Question 1

निम्नलिखित सीमाओं का मान ज्ञात कीजिए:
(i) $ \lim_{x \to 2} (x^2 + 3x) $
(ii) $ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} $
(iii) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $
(iv) $ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} $

Accepted Answer

उत्तर:
(i) $ \lim_{x \to 2} (x^2 + 3x) = (2)^2 + 3 \times 2 = 4 + 6 = 10 $

(ii) $ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2 $

(iii) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $ (यह एक महत्वपूर्ण सीमा है)

(iv) $ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (x+3) = 6 $ — प्रत्येक उपप्रश्न में:
(i) प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा x=2 रखने पर उत्तर 10 प्राप्त होता है।
(ii) हर को x-1 से विभाजित कर x=1 रखने पर उत्तर 2 प्राप्त होता है।
(iii) यह एक मानक सीमा है, जिसका मान 1 होता है।
(iv) हर को x-3 से विभाजित कर x=3 रखने पर उत्तर 6 प्राप्त होता है।

Question 2

यदि $ \lim_{x \to a} f(x) = L $ और $ \lim_{x \to a} g(x) = M $, तो निम्नलिखित सीमाओं का मान ज्ञात कीजिए:
(i) $ \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] $
(ii) $ \lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] $
(iii) $ \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] $
(iv) $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} $, जब M ≠ 0

Accepted Answer

उत्तर:
(i) $ \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M $
(ii) $ \lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = L - M $
(iii) $ \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M $
(iv) $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} $, जब M ≠ 0 — सीमा के योग, अंतर, गुणा और भाग के गुणों का प्रयोग किया गया है।
(i) सीमा का योग, सीमाओं का योग होता है।
(ii) सीमा का अंतर, सीमाओं का अंतर होता है।
(iii) सीमा का गुणा, सीमाओं का गुणा होता है।
(iv) सीमा का भाग, सीमाओं का भाग होता है (यदि हर की सीमा शून्य नहीं है)।

Question 3

निम्नलिखित सीमाओं का मान ज्ञात कीजिए:
(i) $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} $
(ii) $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} $
(iii) $ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} $, जहाँ a > 0

Accepted Answer

उत्तर:
(i) $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} $ (मानक सीमा)
(ii) $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $
(iii) $ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a $ — ये सभी मानक सीमाएँ हैं:
(i) $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} $
(ii) $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $
(iii) $ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a $

Question 4

सीमा की आवश्यक और पर्याप्त शर्तें क्या हैं? समझाइए।

Accepted Answer

उत्तर:
सीमा के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें निम्नलिखित हैं:

आवश्यक शर्त: यदि $ \lim_{x \to a} f(x) = L $ हो, तो फलन f(x) का मान x के a के दोनों ओर से L के निकट होना चाहिए।

पर्याप्त शर्त: यदि $ \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L $, तो $ \lim_{x \to a} f(x) = L $ होगा।

अर्थात, बाएँ और दाएँ सीमा का मान समान और निश्चित होना चाहिए। — सीमा के अस्तित्व के लिए, फलन की बाएँ (left-hand limit) और दाएँ (right-hand limit) सीमा का मान समान और निश्चित होना चाहिए। यदि दोनों सीमाएँ समान हैं, तो सीमा का अस्तित्व होता है।

Question 5

यदि $f(x) = 2x + 3$ है, तो $x 	o 1$ पर $f(x)$ की सीमा क्या होगी?

Accepted Answer

5 — यहाँ $f(x) = 2x + 3$ है। प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन से, $f(1) = 2 	imes 1 + 3 = 5$। अतः $x 	o 1$ पर सीमा 5 होगी।

Question 6

सीमा (Limit) की परिभाषा के अनुसार, यदि $\lim_{x 	o a} f(x) = L$ है, तो इसका क्या अर्थ है?

Accepted Answer

x के a के समीप जाने पर f(x) का मान L के समीप जाता है — सीमा की परिभाषा के अनुसार, जैसे-जैसे x का मान a के समीप जाता है, f(x) का मान L के समीप पहुँचता है, भले ही x = a पर f(x) परिभाषित न हो।

Question 7

यदि $\lim_{x 	o a} f(x) = L$ और $\lim_{x 	o a} g(x) = M$ है, तो $\lim_{x 	o a} [f(x) + g(x)]$ का मान क्या होगा?

Accepted Answer

L + M — सीमा के योग के गुण के अनुसार, $\lim_{x 	o a} [f(x) + g(x)] = L + M$।

Question 8

निम्न में से कौन सा सीमा का प्रकार नहीं है?

Accepted Answer

समाकलन सीमा — सीमा के मुख्य प्रकार सीमित सीमा, अनंत सीमा, बाएं से सीमा, दाएं से सीमा हैं। समाकलन सीमा कोई सीमा का प्रकार नहीं है।

Question 9

$\lim_{x 	o 0} \frac{1}{x^2}$ का मान क्या है?

Accepted Answer

∞ — जैसे-जैसे x शून्य के समीप जाता है, $1/x^2$ का मान बहुत बड़ा (अनंत) होता है। अतः यह अनंत सीमा का उदाहरण है।

Question 10

यदि $\lim_{x 	o a} f(x) = L$ और $c$ एक स्थिरांक है, तो $\lim_{x 	o a} [c 	imes f(x)]$ का मान क्या होगा?

Accepted Answer

c 	imes L — सीमा के स्थिरांक गुणा के गुण के अनुसार, $\lim_{x 	o a} [c 	imes f(x)] = c 	imes L$।

Question 11

यदि $\lim_{x 	o a} f(x) = L$ और $\lim_{x 	o a} g(x) = M$ (M ≠ 0), तो $\lim_{x 	o a} \frac{f(x)}{g(x)}$ का मान क्या है?

Accepted Answer

L / M — सीमा के भाग के गुण के अनुसार, $\lim_{x 	o a} \frac{f(x)}{g(x)} = L / M$, जब M ≠ 0 हो।

Question 12

सीमा की गणना के लिए कौन सी विधि तब प्रयोग की जाती है जब प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन से 0/0 का रूप प्राप्त होता है?

Accepted Answer

कारक निकालना — जब प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन से 0/0 का रूप आता है, तो फलन को कारकों में विभाजित कर सामान्य कारक काटकर सीमा निकाली जाती है।

Question 13

यदि $\lim_{x 	o 0} \frac{\sin x}{x}$ का मान ज्ञात करें।

Accepted Answer

1 — यह एक विशेष सीमा है, जिसका मान 1 है।

Question 14

यदि $\lim_{x 	o a^-} f(x) = L_1$ और $\lim_{x 	o a^+} f(x) = L_2$ हैं, और $L_1 
eq L_2$ है, तो $\lim_{x 	o a} f(x)$ का क्या निष्कर्ष निकलेगा?

Accepted Answer

सीमा का अस्तित्व नहीं है — सीमा के अस्तित्व के लिए आवश्यक है कि बाएं और दाएं से सीमा समान हो। यदि दोनों भिन्न हैं, तो सीमा अस्तित्व में नहीं होती।

Question 15

सीमा की परिभाषा में $x 	o a$ का क्या तात्पर्य है?

Accepted Answer

x का a के समीप जाना / x का a के पास जाना — $x 	o a$ का अर्थ है x का मान a के समीप जाना, पर x का a के बराबर होना आवश्यक नहीं है।

Chapter 12

Chapter 12 — अध्ययन नोट्स

सीमा (Limit)

सीमा के गुण (Properties of Limits)

सीमा के प्रकार (Types of Limits)

अभ्यास प्रश्न — Chapter 12

Ganit के सभी 14 अध्याय