Chapter 5

5.1 उपसमूहों की पुनरावृत्ति

इस अनुभाग में उपसमूह (Subgroup) की मूल अवधारणा की पुनरावृत्ति की जाती है। उपसमूह किसी समूह (Group) का वह भाग होता है, जो स्वयं भी समूह के सभी गुणों को संतुष्ट करता है। अर्थात्, यदि (G, *) एक समूह है, तो उसका कोई गैर-रिक्त उपसमूह H, (H, *) के रूप में, निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना चाहिए: (i) समापन गुण (Closure): यदि a, b ∈ H, तो a * b ∈ H; (ii) संघटन गुण (Associativity): a * (b * c) = (a * b) * c, ∀ a, b, c ∈ H; (iii) पहचान तत्त्व (Identity): ∃ e ∈ H, ऐसा कि a * e = e * a = a, ∀ a ∈ H; (iv) प्रतिलोम तत्त्व (Inverse): ∀ a ∈ H, ∃ a⁻¹ ∈ H, ऐसा कि a * a⁻¹ = a⁻¹ * a = e. उपसमूह की परिभाषा को समझना सामान्य उपसमूह (Normal Subgroup) की अवधारणा को समझने के लिए आवश्यक है।

• उपसमूह स्वयं में समूह के सभी गुणों को संतुष्ट करता है।
• समापन, संघटन, पहचान तत्त्व और प्रतिलोम तत्त्व उपसमूह के लिए आवश्यक हैं।
• हर समूह का स्वयं और रिक्त समुच्चय उपसमूह होते हैं।
• उपसमूह की जाँच के लिए उपसमूह परीक्षण (Subgroup Test) का उपयोग किया जाता है।
• 📌 समूह (Group): एक ऐसा समुच्चय जिसमें एक द्विक क्रिया सभी चार गुणों को संतुष्ट करती है।
• 📌 उपसमूह (Subgroup): समूह का वह भाग जो स्वयं में समूह होता है।

5.2 उपसमूहों के प्रकार

इस अनुभाग में उपसमूहों के विभिन्न प्रकारों का वर्णन किया गया है, जिनमें मुख्यतः सामान्य उपसमूह (Normal Subgroup), सरल उपसमूह (Simple Subgroup), तथा अधिकतम उपसमूह (Maximal Subgroup) शामिल हैं। सामान्य उपसमूह वह उपसमूह होता है, जो समूह के सभी तत्त्वों के साथ संयुग्मन (Conjugation) के लिए बंद रहता है। सरल उपसमूह वह उपसमूह है, जिसमें कोई अन्य गैर-त्रिवियल उपसमूह नहीं होता। अधिकतम उपसमूह वह उपसमूह है, जो समूह का सबसे बड़ा उपसमूह होता है, अर्थात् उसके बाद कोई अन्य उपसमूह नहीं बन सकता।

• सामान्य उपसमूह, संयुग्मन के लिए बंद रहता है।
• सरल उपसमूह में कोई अन्य गैर-त्रिवियल उपसमूह नहीं होता।
• अधिकतम उपसमूह, समूह का सबसे बड़ा उपसमूह होता है।
• हर उपसमूह सामान्य उपसमूह नहीं होता।
• 📌 सामान्य उपसमूह (Normal Subgroup): ऐसा उपसमूह जो सभी संयुग्मनों के लिए बंद रहता है।
• 📌 सरल उपसमूह (Simple Subgroup): जिसमें कोई अन्य उपसमूह नहीं होता।