Chapter 1

1.1 वास्तविक संख्याएँ : परिचय

इस अनुभाग में वास्तविक संख्याओं का परिचय दिया गया है। वास्तविक संख्याएँ गणित की आधारशिला हैं, जिनमें सभी परिमेय (rational) और अपरिमेय (irrational) संख्याएँ सम्मिलित होती हैं। परिमेय संख्याएँ वे हैं जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0। अपरिमेय संख्याएँ वे हैं जिन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जैसे √2, π आदि। वास्तविक संख्याएँ रेखा पर स्थित सभी बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करती हैं, अतः इन्हें रेखीय संख्याएँ भी कहा जाता है। वास्तविक संख्याओं का अध्ययन गणित के उच्चतर विषयों, जैसे मीट्रिक स्पेस और रियल एनालिसिस, की नींव है।

• वास्तविक संख्याएँ परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का संयुक्त समूह है।
• प्रत्येक वास्तविक संख्या को रेखा पर दर्शाया जा सकता है।
• परिमेय संख्याएँ p/q के रूप में होती हैं, जहाँ q ≠ 0।
• अपरिमेय संख्याएँ दोहरावहीन और अनंत दशमलव विस्तार वाली होती हैं।
• वास्तविक संख्याएँ गणित के अनेक क्षेत्रों में प्रयुक्त होती हैं।
• 📌 वास्तविक संख्याएँ: परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का समूह
• 📌 परिमेय संख्याएँ: p/q के रूप में लिखी जा सकने वाली संख्याएँ
• 📌 अपरिमेय संख्याएँ: वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता

1.2 वास्तविक संख्याओं के उपसमूह

इस अनुभाग में वास्तविक संख्याओं के विभिन्न उपसमूहों का वर्णन किया गया है। इनमें प्राकृतिक संख्याएँ (1, 2, 3,...), पूर्णांक (0, 1, -1, 2,...), पूर्ण संख्याएँ (0, 1, 2, 3,...), परिमेय संख्याएँ (जैसे 1/2, -3/4), और अपरिमेय संख्याएँ (जैसे √2, π) सम्मिलित हैं। प्रत्येक उपसमूह की अपनी विशेषताएँ हैं, और ये सभी वास्तविक संख्याओं के व्यापक समूह में सम्मिलित होते हैं।

• प्राकृतिक संख्याएँ: 1, 2, 3,...
• पूर्ण संख्याएँ: 0, 1, 2, 3,...
• पूर्णांक: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
• परिमेय संख्याएँ: p/q के रूप में, q ≠ 0
• अपरिमेय संख्याएँ: दशमलव विस्तार दोहरावहीन और अनंत
• 📌 प्राकृतिक संख्याएँ: गिनती में प्रयुक्त संख्याएँ
• 📌 पूर्णांक: ऋणात्मक, शून्य एवं धनात्मक संख्याएँ
• 📌 अपरिमेय संख्याएँ: p/q के रूप में न लिखी जा सकने वाली संख्याएँ