Question 1

कार्तीय तल में एक चतुर्भुज खींचिए जिसके शीर्ष $(-4, 5)$, $(0, 7)$, $(5, -5)$ और $(-4, -2)$ हैं। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

चतुर्भुज के शीर्ष हैं: A(-4,5), B(0,7), C(5,-5), D(-4,-2)।
क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम शंक्वाकार सूत्र या त्रिभुजों में विभाजन कर सकते हैं।
विधि 1: शंक्वाकार सूत्र (Shoelace formula):
क्षेत्रफल = 1/2 |x1y2 + x2y3 + x3y4 + x4y1 - (y1x2 + y2x3 + y3x4 + y4x1)|
= 1/2 |(-4)(7) + 0(-5) + 5(-2) + (-4)(5) - [5*0 + 7*5 + (-5)*(-4) + (-2)*(-4)]|
= 1/2 |(-28) + 0 + (-10) + (-20) - [0 + 35 + 20 + 8]|
= 1/2 |(-58) - 63| = 1/2 |-121| = 60.5
अतः क्षेत्रफल 60.5 वर्ग इकाई है। — शंक्वाकार सूत्र का प्रयोग कर प्रत्येक शीर्ष के निर्देशांक को सूत्र में रखा गया। ध्यान रखें कि सूत्र में x और y के अनुक्रम सही हो। क्षेत्रफल का मान धनात्मक लिया जाता है।

Question 2

$2a$ भुजा के समबाहु त्रिभुज का आधार $y$-अक्ष के अनुदिश इस प्रकार है कि आधार का मध्य बिंदु मूल बिंदु पर है। त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

आधार की लंबाई = 2a है और इसका मध्य बिंदु मूल बिंदु (0,0) है।
इसलिए आधार के दो सिरों के निर्देशांक होंगे: (-a, 0) और (a, 0)।
समबाहु त्रिभुज में, शीर्ष का y-निर्देशांक होगा h और x=0 होगा क्योंकि त्रिभुज का शीर्ष आधार के मध्य बिंदु के ऊपर होगा।
त्रिभुज की भुजा की लंबाई 2a है, अतः प्रत्येक भुजा की लंबाई 2a है।
आधार की भुजा = 2a, अन्य दो भुजाएँ भी 2a होंगी।
अब, शीर्ष बिंदु को (0, h) मानते हैं।
भुजा की लंबाई = 2a = दूरी ((0,h), (-a,0))
= \sqrt{(0 + a)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{a^2 + h^2}
इसलिए,
\sqrt{a^2 + h^2} = 2a
\Rightarrow a^2 + h^2 = 4a^2
\Rightarrow h^2 = 3a^2
\Rightarrow h = \pm a \sqrt{3}
अतः शीर्ष के निर्देशांक होंगे (0, a\sqrt{3}) या (0, -a\sqrt{3})। — मध्य बिंदु के आधार पर आधार के सिरों के निर्देशांक निर्धारित किए। फिर समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई के सूत्र से शीर्ष बिंदु की ऊंचाई ज्ञात की।

Question 3

$P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए जब: (i) PQ, $y$-अक्ष के समांतर है, (ii) PQ, $x$-अक्ष के समांतर है।

Accepted Answer

(i) यदि PQ, y-अक्ष के समांतर है, तो x-निर्देशांक समान होंगे। अतः $x_1 = x_2$।
दूरी = |y_2 - y_1|

(ii) यदि PQ, x-अक्ष के समांतर है, तो y-निर्देशांक समान होंगे। अतः $y_1 = y_2$।
दूरी = |x_2 - x_1|। — जब रेखा y-अक्ष के समांतर होती है तो x-निर्देशांक समान होते हैं और दूरी y-निर्देशांकों के अंतर के बराबर होती है। इसी प्रकार x-अक्ष के समांतर रेखा में y-निर्देशांक समान होते हैं।

Question 4

$x$-अक्ष पर एक बिंदु ज्ञात कीजिए जो $(7, 6)$ और $(3, 4)$ बिंदुओं से समान दूरी पर है।

Accepted Answer

मान लीजिए $x$-अक्ष पर बिंदु $P = (x, 0)$ है।
$P$ की दूरी $(7,6)$ से = $\sqrt{(x - 7)^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{(x - 7)^2 + 36}$
$P$ की दूरी $(3,4)$ से = $\sqrt{(x - 3)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + 16}$
चूंकि दूरी समान है,
$$ \sqrt{(x - 7)^2 + 36} = \sqrt{(x - 3)^2 + 16} $$
दोनों पक्षों का वर्ग करें:
$$(x - 7)^2 + 36 = (x - 3)^2 + 16$$
$$x^2 - 14x + 49 + 36 = x^2 - 6x + 9 + 16$$
$$-14x + 85 = -6x + 25$$
$$-14x + 85 + 6x - 25 = 0$$
$$-8x + 60 = 0$$
$$8x = 60 \Rightarrow x = \frac{60}{8} = 7.5$$
अतः वह बिंदु $(7.5, 0)$ है। — दूरी सूत्र लगाकर दोनों दूरी बराबर रखी और समीकरण हल किया।

Question 5

रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु और P (0, –4) तथा B (8, 0) बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु से जाती हैं।

Accepted Answer

P(0, -4) और B(8, 0) के मध्य बिंदु M है:
$$ M = \left( \frac{0 + 8}{2}, \frac{-4 + 0}{2} \right) = (4, -2) $$
अब, रेखा मूल बिंदु O(0,0) से M(4,-2) से जाती है।
ढाल $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 0}{4 - 0} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$।
अतः रेखा की ढाल $-\frac{1}{2}$ है। — पहले दिए गए दो बिंदुओं का मध्य बिंदु निकाला। फिर मूल बिंदु से उस मध्य बिंदु तक की रेखा की ढाल ज्ञात की।

Question 6

पाइथागोरस प्रमेय के प्रयोग बिना दिखलाइए कि बिंदु (4, 4), (3, 5) और (–1, –1) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

Accepted Answer

बिंदु A(4,4), B(3,5), C(-1,-1) हैं।
त्रिभुज समकोण है यदि किसी दो भुजाओं का आंतरिक गुणनफल शून्य हो।
AB का वेक्टर = B - A = (3-4, 5-4) = (-1, 1)
BC का वेक्टर = C - B = (-1-3, -1-5) = (-4, -6)
AC का वेक्टर = C - A = (-1-4, -1-4) = (-5, -5)
अब, AB · BC = (-1)(-4) + (1)(-6) = 4 - 6 = -2 ≠ 0
AB · AC = (-1)(-5) + (1)(-5) = 5 - 5 = 0
इसलिए AB और AC पर बने कोण समकोण है।
अतः त्रिभुज ABC समकोण त्रिभुज है। — पाइथागोरस प्रमेय के बजाय, दो भुजाओं के वेक्टर का आंतरिक गुणनफल लेकर जांच की कि वे परस्पर लम्ब हैं या नहीं।

Question 7

उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो y-अक्ष की धन दिशा से वामावर्त्त मापा गया 30° का कोण बनाती है।

Accepted Answer

y-अक्ष की धन दिशा से 30° का कोण बनाती रेखा की ढाल होगी:
$$ m = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} $$
चूंकि रेखा y-अक्ष से 30° वामावर्त्त (anticlockwise) है, इसका मतलब रेखा x-अक्ष के साथ 60° का कोण बनाएगी।
परंतु प्रश्न में y-अक्ष से मापा गया कोण दिया है, इसलिए ढाल $m = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ही सही है।
इसलिए, रेखा का समीकरण (यदि वह मूल बिंदु से गुजरती है) होगा:
$$ y = \frac{1}{\sqrt{3}} x $$
यदि कोई अन्य बिंदु ज्ञात हो तो समीकरण बदलेगा। — ढाल ज्ञात करने के लिए कोण का टैंजन्ट लिया गया।

Question 8

दूरी सूत्र का प्रयोग किए बिना दिखलाइए कि बिंदु (–2, –1), (4, 0), (3, 3) और (–3, 2) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।

Accepted Answer

बिंदु A(-2,-1), B(4,0), C(3,3), D(-3,2) हैं।
समांतर चतुर्भुज के लिए, AB और DC समानांतर और बराबर होंगे, तथा BC और AD समानांतर और बराबर होंगे।
हम वेक्टर AB, BC, CD, DA निकालते हैं:
$$ \vec{AB} = B - A = (4 - (-2), 0 - (-1)) = (6, 1) $$
$$ \vec{DC} = C - D = (3 - (-3), 3 - 2) = (6, 1) $$
$$ \vec{BC} = C - B = (3 - 4, 3 - 0) = (-1, 3) $$
$$ \vec{AD} = D - A = (-3 - (-2), 2 - (-1)) = (-1, 3) $$
\vec{AB} = \vec{DC} और \vec{BC} = \vec{AD} हैं।
इसलिए, यह एक समांतर चतुर्भुज है। — दूरी सूत्र का प्रयोग न करते हुए, वेक्टरों की समानता से समांतरता और समानता सिद्ध की गई।

Question 9

x-अक्ष और (3, –1) और (4, –2) बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

x-अक्ष की ढाल $m_1 = 0$ होती है।
रेखा जो (3,-1) और (4,-2) से गुजरती है, उसकी ढाल:
$$ m_2 = \frac{-2 - (-1)}{4 - 3} = \frac{-1}{1} = -1 $$
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$:
$$ \tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{-1 - 0}{1 + 0} \right| = 1 $$
अतः,
$$ \theta = \tan^{-1} 1 = 45^\circ $$
अतः x-अक्ष और दी गई रेखा के बीच का कोण 45° है। — ढाल ज्ञात कर दोनों रेखाओं के बीच के कोण का सूत्र लगाया गया।

Question 10

एक रेखा की ढाल दूसरी रेखा की ढाल का दुगुना है। यदि दोनों के बीच के कोण की स्पर्शज्या (tangent) $\frac{1}{3}$ है तो रेखाओं की ढाल ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

मान लीजिए पहली रेखा की ढाल $m$ है, तो दूसरी की ढाल $2m$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है, जिसकी स्पर्शज्या $\tan \theta = \frac{1}{3}$ है।
ढालों के बीच के कोण के लिए सूत्र:
$$ \tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{2m - m}{1 + 2m^2} \right| = \left| \frac{m}{1 + 2m^2} \right| = \frac{1}{3} $$
इससे,
$$ 3|m| = |1 + 2m^2| $$
दो संभावनाएँ:
(i) $3m = 1 + 2m^2$
(ii) $3m = -(1 + 2m^2)$
(i) से:
$$ 2m^2 - 3m + 1 = 0 $$
$$ (2m -1)(m -1) = 0 $$
$$ m = \frac{1}{2} \text{ या } 1 $$
(ii) से:
$$ 2m^2 + 3m + 1 = 0 $$
$$ (2m +1)(m +1) = 0 $$
$$ m = -\frac{1}{2} \text{ या } -1 $$
अतः रेखाओं की ढालें हो सकती हैं:
$$ (m, 2m) = \left( \frac{1}{2}, 1 \right), (1, 2), \left( -\frac{1}{2}, -1 \right), (-1, -2) $$ — ढालों के बीच के कोण के सूत्र से समीकरण बनाकर $m$ के मान निकाले।

Question 11

एक रेखा $(x_1, y_1)$ और $(h, k)$ से जाती है। यदि रेखा की ढाल $m$ है तो दिखाइए
$$
k - y_j = m (h - x_j).
$$

Accepted Answer

मान लीजिए रेखा की ढाल $m$ है और यह बिंदु $(x_j, y_j)$ से होकर $(h, k)$ तक जाती है।
ढाल की परिभाषा से,
$$ m = \frac{k - y_j}{h - x_j} $$
इसे पुनः व्यवस्थित करें:
$$ k - y_j = m (h - x_j) $$
यह समीकरण दर्शाता है कि रेखा की ढाल $m$ होने पर बिंदु $(x_j, y_j)$ और $(h, k)$ के निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं। — ढाल की परिभाषा से समीकरण को पुनः व्यवस्थित कर दिया गया।

Question 12

से 8 तक, रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिये गये प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है :

1. $x$- और $y$-अक्षों के समीकरण लिखिए।
2. ढाल $\frac{1}{2}$ और बिंदु $(-4, 3)$ से जाने वाली।
3. बिंदु $(0, 0)$ से जाने वाली और ढाल $m$ वाली।
4. बिंदु $(2, 2\sqrt{3})$ से जाने वाली और $x$-अक्ष से $75^\circ$ के कोण पर झुकी हुई।
5. मूल बिंदु के बाईं ओर $x$-अक्ष को 3 इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद करने तथा ढाल-2 वाली।
6. मूल बिंदु से ऊपर $y$-अक्ष को 2 इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद करने वाली और $x$-की धन दिशा के साथ $30^\circ$ का कोण बनाने वाली।
7. बिंदुओं $(-1, 1)$ और $(2, -4)$ से जाते हुए।
8. $\Delta$ PQR के शीर्ष P $(2, 1)$, Q $(-2, 3)$ और R $(4, 5)$ हैं। शीर्ष R से जाने वाली माध्यिका का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

1. $x$-अक्ष का समीकरण: $y=0$, $y$-अक्ष का समीकरण: $x=0$।

2. ढाल $m=\frac{1}{2}$, बिंदु $(-4,3)$ से रेखा का समीकरण:

$y - 3 = \frac{1}{2}(x + 4) \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + 5$

3. बिंदु $(0,0)$ से और ढाल $m$ वाली रेखा:

$y = m x$

4. बिंदु $(2, 2\sqrt{3})$ से और $x$-अक्ष से $75^\circ$ के कोण पर झुकी रेखा:

ढाल $m = 	an 75^\circ = 2 + \sqrt{3}$

समीकरण: $y - 2\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})(x - 2)$

5. $x$-अक्ष को 3 इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद करती और ढाल $-2$ वाली रेखा:

$x$-अक्ष पर बिंदु $( -3, 0)$ है।

समीकरण: $y - 0 = -2(x + 3) \Rightarrow y = -2x - 6$

6. $y$-अक्ष को 2 इकाई ऊपर प्रतिच्छेद करती और $x$-अक्ष के साथ $30^\circ$ का कोण बनाती रेखा:

$y$-अक्ष पर बिंदु $(0, 2)$

ढाल $m = 	an 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$

समीकरण: $y - 2 = \frac{1}{\sqrt{3}} (x - 0) \Rightarrow y = \frac{1}{\sqrt{3}} x + 2$

7. बिंदु $(-1,1)$ और $(2,-4)$ से गुजरने वाली रेखा:

ढाल $m = \frac{-4 - 1}{2 - (-1)} = \frac{-5}{3} = -\frac{5}{3}$

समीकरण: $y - 1 = -\frac{5}{3}(x + 1) \Rightarrow y = -\frac{5}{3} x - \frac{5}{3} + 1 = -\frac{5}{3} x - \frac{2}{3}$

8. $\Delta PQR$ के शीर्ष P$(2,1)$, Q$(-2,3)$, R$(4,5)$ हैं। शीर्ष R से जाने वाली माध्यिका:

PQ का मध्य बिंदु M:

$x_M = \frac{2 + (-2)}{2} = 0$, $y_M = \frac{1 + 3}{2} = 2$

PQ की ढाल:

$m_{PQ} = \frac{3 - 1}{-2 - 2} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$

माध्यिका की ढाल $m_m = 2$ (मूल ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम)

माध्यिका समीकरण:

$y - 5 = 2(x - 4) \Rightarrow y = 2x - 8 + 5 = 2x - 3$ — प्रत्येक उप-प्रश्न के लिए रेखा के समीकरण की सामान्य विधि का प्रयोग किया गया है।

- बिंदु-ढाल रूप में समीकरण बनाना
- दो बिंदुओं से ढाल निकालना
- माध्यिका के लिए मध्य बिंदु और ऋणात्मक व्युत्क्रम ढाल का उपयोग

सभी समीकरणों को सरल रूप में लिखा गया है।

Question 13

$(-3, 5)$ से होकर जाने वाली और बिंदु $(2, 5)$ और $(-3, 6)$ से जाने वाली रेखा पर लंब रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

पहले रेखा का समीकरण ज्ञात करें जो बिंदु $(2,5)$ और $(-3,6)$ से गुजरती है:

ढाल $m = \frac{6 - 5}{-3 - 2} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}$

समीकरण:

$y - 5 = -\frac{1}{5}(x - 2) \Rightarrow y = -\frac{1}{5} x + \frac{2}{5} + 5 = -\frac{1}{5} x + \frac{27}{5}$

अब इस रेखा पर लंब रेखा की ढाल होगी:

$m_{\perp} = 5$

यह लंब रेखा बिंदु $(-3,5)$ से गुजरती है, अतः समीकरण:

$y - 5 = 5(x + 3) \Rightarrow y = 5x + 15 + 5 = 5x + 20$ — 1. पहले दो बिंदुओं से रेखा की ढाल निकालें।
2. उस रेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम लें जो लंब रेखा की ढाल होगी।
3. लंब रेखा के लिए बिंदु-ढाल समीकरण बनाएं।

Question 14

एक रेखा $(1, 0)$ तथा $(2, 3)$ बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा खंड पर लंब है तथा उसको 1: $n$ के अनुपात में विभाजित करती है। रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

पहले रेखा खंड के बिंदु हैं $A(1,0)$ और $B(2,3)$।

रेखा खंड को 1 : $n$ के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु $P$:

$x_P = \frac{1 	imes 2 + n 	imes 1}{1 + n} = \frac{2 + n}{1 + n}$

$y_P = \frac{1 	imes 3 + n 	imes 0}{1 + n} = \frac{3}{1 + n}$

अब, लंब रेखा खींचनी है जो $P$ से गुजरती हो और $AB$ पर लंब हो।

$AB$ की ढाल:

$m_{AB} = \frac{3 - 0}{2 - 1} = 3$

लंब रेखा की ढाल:

$m_{\perp} = -\frac{1}{3}$

लंब रेखा का समीकरण:

$y - y_P = m_{\perp} (x - x_P)$

$\Rightarrow y - \frac{3}{1 + n} = -\frac{1}{3} \left(x - \frac{2 + n}{1 + n} ight)$ — 1. रेखा खंड के अंत बिंदुओं से विभाजन बिंदु निकालें।
2. मूल रेखा की ढाल निकालें।
3. लंब रेखा की ढाल ऋणात्मक व्युत्क्रम होगी।
4. विभाजन बिंदु से लंब रेखा का समीकरण बनाएं।

Question 15

एक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशकों से समान अंत:खंड काटती है और बिंदु $(2, 3)$ से जाती है।

Accepted Answer

यदि रेखा निर्देशकों से समान अंत:खंड काटती है, तो इसका समीकरण होगा:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ या $x + y = a$

यह रेखा बिंदु $(2,3)$ से गुजरती है, अतः:

$2 + 3 = a \Rightarrow a = 5$

अतः रेखा का समीकरण है:

$x + y = 5$ — 1. रेखा के निर्देशकों से समान अंत:खंड काटने का अर्थ है कि $x$ और $y$ के कटाव समान हैं।
2. समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ से $x + y = a$ बनता है।
3. बिंदु $(2,3)$ को समीकरण में रखने पर $a$ का मान ज्ञात करें।

Chapter 9

Chapter 9 — अध्ययन नोट्स

9.1 भूमिका (Introduction)

9.2 रेखा की ढाल (Slope of a line)

9.3 रेखा के समीकरण के विविध रूप (Various Forms of the Equation of a Line)

अभ्यास प्रश्न — Chapter 9

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