Chapter 14

14.1 उपसमितियाँ (Subsets)

इस अनुभाग में उपसमितियाँ की अवधारणा को विस्तार से समझाया गया है। यदि कोई सेट A है और सेट B है, तो A को B का उपसमिति कहा जाता है यदि A का प्रत्येक तत्व B में भी उपस्थित हो। इसे A ⊆ B द्वारा दर्शाया जाता है। उपसमितियाँ गणित में मूलभूत भूमिका निभाती हैं, क्योंकि वे किसी सेट के भीतर विभिन्न संभावित समूहों को दर्शाती हैं। उदाहरण के लिए, यदि B = {1, 2, 3}, तो A = {1, 2} एक उपसमिति है। यदि कोई सेट A, सेट B का उपसमिति है और A ≠ B, तो A को B का उचित उपसमिति (Proper Subset) कहा जाता है। प्रत्येक सेट में दो विशेष उपसमितियाँ होती हैं: शून्य समुच्चय (∅) और स्वयं समुच्चय। उपसमितियों की कुल संख्या 2^n होती है, जहाँ n सेट के तत्वों की संख्या है।

• A ⊆ B का अर्थ है A का प्रत्येक तत्व B में है।
• A ⊂ B का अर्थ है A, B का उचित उपसमिति है।
• किसी n तत्वों वाले सेट की उपसमितियों की कुल संख्या 2^n होती है।
• शून्य समुच्चय (∅) और स्वयं समुच्चय हमेशा उपसमिति होते हैं।
• उपसमितियाँ सेट थ्योरी की आधारशिला हैं।
• 📌 उपसमिति: ऐसा समुच्चय जिसके सभी तत्व किसी अन्य समुच्चय में हों।
• 📌 शून्य समुच्चय: कोई तत्व नहीं रखने वाला समुच्चय (∅)।
• 📌 उचित उपसमिति: A ⊂ B, जहाँ A ≠ B।

14.2 गणन समितियाँ (Counting Subsets)

इस अनुभाग में उपसमितियों की गणना के तरीके को विस्तार से समझाया गया है। यदि किसी सेट में n तत्व हैं, तो उसकी उपसमितियों की कुल संख्या 2^n होती है। इसका कारण यह है कि प्रत्येक तत्व को दो विकल्प मिलते हैं: या तो वह उपसमिति में शामिल होगा या नहीं। उचित उपसमितियों की संख्या 2^n - 1 होती है, क्योंकि स्वयं समुच्चय को उचित उपसमिति में नहीं गिना जाता। यह गणना बाइनरी विकल्पों पर आधारित है। उदाहरण के लिए, यदि S = {1, 2, 3}, तो उपसमितियाँ: ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} कुल 8 हैं।

• n तत्वों वाले सेट की उपसमितियाँ = 2^n
• उचित उपसमितियाँ = 2^n - 1
• प्रत्येक तत्व के लिए दो विकल्प होते हैं।
• गणना बाइनरी विकल्पों पर आधारित है।
• यह सिद्धांत सेट थ्योरी में महत्वपूर्ण है।
• 📌 गणन समिति: उपसमितियों की कुल संख्या का निर्धारण।
• 📌 उचित उपसमिति: स्वयं समुच्चय को छोड़कर सभी उपसमितियाँ।