Question 1

प्रश्न 1 से 6 तक के अनुक्रमों में प्रत्येक के प्रथम पाँच पद लिखिये, जिनका $ n $ वाँ पद दिया गया है :

1. $ a_n = n(n + 2) $

2. $ a_n = \frac{n}{n + 1} $

3. $ a_n = 2^n $

4. $ a_n = \frac{2n - 3}{6} $

5. $ a_n = (-1)^{n-1} \cdot 5^{n+1} $

6. $ a_n = n \cdot \frac{n^2 + 5}{4} $

Accepted Answer

1. $a_n = n(n+2)$ के लिए प्रथम पाँच पद:
$a_1 = 1 	imes 3 = 3$
$a_2 = 2 	imes 4 = 8$
$a_3 = 3 	imes 5 = 15$
$a_4 = 4 	imes 6 = 24$
$a_5 = 5 	imes 7 = 35$

2. $a_n = \frac{n}{n+1}$ के लिए:
$a_1 = \frac{1}{2}$
$a_2 = \frac{2}{3}$
$a_3 = \frac{3}{4}$
$a_4 = \frac{4}{5}$
$a_5 = \frac{5}{6}$

3. $a_n = 2^n$ के लिए:
$a_1 = 2$
$a_2 = 4$
$a_3 = 8$
$a_4 = 16$
$a_5 = 32$

4. $a_n = \frac{2n - 3}{6}$ के लिए:
$a_1 = \frac{2(1)-3}{6} = \frac{-1}{6}$
$a_2 = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$
$a_3 = \frac{6-3}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$a_4 = \frac{8-3}{6} = \frac{5}{6}$
$a_5 = \frac{10-3}{6} = \frac{7}{6}$

5. $a_n = (-1)^{n-1} \cdot 5^{n+1}$ के लिए:
$a_1 = (-1)^0 \cdot 5^2 = 1 \cdot 25 = 25$
$a_2 = (-1)^1 \cdot 5^3 = -1 \cdot 125 = -125$
$a_3 = (-1)^2 \cdot 5^4 = 1 \cdot 625 = 625$
$a_4 = (-1)^3 \cdot 5^5 = -1 \cdot 3125 = -3125$
$a_5 = (-1)^4 \cdot 5^6 = 1 \cdot 15625 = 15625$

6. $a_n = n \cdot \frac{n^2 + 5}{4}$ के लिए:
$a_1 = 1 \cdot \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$a_2 = 2 \cdot \frac{8 + 5}{4} = 2 \cdot \frac{13}{4} = \frac{26}{4} = \frac{13}{2}$
$a_3 = 3 \cdot \frac{27 + 5}{4} = 3 \cdot \frac{32}{4} = 3 \cdot 8 = 24$
$a_4 = 4 \cdot \frac{64 + 5}{4} = 4 \cdot \frac{69}{4} = 69$
$a_5 = 5 \cdot \frac{125 + 5}{4} = 5 \cdot \frac{130}{4} = \frac{650}{4} = 162.5$ — प्रत्येक $n$ के लिए दिए गए सूत्र में $n$ की जगह 1 से 5 तक के मान रखकर पदों की गणना की गई है।

Question 2

निम्नलिखित प्रश्न 7 से 10 तक के अनुक्रमों में प्रत्येक का वांछित पद ज्ञात कीजिए, जिनका $ n $ वाँ पद दिया गया है :

7. $a_{n} = 4n - 3; a_{17}, a_{24}$
8. $a_{n} = \frac{n^{2}}{2^{n}}; a_{7}$
9. $a_{n} = (-1)^{n - 1}n^{3}; a_{9}$
10. $a_{n} = \frac{n(n - 2)}{n + 3}; a_{20}$

Accepted Answer

7. $a_{17} = 4 	imes 17 - 3 = 68 - 3 = 65$
$a_{24} = 4 	imes 24 - 3 = 96 - 3 = 93$

8. $a_7 = \frac{7^2}{2^7} = \frac{49}{128}$

9. $a_9 = (-1)^{9-1} 	imes 9^3 = (-1)^8 	imes 729 = 1 	imes 729 = 729$

10. $a_{20} = \frac{20(20 - 2)}{20 + 3} = \frac{20 	imes 18}{23} = \frac{360}{23}$ — प्रत्येक प्रश्न में $n$ के मान को दिया गया सूत्र में रखकर पद की गणना की गई है।

Question 3

प्रश्न 11 से 13 तक प्रत्येक अनुक्रम के पाँच पद लिखिए तथा संगत श्रेणी ज्ञात कीजिए :

11. $a_{1} = 3, a_{n} = 3a_{n-1} + 2$ सभी $n > 1$ के लिए

12. $a_{1} = -1, a_{n} = \frac{a_{n-1}}{n}$, जहाँ $n \geq 2$

13. $a_{1} = a_{2} = 2, a_{n} = a_{n-1} - 1$, जहाँ $n > 2$

Accepted Answer

11.
$a_1 = 3$
$a_2 = 3a_1 + 2 = 3 	imes 3 + 2 = 11$
$a_3 = 3a_2 + 2 = 3 	imes 11 + 2 = 35$
$a_4 = 3a_3 + 2 = 3 	imes 35 + 2 = 107$
$a_5 = 3a_4 + 2 = 3 	imes 107 + 2 = 323$

संगत श्रेणी: $3 + 11 + 35 + 107 + 323$

12.
$a_1 = -1$
$a_2 = \frac{a_1}{2} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$
$a_3 = \frac{a_2}{3} = \frac{-1/2}{3} = -\frac{1}{6}$
$a_4 = \frac{a_3}{4} = -\frac{1}{24}$
$a_5 = \frac{a_4}{5} = -\frac{1}{120}$

संगत श्रेणी: $-1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{24} - \frac{1}{120}$

13.
$a_1 = 2$
$a_2 = 2$
$a_3 = a_2 - 1 = 2 - 1 = 1$
$a_4 = a_3 - 1 = 1 - 1 = 0$
$a_5 = a_4 - 1 = 0 - 1 = -1$

संगत श्रेणी: $2 + 2 + 1 + 0 + (-1)$ — प्रत्येक अनुक्रम के लिए पुनरावर्ती सूत्र का उपयोग कर पाँच पदों की गणना की गई है। फिर उन पदों को जोड़कर श्रेणी लिखी गई है।

Question 4

Fibonacci अनुक्रम निम्नलिखित रूप में परिभाषित है :
$$
1 = a_{1} = a_{2} \quad 	ext{तथा} \quad a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2}, \quad n > 2
$$
तो
$$
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \quad 	ext{ज्ञात कीजिए, जबकि} \quad n = 1, 2, 3, 4, 5
$$

Accepted Answer

Fibonacci अनुक्रम के पद:
$a_1 = 1$
$a_2 = 1$
$a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2$
$a_4 = a_3 + a_2 = 2 + 1 = 3$
$a_5 = a_4 + a_3 = 3 + 2 = 5$
$a_6 = a_5 + a_4 = 5 + 3 = 8$

अब अनुपात:
$\frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{1} = 1$
$\frac{a_3}{a_2} = \frac{2}{1} = 2$
$\frac{a_4}{a_3} = \frac{3}{2} = 1.5$
$\frac{a_5}{a_4} = \frac{5}{3} \approx 1.6667$
$\frac{a_6}{a_5} = \frac{8}{5} = 1.6$ — Fibonacci अनुक्रम के नियम के अनुसार पदों की गणना की गई और फिर दिए गए $n$ के लिए $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ का मान निकाला गया।

Question 5

किसी गुणोत्तर श्रेणी का 5वाँ, 8वाँ तथा 11वाँ पद क्रमशः $p, q$ तथा $s$ हैं तो दिखाइए कि $q^2 = ps$.

Accepted Answer

गुणोत्तर श्रेणी के $n$वें पद को $a_n = ar^{n-1}$ मानते हैं जहाँ $a$ प्रथम पद है और $r$ सार्व अनुपात है।

तो,
$a_5 = ar^{4} = p$
$a_8 = ar^{7} = q$
$a_{11} = ar^{10} = s$

अब,
$q^2 = (ar^{7})^2 = a^2 r^{14}$
और
$ps = (ar^{4})(ar^{10}) = a^2 r^{14}$

इसलिए,
$q^2 = ps$ सिद्ध होता है। — गुणोत्तर श्रेणी के पदों के सूत्र का उपयोग कर दिया गया है। $q^2$ और $ps$ दोनों को $a$ और $r$ के रूप में व्यक्त कर समानता सिद्ध की गई है।

Question 6

किसी गुणोत्तर श्रेणी का चौथा पद उसके दूसरे पद का वर्ग है तथा प्रथम पद –3 है तो 7वाँ पद ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

प्रथम पद $a = -3$ है।

गुणोत्तर श्रेणी के सार्व अनुपात को $r$ मानते हैं।

दिया है चौथा पद = (दूसरा पद)²

अर्थात,
$a_4 = (a_2)^2$
$ar^{3} = (ar)^2$
$ar^{3} = a^2 r^{2}$
$r^{3} = a r^{2}$ (दोनों पक्ष को $a$ से भाग दिया)
$r^{3} = a r^{2}$
$r = a$

चूंकि $a = -3$, अतः $r = -3$

अब 7वाँ पद:
$a_7 = ar^{6} = (-3)(-3)^6 = (-3)(729) = -2187$ — दिए गए शर्तों से सार्व अनुपात $r$ ज्ञात किया गया और फिर 7वें पद का मान निकाला गया।

Question 7

अनुक्रम का कौन सा पद:
(a) $2, 2\sqrt{2}, 4, \ldots; 128$ है?
(b) $\sqrt{3}, 3, 3\sqrt{3}, \ldots; 729$ है?
(c) $\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \ldots; \frac{1}{19683}$ है?

Accepted Answer

(a) श्रेणी: $2, 2\sqrt{2}, 4, \ldots$
सार्व अनुपात $r = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
$n$वाँ पद $a_n = 2 (\sqrt{2})^{n-1}$

दिया है $a_n = 128$

$2 (\sqrt{2})^{n-1} = 128$
$(\sqrt{2})^{n-1} = 64$
$(2)^{\frac{n-1}{2}} = 2^{6}$
$rac{n-1}{2} = 6$
$n - 1 = 12$
$n = 13$

अतः 13वाँ पद 128 है।

(b) श्रेणी: $\sqrt{3}, 3, 3\sqrt{3}, \ldots$
सार्व अनुपात $r = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

$n$वाँ पद $a_n = \sqrt{3} (\sqrt{3})^{n-1} = (\sqrt{3})^{n}$

दिया है $a_n = 729$

$ (\sqrt{3})^{n} = 729$

$729 = 3^{6}$

$(3^{1/2})^{n} = 3^{6}$

$3^{n/2} = 3^{6}$

$n/2 = 6$

$n = 12$

अतः 12वाँ पद 729 है।

(c) श्रेणी: $\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \ldots$
सार्व अनुपात $r = \frac{1/9}{1/3} = \frac{1}{3}$

$n$वाँ पद $a_n = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{3}\right)^n$

दिया है $a_n = \frac{1}{19683}$

$19683 = 3^{9}$

तो,
$\left(\frac{1}{3}\right)^n = 3^{-n} = 3^{-9}$

$n = 9$

अतः 9वाँ पद $\frac{1}{19683}$ है। — प्रत्येक भाग में प्रथम पद और सार्व अनुपात ज्ञात कर $n$वाँ पद निकालने के लिए समीकरण बनाया गया और हल किया गया।

Question 8

$x$ के किस मान के लिए संख्याएँ – $\frac{2}{7}, x, \frac{-7}{2}$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं?

Accepted Answer

गुणोत्तर श्रेणी में तीन संख्याएँ $a, b, c$ हों तो $b^2 = ac$ होता है।

यहाँ,
$a = -\frac{2}{7}, b = x, c = -\frac{7}{2}$

तो,
$x^2 = \left(-\frac{2}{7}ight) 	imes \left(-\frac{7}{2}ight) = \frac{14}{14} = 1$

अतः,
$x = \pm 1$ — गुणोत्तर श्रेणी की शर्त $b^2 = ac$ लगाकर $x$ के मान निकाले गए।

Question 9

0.15, 0.015, 0.0015, ... 20 पदों तक गुणोत्तर श्रेणी का योगफल ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

प्रथम पद $a = 0.15$
सार्व अनुपात $r = \frac{0.015}{0.15} = 0.1$

$S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}$

$S_{20} = 0.15 	imes \frac{1 - (0.1)^{20}}{1 - 0.1} = 0.15 	imes \frac{1 - (0.1)^{20}}{0.9}$

$(0.1)^{20}$ बहुत छोटा है, लगभग 0

इसलिए,
$S_{20} \approx 0.15 	imes \frac{1}{0.9} = 0.15 	imes 1.1111 = 0.1667$

अतः 20 पदों का योग लगभग 0.1667 है। — गुणोत्तर श्रेणी के योग का सूत्र लगाकर प्रथम पद, सार्व अनुपात तथा पदों की संख्या के आधार पर योगफल निकाला गया।

Question 10

$\sqrt{7}, \sqrt{21}, 3\sqrt{7}, \ldots$ n पदों तक गुणोत्तर श्रेणी का योगफल ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

प्रथम पद $a = \sqrt{7}$
सार्व अनुपात $r = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{7}} = \sqrt{3}$

$S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} = \sqrt{7} 	imes \frac{1 - (\sqrt{3})^n}{1 - \sqrt{3}}$

यह योगफल है। — प्रथम पद और सार्व अनुपात ज्ञात कर योगफल का सूत्र लगाया गया।

Question 11

$1, -a, a^2, -a^3, \ldots$ n पदों तक (यदि $a 
eq -1$) गुणोत्तर श्रेणी का योगफल ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

श्रृंखला के पद:
$a_1 = 1$
$a_2 = -a$
$a_3 = a^2$
$a_4 = -a^3$

यह गुणोत्तर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = -a$

योगफल:
$S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} = \frac{1 - (-a)^n}{1 + a}$

यहाँ $a 
eq -1$ है। — श्रृंखला के प्रथम पद और सार्व अनुपात ज्ञात कर योगफल का सूत्र लगाया गया।

Question 12

$x^3, x^5, x^7, \ldots$ n पदों तक (यदि $x 
eq \pm 1$) गुणोत्तर श्रेणी का योगफल ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

श्रृंखला के पद:
$a_1 = x^3$
$a_2 = x^5$
$a_3 = x^7$

सार्व अनुपात $r = \frac{x^5}{x^3} = x^2$

योगफल:
$S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} = x^3 \frac{1 - (x^2)^n}{1 - x^2} = x^3 \frac{1 - x^{2n}}{1 - x^2}$

यहाँ $x 
eq \pm 1$ है। — प्रथम पद और सार्व अनुपात ज्ञात कर योगफल का सूत्र लगाया गया।

Question 13

मान ज्ञात कीजिए $\sum_{k=1}^{11} (2 + 3^k)$

Accepted Answer

दी गई श्रेणी है:
$\sum_{k=1}^{11} (2 + 3^k) = \sum_{k=1}^{11} 2 + \sum_{k=1}^{11} 3^k$

पहला भाग:
$\sum_{k=1}^{11} 2 = 2 	imes 11 = 22$

दूसरा भाग (गुणोत्तर श्रेणी):
$a = 3$, $r = 3$, पदों की संख्या $n=11$

$S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1} = 3 	imes \frac{3^{11} - 1}{3 - 1} = 3 	imes \frac{3^{11} - 1}{2}$

अतः कुल योग:
$22 + \frac{3(3^{11} - 1)}{2}$ — दो भागों के योग को अलग-अलग निकालकर जोड़ा गया। दूसरा भाग गुणोत्तर श्रेणी का योग है।

Question 14

एक गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योगफल $\frac{39}{10}$ है तथा उनका गुणनफल 1 है। सार्व अनुपात तथा पदों को ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

मान लेते हैं तीन पद $a$, $ar$, $ar^2$

योगफल:
$a + ar + ar^2 = a(1 + r + r^2) = \frac{39}{10}$

गुणनफल:
$a 	imes ar 	imes ar^2 = a^3 r^3 = 1$

अर्थात,
$(ar)^3 = 1$

मान लेते हैं $ar = t$

तो,
$t^3 = 1 \Rightarrow t = 1$

इसलिए,
$ar = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{r}$

योगफल:
$a(1 + r + r^2) = \frac{39}{10}$
$\frac{1}{r} (1 + r + r^2) = \frac{39}{10}$
$\frac{1 + r + r^2}{r} = \frac{39}{10}$

मल्टीप्लाई करें:
$1 + r + r^2 = \frac{39}{10} r$

ले जाएं सब एक तरफ:
$r^2 + r + 1 - \frac{39}{10} r = 0$

$r^2 + r + 1 - 3.9 r = 0$

$r^2 - 2.9 r + 1 = 0$

अब $r$ के लिए द्विघात समीकरण हल करें:

$r = \frac{2.9 \pm \sqrt{(2.9)^2 - 4 	imes 1 	imes 1}}{2} = \frac{2.9 \pm \sqrt{8.41 - 4}}{2} = \frac{2.9 \pm \sqrt{4.41}}{2}$

$\sqrt{4.41} = 2.1$

तो,
$r = \frac{2.9 \pm 2.1}{2}$

$r_1 = \frac{5}{2} = 2.5$, $r_2 = \frac{0.8}{2} = 0.4$

अब $a = \frac{1}{r}$

यदि $r = 2.5$, $a = \frac{1}{2.5} = 0.4$

यदि $r = 0.4$, $a = \frac{1}{0.4} = 2.5$

अतः पद हैं:

पहला सेट: $a=0.4$, $r=2.5$, पद: $0.4, 1, 2.5$
दूसरा सेट: $a=2.5$, $r=0.4$, पद: $2.5, 1, 0.4$ — तीन पदों के योग और गुणनफल से दो समीकरण बनाए, सार्व अनुपात और प्रथम पद ज्ञात किए।

Question 15

गुणोत्तर श्रेणी 3, 3², 3³, ... के कितने पद आवश्यक हैं ताकि उनका योगफल 120 हो जाए।

Accepted Answer

श्रृंखला: $3, 3^2, 3^3, \ldots$

यहाँ प्रथम पद $a = 3$
सार्व अनुपात $r = 3$

योगफल $S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1} = 3 \frac{3^n - 1}{3 - 1} = \frac{3(3^n - 1)}{2}$

दिया है $S_n = 120$

तो,
$\frac{3(3^n - 1)}{2} = 120$

$3(3^n - 1) = 240$

$3^n - 1 = 80$

$3^n = 81$

$3^n = 3^4$

अतः $n = 4$

अर्थात 4 पदों का योग 120 होगा। — गुणोत्तर श्रेणी के योग का सूत्र लगाकर $n$ का मान निकाला गया।

Chapter 8

Chapter 8 — अध्ययन नोट्स

8.1 भूमिका (Introduction)

8.2 अनुक्रम (Sequence)

8.3 श्रेणी (Series)

अभ्यास प्रश्न — Chapter 8

Ganit के सभी 14 अध्याय