकर्षण बल शून्य है? सूर्य का द्रव्यमान = $2 	imes 10^{30}$ kg, पृथ्वी का द्रव्यमान = $6 	imes 10^{24}$ kg। अन्य ग्रहों आदि के प्रभावों की उपेक्षा कीजिए (कक्षीय त्रिज्या = $1.5 	imes 10^{11}$ m)।

Accepted Answer

उत्तर:

गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होने के लिए पृथ्वी और सूर्य के गुरुत्वाकर्षण बल बराबर और विपरीत दिशा में होने चाहिए।

मान लीजिए पृथ्वी के केन्द्र से दूरी $x$ पर बल शून्य है। तब,

सूर्य से दूरी = $R - x$, जहाँ $R = 1.5 	imes 10^{11}$ m है।

बल की बराबरी:

$\frac{G M_{earth}}{x^2} = \frac{G M_{sun}}{(R - x)^2}$

$\Rightarrow \frac{M_{earth}}{x^2} = \frac{M_{sun}}{(R - x)^2}$

$\Rightarrow \sqrt{M_{earth}} (R - x) = \sqrt{M_{sun}} x$

$\Rightarrow R - x = x \frac{\sqrt{M_{sun}}}{\sqrt{M_{earth}}}$

$\Rightarrow R = x \left(1 + \frac{\sqrt{M_{sun}}}{\sqrt{M_{earth}}}ight)$

$\Rightarrow x = \frac{R}{1 + \sqrt{\frac{M_{sun}}{M_{earth}}}}$

$\sqrt{\frac{M_{sun}}{M_{earth}}} = \sqrt{\frac{2 	imes 10^{30}}{6 	imes 10^{24}}} = \sqrt{3.33 	imes 10^{5}} = 577.4$

तो,

$x = \frac{1.5 	imes 10^{11}}{1 + 577.4} = \frac{1.5 	imes 10^{11}}{578.4} = 2.59 	imes 10^{8}$ m

अतः पृथ्वी के केन्द्र से लगभग $2.59 	imes 10^{8}$ मीटर की दूरी पर गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होगा। — गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होने के लिए दोनों बलों का परिमाण बराबर होना आवश्यक है। पृथ्वी और सूर्य के द्रव्यमान और दूरी के अनुपात से दूरी $x$ निकाली जाती है।

Question 15

13 आप सूर्य को कैसे तोलेंगे, अर्थात् उसके द्रव्यमान का आकलन कैसे करेंगे? सूर्य के परित: पृथ्वी की कक्षा की औसत त्रिज्या $1.5 	imes 10^{8}$ km है।

Accepted Answer

उत्तर:

सूर्य के द्रव्यमान का आकलन केप्लर के तीसरे नियम और गुरुत्वाकर्षण के नियम से किया जाता है।

पृथ्वी की कक्षीय अवधि $T = 1$ वर्ष = $3.15 	imes 10^7$ सेकंड,

कक्षा की त्रिज्या $r = 1.5 	imes 10^{8}$ km = $1.5 	imes 10^{11}$ m,

गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक $G = 6.67 	imes 10^{-11}$ N m²/kg²।

केप्लर के तीसरे नियम से,

$T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{G M}$

जहाँ $M$ सूर्य का द्रव्यमान है।

इससे,

$M = \frac{4 \pi^2 r^3}{G T^2}$

इस सूत्र में मान रखकर सूर्य का द्रव्यमान ज्ञात किया जा सकता है। — पृथ्वी की कक्षा के आंकड़ों से सूर्य के द्रव्यमान का आकलन गुरुत्वाकर्षण और केप्लर के नियमों के आधार पर किया जाता है।

Chapter 7

Chapter 7 — अध्ययन नोट्स

7.1 भूमिका

7.2 केप्लर के नियम

7.3 गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम

अभ्यास प्रश्न — Chapter 7

Bhautiki-I के सभी 7 अध्याय