Question 1

एक बिंदु x-अक्ष पर स्थित है। इसके y-निर्देशांक तथा z-निर्देशांक क्या हैं?

Accepted Answer

यदि बिंदु x-अक्ष पर स्थित है, तो इसका y-निर्देशांक और z-निर्देशांक दोनों शून्य होंगे। अर्थात् y = 0 और z = 0। — x-अक्ष पर स्थित बिंदुओं के लिए y और z निर्देशांक शून्य होते हैं क्योंकि वे x-अक्ष पर ही होते हैं।

Question 2

एक बिंदु XZ-तल में है। इसके y-निर्देशांक के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

Accepted Answer

यदि बिंदु XZ-तल में स्थित है, तो इसका y-निर्देशांक शून्य होगा। अर्थात् y = 0। — XZ-तल में y-निर्देशांक शून्य होता है क्योंकि यह तल y-अक्ष के समांतर नहीं होता।

Question 3

उन अष्टांशों के नाम बताइए, जिनमें निम्नलिखित बिंदु स्थित हैं।
(1, 2, 3), (4, -2, 3), (4, -2, -5), (4, 2, -5), (-4, 2, -5), (-4, 2, 5), (-3, -1, 6) (-2, -4, -7)

Accepted Answer

अष्टांशों के नाम निम्नलिखित हैं:

1) (1, 2, 3): सभी निर्देशांक धनात्मक हैं → प्रथम अष्टांश
2) (4, -2, 3): x धनात्मक, y ऋणात्मक, z धनात्मक → चौथा अष्टांश
3) (4, -2, -5): x धनात्मक, y ऋणात्मक, z ऋणात्मक → आठवां अष्टांश
4) (4, 2, -5): x धनात्मक, y धनात्मक, z ऋणात्मक → तीसरा अष्टांश
5) (-4, 2, -5): x ऋणात्मक, y धनात्मक, z ऋणात्मक → छठा अष्टांश
6) (-4, 2, 5): x ऋणात्मक, y धनात्मक, z धनात्मक → पाँचवां अष्टांश
7) (-3, -1, 6): x ऋणात्मक, y ऋणात्मक, z धनात्मक → सातवां अष्टांश
8) (-2, -4, -7): सभी निर्देशांक ऋणात्मक → आठवां अष्टांश — अष्टांशों का निर्धारण x, y, z निर्देशांकों के चिह्नों के आधार पर किया जाता है। सभी धनात्मक प्रथम अष्टांश, x धनात्मक y ऋणात्मक आदि के अनुसार अष्टांश निर्धारित होते हैं।

Question 4

रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए:
(i) x-अक्ष और y-अक्ष दोनों एक साथ मिल कर एक तल बनाते हैं, उस तल को ______ कहते हैं।
(ii) XY-तल में एक बिंदु के निर्देशांक ______ रूप के होते हैं।
(iii) निर्देशांक तल अंतरिक्ष को ______ अष्टांश में विभाजित करते हैं।

Accepted Answer

(i) x-अक्ष और y-अक्ष दोनों मिल कर XY-तल बनाते हैं।
(ii) XY-तल में एक बिंदु के निर्देशांक (x, y, 0) रूप के होते हैं।
(iii) निर्देशांक तल अंतरिक्ष को 8 अष्टांश में विभाजित करते हैं। — x और y अक्ष मिलकर XY-तल बनाते हैं। XY-तल में z निर्देशांक शून्य होता है। निर्देशांक तल (XY, YZ, ZX) मिलकर अंतरिक्ष को 8 अष्टांशों में विभाजित करते हैं।

Question 5

निम्नलिखित बिंदु-युग्मों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए:
(i) (2, 3, 5) और (4, 3, 1)
(ii) (-3, 7, 2) और (2, 4, -1)
(iii) (-1, 3, -4) और (1, -3, 4)
(iv) (2, -1, 3) और (-2, 1, 3)

Accepted Answer

दूरी सूत्र: दो बिंदुओं A(x_1,y_1,z_1) और B(x_2,y_2,z_2) के बीच दूरी = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

(i) (2,3,5) और (4,3,1) के बीच दूरी:
= \sqrt{(4-2)^2 + (3-3)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{2^2 + 0 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

(ii) (-3,7,2) और (2,4,-1) के बीच दूरी:
= \sqrt{(2+3)^2 + (4-7)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{5^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9 + 9} = \sqrt{43}

(iii) (-1,3,-4) और (1,-3,4) के बीच दूरी:
= \sqrt{(1+1)^2 + (-3-3)^2 + (4+4)^2} = \sqrt{2^2 + (-6)^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 36 + 64} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}

(iv) (2,-1,3) और (-2,1,3) के बीच दूरी:
= \sqrt{(-2-2)^2 + (1+1)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 0} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} — प्रत्येक जोड़े के लिए दूरी सूत्र का प्रयोग किया गया है।
दूरी = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
सभी निर्देशांकों के अंतर के वर्गों का योग लेकर उसका वर्गमूल निकाला गया।

Question 6

दशाइए कि बिंदु (-2, 3, 5) (1, 2, 3) और (7, 0, -1) संरेख हैं।

Accepted Answer

तीन बिंदु संरेख हैं यदि वे एक ही रेखा पर स्थित हों, अर्थात् यदि दो वेक्टर collinear हों।

बिंदु A(-2,3,5), B(1,2,3), C(7,0,-1) हैं।

वेक्टर AB = B - A = (1+2, 2-3, 3-5) = (3, -1, -2)
वेक्टर BC = C - B = (7-1, 0-2, -1-3) = (6, -2, -4)

यदि AB और BC collinear हैं, तो BC = k * AB के लिए कोई k होगा।

तुलना करें:
6 = 3k => k=2
-2 = -1*k => k=2
-4 = -2*k => k=2

तीनों मान k के समान हैं, अतः AB और BC collinear हैं। इसलिए बिंदु A, B, C संरेख हैं। — तीन बिंदु संरेख हैं यदि उनके बीच के दो वेक्टर एक-दूसरे के समानुपाती हों।
यहाँ AB और BC वेक्टरों के अनुपात समान हैं, इसलिए वे collinear हैं।

Question 7

निम्नलिखित को सत्यापित कीजिए:
(i) (0, 7, -10), (1, 6, -6) और (4, 9, -6) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
(ii) (0, 7, 10), (-1, 6, 6) और (-4, 9, 6) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
(iii) (-1, 2, 1), (1, -2, 5), (4, -7, 8) और (2, -3, 4) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।

Accepted Answer

(i) समद्विबाहु त्रिभुज के लिए दो भुजाओं की लंबाई समान होनी चाहिए।

बिंदु A(0,7,-10), B(1,6,-6), C(4,9,-6)

AB = \sqrt{(1-0)^2 + (6-7)^2 + (-6+10)^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}

BC = \sqrt{(4-1)^2 + (9-6)^2 + (-6+6)^2} = \sqrt{9 + 9 + 0} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}

AC = \sqrt{(4-0)^2 + (9-7)^2 + (-6+10)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6

चूंकि AB = BC, त्रिभुज समद्विबाहु है।

(ii) समकोण त्रिभुज के लिए दो भुजाओं का आंतरिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।

बिंदु A(0,7,10), B(-1,6,6), C(-4,9,6)

वेक्टर AB = (-1-0, 6-7, 6-10) = (-1, -1, -4)
वेक्टर BC = (-4+1, 9-6, 6-6) = (-3, 3, 0)

AB · BC = (-1)(-3) + (-1)(3) + (-4)(0) = 3 - 3 + 0 = 0

इसलिए त्रिभुज समकोण है।

(iii) समांतर चतुर्भुज के लिए, यदि ABCD के शीर्ष हैं, तो AB और DC समान और AD और BC समान होने चाहिए।

बिंदु A(-1,2,1), B(1,-2,5), C(4,-7,8), D(2,-3,4)

AB = (1+1, -2-2, 5-1) = (2, -4, 4)

DC = (2-4, -3+7, 4-8) = (-2, 4, -4) = -1 * AB

AD = (2+1, -3-2, 4-1) = (3, -5, 3)

BC = (4-1, -7+2, 8-5) = (3, -5, 3)

चूंकि AB = -DC और AD = BC, इसलिए ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। — प्रत्येक भाग में दूरी सूत्र और वेक्टर गुणनफल का प्रयोग किया गया है।
(i) दो भुजाओं की लंबाई समान पाई गई।
(ii) दो भुजाओं का आंतरिक गुणनफल शून्य पाया गया।
(iii) सम्मुख भुजाएँ समान और समानुपाती पाई गईं।

Question 8

ऐसे बिंदुओं के समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (1, 2, 3) और (3, 2, -1) से समदूरस्थ हैं।

Accepted Answer

कोई बिंदु P(x, y, z) बिंदुओं A(1, 2, 3) और B(3, 2, -1) से समदूरस्थ है यदि PA = PB हो।

PA = \sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2}

PB = \sqrt{(x-3)^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2}

PA = PB
\Rightarrow (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = (x-3)^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2

साधारण करें:
(x-1)^2 - (x-3)^2 + (z-3)^2 - (z+1)^2 = 0

\Rightarrow [(x-1) - (x-3)] 	imes [(x-1) + (x-3)] + [(z-3) - (z+1)] 	imes [(z-3) + (z+1)] = 0

\Rightarrow (2)(2x - 4) + (-4)(2z - 2) = 0

\Rightarrow 4x - 8 - 8z + 8 = 0

\Rightarrow 4x - 8z = 0

\Rightarrow 2x - 4z = 0

\Rightarrow x - 2z = 0

अतः समीकरण है: x - 2z = 0 — दो बिंदुओं से समदूरस्थ बिंदुओं का स्थान मध्यवर्ती तल (plane) होता है।
PA = PB की शर्त से समीकरण निकाला गया।
साधारण करके तल का समीकरण प्राप्त किया गया।

Question 9

बिंदुओं P से बने समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी बिंदुओं A (4, 0, 0) और B (-4, 0, 0) से दूरियों का योगफल 10 है।

Accepted Answer

कोई बिंदु P(x, y, z) के लिए PA + PB = 10
जहाँ A(4,0,0), B(-4,0,0)

PA = \sqrt{(x-4)^2 + y^2 + z^2}
PB = \sqrt{(x+4)^2 + y^2 + z^2}

तो,
\sqrt{(x-4)^2 + y^2 + z^2} + \sqrt{(x+4)^2 + y^2 + z^2} = 10

यह समीकरण दो स्थिर बिंदुओं से दूरी के योग का समीकरण है, जो एक दीर्घवृत्त (ellipse) का समीकरण है। — दूरी के योग का समीकरण दो फोकस वाले दीर्घवृत्त का समीकरण होता है।
यहाँ फोकस A और B हैं, और दूरी का योग 10 है।

Question 10

समांतर चतुर्भुज के तीन शीर्ष A(3, -1, 2) B(1, 2, -4) व C(-1, 1, 2) है। चौथे शीर्ष D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

समाधान:
समांतर चतुर्भुज के चार शीर्ष A, B, C, D होते हैं, जहाँ AB और DC समांतर तथा BC और AD समांतर होते हैं।
यदि A, B, C ज्ञात हैं तो D का निर्देशांक निम्न प्रकार ज्ञात किया जा सकता है:

D = B + C - A

यहाँ,
A = (3, -1, 2)
B = (1, 2, -4)
C = (-1, 1, 2)

तो,
D = (1, 2, -4) + (-1, 1, 2) - (3, -1, 2)
= (1 -1 - 3, 2 + 1 - (-1), -4 + 2 - 2)
= (-3, 4, -4)

अतः चौथे शीर्ष D के निर्देशांक (-3, 4, -4) हैं। — समांतर चतुर्भुज में, D = B + C - A होता है। निर्देशांक को घटा-जोड़ कर D के निर्देशांक प्राप्त किए।

Question 11

एक त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक क्रमश: A(0, 0, 6) B(0, 4, 0) तथा C(6, 0, 0) हैं। त्रिभुज की माध्यिकाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

समाधान:
त्रिभुज ABC के शीर्ष:
A = (0, 0, 6), B = (0, 4, 0), C = (6, 0, 0)

माध्यिका वह रेखा है जो किसी भुजा के मध्य बिंदु से विपरीत शीर्ष को जोड़ती है।

माध्यिका की लंबाई ज्ञात करने के लिए पहले प्रत्येक भुजा के मध्य बिंदु ज्ञात करें:

1) BC का मध्य बिंदु M:
M = ((0+6)/2, (4+0)/2, (0+0)/2) = (3, 2, 0)
माध्यिका AM = दूरी A और M के बीच:
AM = √[(3-0)^2 + (2-0)^2 + (0-6)^2] = √(9 + 4 + 36) = √49 = 7

2) AC का मध्य बिंदु N:
N = ((0+6)/2, (0+0)/2, (6+0)/2) = (3, 0, 3)
माध्यिका BN = दूरी B और N के बीच:
BN = √[(3-0)^2 + (0-4)^2 + (3-0)^2] = √(9 + 16 + 9) = √34

3) AB का मध्य बिंदु P:
P = ((0+0)/2, (0+4)/2, (6+0)/2) = (0, 2, 3)
माध्यिका CP = दूरी C और P के बीच:
CP = √[(0-6)^2 + (2-0)^2 + (3-0)^2] = √(36 + 4 + 9) = √49 = 7

अतः माध्यिकाओं की लंबाई:
AM = 7
BN = √34
CP = 7 — माध्यिका की लंबाई ज्ञात करने के लिए विपरीत भुजा के मध्य बिंदु से शीर्ष तक की दूरी निकाली।

Question 12

यदि त्रिभुज PQR का केंद्रक मूल बिंदु है और शीर्ष P(2a, 2, 6), Q(-4, 3b -10) और R(8, 14, 2c) हैं तो a, b और c का मान ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

समाधान:
त्रिभुज का केंद्रक (Centroid) तीन शीर्षों के निर्देशांकों का औसत होता है।

यदि केंद्रक मूल बिंदु (0, 0, 0) है, तो:

$$
\frac{2a + (-4) + 8}{3} = 0, \quad \frac{2 + (3b) + 14}{3} = 0, \quad \frac{6 + (-10) + 2c}{3} = 0
$$

पहला समीकरण:
$$
\frac{2a - 4 + 8}{3} = 0 \implies 2a + 4 = 0 \implies 2a = -4 \implies a = -2
$$

दूसरा समीकरण:
$$
\frac{2 + 3b + 14}{3} = 0 \implies 3b + 16 = 0 \implies 3b = -16 \implies b = -\frac{16}{3}
$$

तीसरा समीकरण:
$$
\frac{6 - 10 + 2c}{3} = 0 \implies 2c - 4 = 0 \implies 2c = 4 \implies c = 2
$$

अतः,
$$a = -2, \quad b = -\frac{16}{3}, \quad c = 2$$ — केंद्रक के निर्देशांक तीन शीर्षों के निर्देशांकों का औसत होते हैं। इसे 0 मानकर a, b, c के मान निकाले।

Question 13

यदि बिंदु A और B क्रमश: (3, 4, 5) तथा (-1, 3, -7) हैं। चर बिंदु P द्वारा निर्मित समुच्चय से संबंधित समीकरण ज्ञात कीजिए, जहाँ PA² + PB² = k² जहाँ k अचर है।

Accepted Answer

समाधान:

दिए गए हैं:
A = (3, 4, 5), B = (-1, 3, -7), P = (x, y, z)

शर्त है:
$$PA^2 + PB^2 = k^2$$

जहाँ,
$$PA^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 5)^2$$
$$PB^2 = (x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z + 7)^2$$

तो,
$$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 5)^2 + (x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z + 7)^2 = k^2$$

विस्तार करें:
$$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) + (z^2 - 10z + 25) + (x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) + (z^2 + 14z + 49) = k^2$$

समान पदों को जोड़ें:
$$2x^2 - 4x + 2y^2 - 14y + 2z^2 + 4z + (9 + 16 + 25 + 1 + 9 + 49) = k^2$$

$$2x^2 - 4x + 2y^2 - 14y + 2z^2 + 4z + 109 = k^2$$

दोनों पक्षों को 2 से भाग दें:
$$x^2 - 2x + y^2 - 7y + z^2 + 2z + \frac{109}{2} = \frac{k^2}{2}$$

पूर्ण वर्ग बनाएं:
$$x^2 - 2x + 1 - 1 + y^2 - 7y + \left(\frac{7}{2}\right)^2 - \left(\frac{7}{2}\right)^2 + z^2 + 2z + 1 - 1 + \frac{109}{2} = \frac{k^2}{2}$$

$$(x - 1)^2 - 1 + (y - \frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4} + (z + 1)^2 - 1 + \frac{109}{2} = \frac{k^2}{2}$$

सभी स्थिर पद जोड़ें:
$$-1 - \frac{49}{4} - 1 + \frac{109}{2} = -1 - 12.25 -1 + 54.5 = 40.25$$

तो,
$$(x - 1)^2 + (y - \frac{7}{2})^2 + (z + 1)^2 + 40.25 = \frac{k^2}{2}$$

अतः,
$$(x - 1)^2 + (y - \frac{7}{2})^2 + (z + 1)^2 = \frac{k^2}{2} - 40.25$$

यह एक गोला (sphere) का समीकरण है जिसका केंद्र (1, 7/2, -1) है।

यदि RHS धनात्मक है तो यह गोला होगा। — PA और PB के वर्गों को जोड़कर समीकरण बनाया, फिर पूर्ण वर्ग बनाकर गोले का समीकरण प्राप्त किया।

Question 14

त्रिविमीय निर्देशांक प्रणाली में तीन निर्देशांक अक्ष कौन-कौन से होते हैं और ये किस बिंदु पर प्रतिच्छेदित होते हैं?

Accepted Answer

x-अक्ष, y-अक्ष, z-अक्ष; बिंदु O पर — त्रिविमीय निर्देशांक प्रणाली में तीन परस्पर लंबवत रेखाएँ होती हैं जिन्हें x-अक्ष, y-अक्ष और z-अक्ष कहते हैं। ये तीनों रेखाएँ बिंदु O पर प्रतिच्छेदित होती हैं, जिसे मूल बिंदु (origin) कहा जाता है।

Question 15

आकृति 11.1 में दर्शाए गए त्रिविमीय निर्देशांक प्रणाली में XY-तल, YZ-तल और ZX-तल किस प्रकार के तल हैं? आकृति में तीन तल और अक्षों का वर्णन करें।

आकृति विवरण: आकृति 11.1 में तीन परस्पर लंबवत निर्देशांक तल XY, YZ और ZX दर्शाए गए हैं, जो x-अक्ष, y-अक्ष और z-अक्ष पर प्रतिच्छेदित होते हैं। ये तल त्रिविमीय अंतरिक्ष को आठ भागों (अष्टांशों) में विभाजित करते हैं।

Accepted Answer

XY-तल, YZ-तल और ZX-तल त्रिविमीय निर्देशांक प्रणाली के तीन निर्देशांक तल हैं जो x, y और z अक्षों के आधार पर बनते हैं और ये तीनों परस्पर लंबवत होते हैं। ये तल अंतरिक्ष को आठ अष्टांशों में विभाजित करते हैं। — आकृति 11.1 में दिखाए गए XY, YZ और ZX तल त्रिविमीय निर्देशांक प्रणाली के निर्देशांक तल हैं। ये तीन तल x, y और z अक्षों के आधार पर बनते हैं और एक-दूसरे के प्रति समकोण बनाते हैं। ये तल अंतरिक्ष को आठ अष्टांशों में विभाजित करते हैं, जिनमें बिंदुओं के निर्देशांक के चिह्न (धनात्मक या ऋणात्मक) के अनुसार वर्गीकरण होता है।

Chapter 11

Chapter 11 — अध्ययन नोट्स

11.1 भूमिका (Introduction)

11.2 त्रिविमीय अंतरिक्ष में निर्देशांक और निर्देशांक-तल (Coordinate Axes and Coordinate Planes in Three Dimensional Space)

11.3 अंतरिक्ष में एक बिंदु के निर्देशांक (Coordinates of a Point in Space)

अभ्यास प्रश्न — Chapter 11

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