Question 1

प्रश्न 1 से 5 तक प्रत्येक व्यंजक का प्रसार कीजिए:
1. $(1 - 2x)^5$
2. $\left(\frac{2}{x} - \frac{x}{2}\right)^5$
3. $(2x - 3)^6$
4. $\left(\frac{x}{3} + \frac{1}{x}\right)^5$
5. $\left(x + \frac{1}{x}\right)^6$

Accepted Answer

1. $(1 - 2x)^5$ का प्रसार:
$(1 - 2x)^5 = \sum_{k=0}^5 {5 \choose k} (1)^{5-k} (-2x)^k = \sum_{k=0}^5 {5 \choose k} (-2)^k x^k$

विस्तार:
= $1 - 10x + 40x^2 - 80x^3 + 80x^4 - 32x^5$

2. $\left(\frac{2}{x} - \frac{x}{2}\right)^5$ का प्रसार:
यह $(a - b)^5$ के रूप में है जहाँ $a=\frac{2}{x}$, $b=\frac{x}{2}$

$= \sum_{k=0}^5 {5 \choose k} \left(\frac{2}{x}\right)^{5-k} \left(-\frac{x}{2}\right)^k$

= $\sum_{k=0}^5 {5 \choose k} 2^{5-k} x^{-(5-k)} (-1)^k \frac{x^k}{2^k}$

= $\sum_{k=0}^5 {5 \choose k} (-1)^k 2^{5-k - k} x^{k - (5-k)} = \sum_{k=0}^5 {5 \choose k} (-1)^k 2^{5 - 2k} x^{2k - 5}$

विस्तार:
$= 32x^{-5} - 80x^{-3} + 80x^{-1} - 40x + 10x^3 - x^5$

3. $(2x - 3)^6$ का प्रसार:
$(a - b)^6$ जहाँ $a=2x$, $b=3$

$= \sum_{k=0}^6 {6 \choose k} (2x)^{6-k} (-3)^k$

= $64x^6 - 576x^5 + 2160x^4 - 4320x^3 + 4860x^2 - 2916x + 729$

4. $\left(\frac{x}{3} + \frac{1}{x}\right)^5$ का प्रसार:
$(a + b)^5$ जहाँ $a=\frac{x}{3}$, $b=\frac{1}{x}$

$= \sum_{k=0}^5 {5 \choose k} \left(\frac{x}{3}\right)^{5-k} \left(\frac{1}{x}\right)^k = \sum_{k=0}^5 {5 \choose k} \frac{x^{5-k}}{3^{5-k}} x^{-k} = \sum_{k=0}^5 {5 \choose k} \frac{x^{5-2k}}{3^{5-k}}$

विस्तार:
$= \frac{x^5}{243} + \frac{5x^3}{81} + \frac{10x}{27} + \frac{10}{9x} + \frac{5}{3x^3} + \frac{1}{x^5}$

5. $\left(x + \frac{1}{x}\right)^6$ का प्रसार:
$(a + b)^6$ जहाँ $a=x$, $b=\frac{1}{x}$

$= \sum_{k=0}^6 {6 \choose k} x^{6-k} \left(\frac{1}{x}\right)^k = \sum_{k=0}^6 {6 \choose k} x^{6-2k}$

विस्तार:
$= x^6 + 6x^4 + 15x^2 + 20 + 15x^{-2} + 6x^{-4} + x^{-6}$ — प्रत्येक प्रश्न में द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए विस्तार किया गया है।

सामान्य रूप से, $(a + b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^k$

यह सूत्र प्रत्येक प्रश्न में लागू किया गया है।

प्रत्येक पद के गुणांक और घातांक को सावधानीपूर्वक गणना किया गया है।

Question 2

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
6. $(96)^3$
7. $(102)^5$
8. $(101)^4$
9. $(99)^5$

Accepted Answer

6. $(96)^3$ का मान:
यहाँ $96 = 100 - 4$

तो, $(96)^3 = (100 - 4)^3 = \sum_{k=0}^3 {3 \choose k} 100^{3-k} (-4)^k$

= $100^3 - 3 	imes 100^2 	imes 4 + 3 	imes 100 	imes 16 - 64$

= $1,000,000 - 120,000 + 4,800 - 64 = 884,736$

7. $(102)^5$ का मान:
यहाँ $102 = 100 + 2$

$(102)^5 = (100 + 2)^5 = \sum_{k=0}^5 {5 \choose k} 100^{5-k} 2^k$

= $100^5 + 5 	imes 100^4 	imes 2 + 10 	imes 100^3 	imes 4 + 10 	imes 100^2 	imes 8 + 5 	imes 100 	imes 16 + 32$

= $10,000,000,000 + 1,000,000,000 + 40,000,000 + 800,000 + 8,000 + 32 = 11,040,808,032$

8. $(101)^4$ का मान:
यहाँ $101 = 100 + 1$

$(101)^4 = (100 + 1)^4 = \sum_{k=0}^4 {4 \choose k} 100^{4-k} 1^k$

= $100^4 + 4 	imes 100^3 + 6 	imes 100^2 + 4 	imes 100 + 1$

= $100,000,000 + 4,000,000 + 600,000 + 400 + 1 = 104,060,401$

9. $(99)^5$ का मान:
यहाँ $99 = 100 - 1$

$(99)^5 = (100 - 1)^5 = \sum_{k=0}^5 {5 \choose k} 100^{5-k} (-1)^k$

= $100^5 - 5 	imes 100^4 + 10 	imes 100^3 - 10 	imes 100^2 + 5 	imes 100 - 1$

= $10,000,000,000 - 5,000,000,000 + 100,000,0000 - 10,000,000 + 500 - 1 = 9,509,900,499$ — द्विपद प्रमेय के अनुसार, $(a + b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^k$

यहाँ $a$ और $b$ को उपयुक्त मान लेकर विस्तार किया गया है।

प्रत्येक पद के गुणांक और घातांक को ध्यानपूर्वक जोड़ा गया है।

Question 3

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए बताइए कौन-सी संख्या बड़ी है $(1.1)^{10000}$ या $1000$.

Accepted Answer

हम तुलना करते हैं:
$(1.1)^{10000}$ और $1000$

$(1.1)^{10000} = \left(1 + 0.1ight)^{10000}$

द्विपद प्रमेय के अनुसार,

$(1 + 0.1)^{10000} = \sum_{k=0}^{10000} {10000 \choose k} 1^{10000-k} (0.1)^k$

विशेष रूप से, पहला पद 1 है, और बाद के पद सकारात्मक हैं। अतः $(1.1)^{10000} > 1$ बहुत अधिक है।

अब, $1000 = 10^3$

$(1.1)^{10000} = e^{10000 \ln 1.1}$

$ecause \ln 1.1 \approx 0.09531$

तो, $10000 	imes 0.09531 = 953.1$

अतः $(1.1)^{10000} \approx e^{953.1}$ जो कि $10^{(953.1 / \ln 10)} = 10^{(953.1 / 2.3026)} \approx 10^{414}$

यह $1000 = 10^3$ से बहुत बड़ा है।

अतः $(1.1)^{10000} > 1000$ — द्विपद प्रमेय से पता चलता है कि $(1.1)^{10000}$ बहुत बड़ा होगा।

लघुगणक और घातांक के आधार पर तुलना की गई है।

Question 4

$(a + b)^4 - (a - b)^4$ का विस्तार कीजिए। इसका प्रयोग करके $\left(\sqrt{3} + \sqrt{2}\right)^4 - \left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)^4$ का मान ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

$(a + b)^4 = \sum_{k=0}^4 {4 \choose k} a^{4-k} b^k$

= $a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

$(a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$

अतः,

$(a + b)^4 - (a - b)^4 = (a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4) - (a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4)$

= $8a^3b + 8ab^3 = 8ab(a^2 + b^2)$

अब,

$a = \sqrt{3}$, $b = \sqrt{2}$

तो,

$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^4 - (\sqrt{3} - \sqrt{2})^4 = 8 	imes \sqrt{3} 	imes \sqrt{2} (3 + 2) = 8 	imes \sqrt{6} 	imes 5 = 40 \sqrt{6}$ — द्विपद प्रमेय से $(a + b)^4$ और $(a - b)^4$ का विस्तार किया गया।

फिर उनके अंतर को सरल रूप में लिखा गया।

अंत में, दिए गए मानों को स्थानापन्न कर गणना की गई।

Question 5

$(x + 1)^6 + (x - 1)^6$ का मान ज्ञात कीजिए। इसका प्रयोग करके या अन्यथा $(\sqrt{2} + 1)^6 + (\sqrt{2} - 1)^6$ का मान ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

$(x + 1)^6 = \sum_{k=0}^6 {6 \choose k} x^{6-k} 1^k = \sum_{k=0}^6 {6 \choose k} x^{6-k}$

$(x - 1)^6 = \sum_{k=0}^6 {6 \choose k} x^{6-k} (-1)^k$

अतः,

$(x + 1)^6 + (x - 1)^6 = \sum_{k=0}^6 {6 \choose k} x^{6-k} (1 + (-1)^k)$

जब $k$ विषम होगा तो $1 + (-1)^k = 0$ होगा, और जब $k$ सम होगा तो $1 + 1 = 2$

इसलिए केवल सम पद बचेंगे:

$= 2 \left[{6 \choose 0} x^6 + {6 \choose 2} x^4 + {6 \choose 4} x^2 + {6 \choose 6} x^0 ight]$

$= 2 (x^6 + 15 x^4 + 15 x^2 + 1)$

अब,

$x = \sqrt{2}$

तो,

$(\sqrt{2} + 1)^6 + (\sqrt{2} - 1)^6 = 2 \left[(\sqrt{2})^6 + 15 (\sqrt{2})^4 + 15 (\sqrt{2})^2 + 1ight]$

$= 2 [ (2)^{3} + 15 (2)^2 + 15 (2) + 1 ] = 2 [8 + 60 + 30 + 1] = 2 	imes 99 = 198$ — द्विपद प्रमेय से $(x + 1)^6$ और $(x - 1)^6$ का विस्तार किया।

फिर दोनों का योग लिया और विषम पदों को शून्य माना क्योंकि वे रद्द हो जाते हैं।

अंत में, $x=\sqrt{2}$ रखकर मान निकाला।

Question 6

दिखाइए कि $9^{n+1} - 8n - 9,64$ से विभाज्य है जहाँ $n$ एक धन पूर्णांक है।

Accepted Answer

प्रमाण:
हमें दिखाना है कि $9^{n+1} - 8n - 9$ 64 से विभाज्य है अर्थात्

$64 \mid (9^{n+1} - 8n - 9)$

हम $9^{n+1} - 8n - 9$ को $64$ से भाग देते हैं और शेष 0 दिखाते हैं।

चूंकि $9 \equiv 9 \pmod{64}$

हम $9^{n+1} \pmod{64}$ निकालते हैं।

$9^1 = 9 \pmod{64}$

$9^2 = 81 \equiv 17 \pmod{64}$

$9^3 = 9^2 	imes 9 = 17 	imes 9 = 153 \equiv 25 \pmod{64}$

$9^4 = 9^3 	imes 9 = 25 	imes 9 = 225 \equiv 33 \pmod{64}$

$9^5 = 33 	imes 9 = 297 \equiv 41 \pmod{64}$

$9^6 = 41 	imes 9 = 369 \equiv 49 \pmod{64}$

$9^7 = 49 	imes 9 = 441 \equiv 57 \pmod{64}$

$9^8 = 57 	imes 9 = 513 \equiv 1 \pmod{64}$

अतः $9^8 \equiv 1 \pmod{64}$

इसका अर्थ है कि $9^{n+1}$ का चक्र 8 पर है।

अब,

यदि $n+1 = 8q + r$, जहाँ $0 \leq r < 8$

तो,

$9^{n+1} \equiv 9^r \pmod{64}$

अब, $9^{n+1} - 8n - 9 \equiv 9^r - 8n - 9 \pmod{64}$

हमें दिखाना है कि यह 0 है।

$r = (n+1) \bmod 8$

$n = 8q + s$, जहाँ $s = n \bmod 8$

तो $r = s + 1$ (यदि $s < 7$), अन्यथा $r=0$

परंतु इस प्रकार का पूर्ण प्रमाण गणितीय पूर्णांक पद्धति से किया जाता है।

आइए गणितीय पूर्णांक पद्धति से करें:

$n=1$ पर:
$9^{2} - 8(1) - 9 = 81 - 8 - 9 = 64$, जो 64 से विभाज्य है।

मान लीजिए $n=k$ के लिए सत्य है:

$9^{k+1} - 8k - 9$ 64 से विभाज्य है।

अर्थात्,

$9^{k+1} - 8k - 9 = 64m$ (कहीं $m$ पूर्णांक)

अब $n=k+1$ के लिए:

$9^{k+2} - 8(k+1) - 9 = 9 	imes 9^{k+1} - 8k - 8 - 9 = 9(9^{k+1}) - 8k - 17$

$= 9(64m + 8k + 9) - 8k - 17$ (पूर्वानुमान से)

$= 576m + 72k + 81 - 8k - 17 = 576m + 64k + 64 = 64(9m + k + 1)$

जो स्पष्ट रूप से 64 का गुणज है।

अतः सिद्ध हुआ कि $9^{n+1} - 8n - 9$ 64 से विभाज्य है। — गणितीय पूर्णांक पद्धति से सिद्ध किया गया कि $9^{n+1} - 8n - 9$ 64 से विभाज्य है।

आधार चरण और प्रत्यय चरण दोनों दिखाए गए हैं।

Question 7

सिद्ध कीजिए कि $\sum_{r=0}^{n} 3^{r} {}^n C_r = 4^n$

Accepted Answer

सिद्ध करें:
$\sum_{r=0}^{n} 3^{r} {n \choose r} = 4^n$

द्विपद प्रमेय के अनुसार,

$(1 + x)^n = \sum_{r=0}^n {n \choose r} x^r$

यदि $x = 3$ रखें,

तो,

$(1 + 3)^n = \sum_{r=0}^n {n \choose r} 3^r$

अर्थात्,

$4^n = \sum_{r=0}^n {n \choose r} 3^r$

इस प्रकार सिद्ध हुआ। — द्विपद प्रमेय के सामान्य सूत्र में $x=3$ रखकर सीधे परिणाम प्राप्त किया गया।

Question 8

यदि $a$ और $b$ भिन्न-भिन्न पूर्णांक हों, तो सिद्ध कीजिए कि $(a^n - b^n)$ का एक गुणनखंड $(a - b)$ है, जबकि $n$ एक धन पूर्णांक है।
[संकेत $a^n = (a - b + b)^n$ लिखकर प्रसार कीजिए।]

Accepted Answer

सिद्ध करें कि $(a^n - b^n)$ का एक गुणनखंड $(a - b)$ है।

सिद्धांत: यदि $a$ और $b$ भिन्न-भिन्न पूर्णांक हों और $n$ धन पूर्णांक हो, तो $(a^n - b^n)$ में $(a - b)$ एक गुणनखंड है।

सिद्धि:

हम जानते हैं कि,
$$a^n = (a - b + b)^n$$

द्विपद प्रमेय के अनुसार,
$$a^n = inom{n}{0} (a-b)^n b^0 + inom{n}{1} (a-b)^{n-1} b^1 + inom{n}{2} (a-b)^{n-2} b^2 + \ \ldots + inom{n}{n} (a-b)^0 b^n$$

अर्थात,
$$a^n = (a-b)^n + inom{n}{1} (a-b)^{n-1} b + inom{n}{2} (a-b)^{n-2} b^2 + \ldots + b^n$$

अब,
$$a^n - b^n = (a-b)^n + inom{n}{1} (a-b)^{n-1} b + inom{n}{2} (a-b)^{n-2} b^2 + \ldots + b^n - b^n$$

तो,
$$a^n - b^n = (a-b) 	imes ig[ (a-b)^{n-1} + inom{n}{1} (a-b)^{n-2} b + inom{n}{2} (a-b)^{n-3} b^2 + \ldots ig]$$

इस प्रकार, $(a-b)$, $(a^n - b^n)$ का एक गुणनखंड है।

अतः सिद्ध। — द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए $a^n$ को $(a-b+b)^n$ के रूप में लिखा और प्रसारित किया। फिर $a^n - b^n$ में $b^n$ घटाकर देखा कि शेष पदों में $(a-b)$ का गुणनखंड है।

Question 9

$ig(oot{2}{3} + oot{2}{2}ig)^6 - ig(oot{2}{3} - oot{2}{2}ig)^6$ का मान ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

दी गई अभिव्यक्ति है:
$$ig(oot{2}{3} + oot{2}{2}ig)^6 - ig(oot{2}{3} - oot{2}{2}ig)^6$$

हम जानते हैं कि यदि $x = oot{2}{3}$ और $y = oot{2}{2}$,
तो,
$$ (x + y)^6 - (x - y)^6 = 2 	imes ig[inom{6}{1} x^5 y + inom{6}{3} x^3 y^3 + inom{6}{5} x y^5 ig] $$

क्योंकि $(x - y)^6$ में विषम घात वाले पदों के संकेत विपरीत होते हैं, अतः उनका अंतर विषम घात वाले पदों के दोगुने के बराबर होगा।

अब,
$inom{6}{1} = 6$, $inom{6}{3} = 20$, $inom{6}{5} = 6$

तो,
$$= 2 	imes [6 x^5 y + 20 x^3 y^3 + 6 x y^5]$$

$x = oot{2}{3}$, $y = oot{2}{2}$

पहले प्रत्येक पद का मान निकालते हैं:

1) $x^5 y = (oot{2}{3})^5 	imes oot{2}{2} = 3^{5/2} 	imes 2^{1/2} = 3^{2 + 1/2} 	imes 2^{1/2} = 3^2 	imes 3^{1/2} 	imes 2^{1/2} = 9 	imes oot{2}{3} 	imes oot{2}{2} = 9 	imes oot{2}{6}$

2) $x^3 y^3 = (oot{2}{3})^3 	imes (oot{2}{2})^3 = 3^{3/2} 	imes 2^{3/2} = (3 	imes 2)^{3/2} = 6^{3/2} = 6^{1} 	imes 6^{1/2} = 6 	imes oot{2}{6}$

3) $x y^5 = oot{2}{3} 	imes (oot{2}{2})^5 = 3^{1/2} 	imes 2^{5/2} = 3^{1/2} 	imes 2^{2 + 1/2} = 3^{1/2} 	imes 2^2 	imes 2^{1/2} = 4 	imes oot{2}{3} 	imes oot{2}{2} = 4 	imes oot{2}{6}$

अब,
$$2 	imes [6 	imes 9 	imes oot{2}{6} + 20 	imes 6 	imes oot{2}{6} + 6 	imes 4 	imes oot{2}{6}] = 2 	imes [54 oot{2}{6} + 120 oot{2}{6} + 24 oot{2}{6}]$$

$$= 2 	imes (198 oot{2}{6}) = 396 oot{2}{6}$$

अतः,
$$ig(oot{2}{3} + oot{2}{2}ig)^6 - ig(oot{2}{3} - oot{2}{2}ig)^6 = 396 oot{2}{6}$$ — द्विपद प्रमेय से विषम घात वाले पदों का अंतर निकालकर, गुणांकों और घातों का मान ज्ञात किया। फिर घातों को सरल करके अंतिम मान प्राप्त किया।

Question 10

$ig(a^2 + oot{2}{a^2 - 1}ig)^4 + ig(a^2 - oot{2}{a^2 - 1}ig)^4$ का मान ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

दी गई अभिव्यक्ति है:
$$ig(a^2 + oot{2}{a^2 - 1}ig)^4 + ig(a^2 - oot{2}{a^2 - 1}ig)^4$$

हम इसे $(x + y)^4 + (x - y)^4$ के रूप में लें, जहाँ
$$x = a^2, \ y = oot{2}{a^2 - 1}$$

हम जानते हैं कि,
$$(x + y)^4 + (x - y)^4 = 2 	imes ig[x^4 + 6 x^2 y^2 + y^4ig]$$

अब,

1) $x^4 = (a^2)^4 = a^8$

2) $x^2 y^2 = (a^2)^2 	imes (oot{2}{a^2 - 1})^2 = a^4 	imes (a^2 - 1) = a^6 - a^4$

3) $y^4 = ig((a^2 - 1)^{1/2}ig)^4 = (a^2 - 1)^2 = a^4 - 2 a^2 + 1$

तो,
$$2 	imes [a^8 + 6 (a^6 - a^4) + a^4 - 2 a^2 + 1] = 2 	imes [a^8 + 6 a^6 - 6 a^4 + a^4 - 2 a^2 + 1]$$

$$= 2 	imes [a^8 + 6 a^6 - 5 a^4 - 2 a^2 + 1] = 2 a^8 + 12 a^6 - 10 a^4 - 4 a^2 + 2$$

अतः,
$$ig(a^2 + oot{2}{a^2 - 1}ig)^4 + ig(a^2 - oot{2}{a^2 - 1}ig)^4 = 2 a^8 + 12 a^6 - 10 a^4 - 4 a^2 + 2$$ — $(x+y)^4 + (x-y)^4$ के सूत्र का उपयोग किया। फिर $x$ और $y$ के मानों को घातों में रखा और सरल किया।

Question 11

$(0.99)^5$ के प्रसार के पहले तीन पदों का प्रयोग करते हुए इसका निकटतम मान ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

हम जानते हैं कि,
$$(1 + x)^n = 1 + n x + rac{n(n-1)}{2!} x^2 + rac{n(n-1)(n-2)}{3!} x^3 + \ldots$$

यहाँ,
$$n = 5, \ (0.99)^5 = (1 - 0.01)^5$$

तो,
$$x = -0.01$$

पहले तीन पद:

1) $1$

2) $5 	imes (-0.01) = -0.05$

3) $rac{5 	imes 4}{2} 	imes (-0.01)^2 = 10 	imes 0.0001 = 0.001$

तो,
$$ (0.99)^5 	hickapprox 1 - 0.05 + 0.001 = 0.951$$

अतः, $(0.99)^5$ का निकटतम मान $0.951$ है। — द्विपद प्रमेय के पहले तीन पदों का उपयोग करते हुए $x = -0.01$ और $n=5$ के लिए मान निकाला।

Question 12

$ig(1 + rac{x}{2} - rac{2}{x}ig)^4 	ext{ जहाँ } x 
eq 0$ का द्विपद प्रमेय द्वारा प्रसार ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

दी गई अभिव्यक्ति है:
$$ig(1 + rac{x}{2} - rac{2}{x}ig)^4$$

इसे तीन पदों वाले बहुपद के रूप में देखें:
$$ (A + B + C)^4 	ext{ जहाँ } A=1, B=rac{x}{2}, C = -rac{2}{x} $$

परंतु द्विपद प्रमेय केवल दो पदों के लिए है। अतः पहले,
$$ig(1 + rac{x}{2} - rac{2}{x}ig)^4 = ig[(1 + rac{x}{2}) + ig(- rac{2}{x}ig)ig]^4$$

अब,
$$(P + Q)^4 	ext{ जहाँ } P = 1 + rac{x}{2}, Q = -rac{2}{x}$$

द्विपद प्रमेय के अनुसार,
$$ (P + Q)^4 = inom{4}{0} P^4 + inom{4}{1} P^3 Q + inom{4}{2} P^2 Q^2 + inom{4}{3} P Q^3 + inom{4}{4} Q^4 $$

गुणांक:
$$inom{4}{0} = 1, inom{4}{1} = 4, inom{4}{2} = 6, inom{4}{3} = 4, inom{4}{4} = 1$$

तो,

1) $P^4 = ig(1 + rac{x}{2}ig)^4$

इसे भी द्विपद प्रमेय से विस्तार करें:
$$(1 + rac{x}{2})^4 = inom{4}{0} 1^4 + inom{4}{1} 1^3 rac{x}{2} + inom{4}{2} 1^2 ig(rac{x}{2}ig)^2 + inom{4}{3} 1 ig(rac{x}{2}ig)^3 + inom{4}{4} ig(rac{x}{2}ig)^4$$

$$= 1 + 4 	imes rac{x}{2} + 6 	imes rac{x^2}{4} + 4 	imes rac{x^3}{8} + rac{x^4}{16}$$

$$= 1 + 2x + rac{3}{2} x^2 + rac{1}{2} x^3 + rac{1}{16} x^4$$

2) $P^3 Q = ig(1 + rac{x}{2}ig)^3 	imes ig(-rac{2}{x}ig)$

पहले $P^3$ विस्तार करें:
$$(1 + rac{x}{2})^3 = 1 + 3 	imes rac{x}{2} + 3 	imes rac{x^2}{4} + rac{x^3}{8} = 1 + rac{3x}{2} + rac{3x^2}{4} + rac{x^3}{8}$$

तो,
$$P^3 Q = ig(1 + rac{3x}{2} + rac{3x^2}{4} + rac{x^3}{8}ig) 	imes ig(-rac{2}{x}ig)$$

$$= -rac{2}{x} - 3 - rac{3x}{2} - rac{x^2}{4}$$

3) $P^2 Q^2 = ig(1 + rac{x}{2}ig)^2 	imes ig(-rac{2}{x}ig)^2$

$$(1 + rac{x}{2})^2 = 1 + 2 	imes rac{x}{2} + rac{x^2}{4} = 1 + x + rac{x^2}{4}$$

$$Q^2 = ig(-rac{2}{x}ig)^2 = rac{4}{x^2}$$

तो,
$$P^2 Q^2 = ig(1 + x + rac{x^2}{4}ig) 	imes rac{4}{x^2} = rac{4}{x^2} + rac{4x}{x^2} + rac{4}{4} = rac{4}{x^2} + rac{4}{x} + 1$$

4) $P Q^3 = ig(1 + rac{x}{2}ig) 	imes ig(-rac{2}{x}ig)^3$

$$Q^3 = ig(-rac{2}{x}ig)^3 = -rac{8}{x^3}$$

तो,
$$P Q^3 = ig(1 + rac{x}{2}ig) 	imes ig(-rac{8}{x^3}ig) = -rac{8}{x^3} - rac{4}{x^2}$$

5) $Q^4 = ig(-rac{2}{x}ig)^4 = rac{16}{x^4}$

अतः,

पूरा प्रसार:
$$= 1 + 4 	imes ig(-rac{2}{x} - 3 - rac{3x}{2} - rac{x^2}{4}ig) + 6 	imes ig(rac{4}{x^2} + rac{4}{x} + 1ig) + 4 	imes ig(-rac{8}{x^3} - rac{4}{x^2}ig) + rac{16}{x^4}$$

$$= 1 - rac{8}{x} - 12 - 6x - x^2 + rac{24}{x^2} + rac{24}{x} + 6 - rac{32}{x^3} - rac{16}{x^2} + rac{16}{x^4}$$

अब समान पदों को जोड़ें:

- स्थिर पद: $1 - 12 + 6 = -5$

- $x$ पद: $-6x$

- $x^2$ पद: $-x^2$

- $rac{1}{x}$ पद: $-rac{8}{x} + rac{24}{x} = rac{16}{x}$

- $rac{1}{x^2}$ पद: $rac{24}{x^2} - rac{16}{x^2} = rac{8}{x^2}$

- $rac{1}{x^3}$ पद: $-rac{32}{x^3}$

- $rac{1}{x^4}$ पद: $rac{16}{x^4}$

अतः,
$$ig(1 + rac{x}{2} - rac{2}{x}ig)^4 = -5 - 6x - x^2 + rac{16}{x} + rac{8}{x^2} - rac{32}{x^3} + rac{16}{x^4}$$ — तीन पदों वाले बहुपद को दो पदों के योग के रूप में लेकर द्विपद प्रमेय लागू किया। फिर प्रत्येक पद का विस्तार किया और अंत में सभी पदों को जोड़कर अंतिम उत्तर प्राप्त किया।

Question 13

$(3x^2 - 2ax + 3a^2)^3$ का द्विपद प्रमेय से प्रसार ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

दी गई अभिव्यक्ति है:
$$(3x^2 - 2ax + 3a^2)^3$$

इसे तीन पदों वाले बहुपद के रूप में देखें:
$$ (A + B + C)^3 	ext{ जहाँ } A=3x^2, B=-2ax, C=3a^2 $$

तीन पदों वाले बहुपद के प्रसार का सूत्र है:
$$ (A + B + C)^3 = A^3 + B^3 + C^3 + 3 A^2 B + 3 A^2 C + 3 B^2 A + 3 B^2 C + 3 C^2 A + 3 C^2 B + 6 A B C $$

अब प्रत्येक पद का मान निकालते हैं:

1) $A^3 = (3x^2)^3 = 27 x^6$

2) $B^3 = (-2ax)^3 = -8 a^3 x^3$

3) $C^3 = (3a^2)^3 = 27 a^6$

4) $3 A^2 B = 3 	imes (3x^2)^2 	imes (-2ax) = 3 	imes 9 x^4 	imes (-2ax) = -54 a x^5$

5) $3 A^2 C = 3 	imes (3x^2)^2 	imes 3a^2 = 3 	imes 9 x^4 	imes 3 a^2 = 81 a^2 x^4$

6) $3 B^2 A = 3 	imes (-2ax)^2 	imes 3x^2 = 3 	imes 4 a^2 x^2 	imes 3 x^2 = 36 a^2 x^4$

7) $3 B^2 C = 3 	imes (-2ax)^2 	imes 3 a^2 = 3 	imes 4 a^2 x^2 	imes 3 a^2 = 36 a^4 x^2$

8) $3 C^2 A = 3 	imes (3 a^2)^2 	imes 3 x^2 = 3 	imes 9 a^4 	imes 3 x^2 = 81 a^4 x^2$

9) $3 C^2 B = 3 	imes (3 a^2)^2 	imes (-2 a x) = 3 	imes 9 a^4 	imes (-2 a x) = -54 a^5 x$

10) $6 A B C = 6 	imes 3 x^2 	imes (-2 a x) 	imes 3 a^2 = 6 	imes 3 x^2 	imes (-2 a x) 	imes 3 a^2$

पहले गुणा करें:
$$3 x^2 	imes (-2 a x) = -6 a x^3$$
फिर,
$$-6 a x^3 	imes 3 a^2 = -18 a^3 x^3$$
तो,
$$6 A B C = 6 	imes (-18 a^3 x^3) = -108 a^3 x^3$$

अतः,

पूरा प्रसार है:
$$27 x^6 - 8 a^3 x^3 + 27 a^6 - 54 a x^5 + 81 a^2 x^4 + 36 a^2 x^4 + 36 a^4 x^2 + 81 a^4 x^2 - 54 a^5 x - 108 a^3 x^3$$

समान पदों को जोड़ें:

- $x^6$ पद: $27 x^6$

- $x^5$ पद: $-54 a x^5$

- $x^4$ पद: $81 a^2 x^4 + 36 a^2 x^4 = 117 a^2 x^4$

- $x^3$ पद: $-8 a^3 x^3 - 108 a^3 x^3 = -116 a^3 x^3$

- $x^2$ पद: $36 a^4 x^2 + 81 a^4 x^2 = 117 a^4 x^2$

- $x$ पद: $-54 a^5 x$

- स्थिर पद: $27 a^6$

अतः,

$$ (3x^2 - 2ax + 3a^2)^3 = 27 x^6 - 54 a x^5 + 117 a^2 x^4 - 116 a^3 x^3 + 117 a^4 x^2 - 54 a^5 x + 27 a^6 $$ — तीन पदों वाले बहुपद के प्रसार के सामान्य सूत्र का उपयोग किया। प्रत्येक पद का घात और गुणांक निकालकर विस्तार किया। अंत में समान पदों को जोड़कर अंतिम उत्तर प्राप्त किया।

Question 14

नीचे दिए गए पास्कल त्रिभुज की सारणी में घातांक 0 से 4 तक के द्विपद गुणांकों को दर्शाया गया है:

| घातांक | गुणांक |
| --- | --- |
| 0 | 1 |
| 1 | 1 1 |
| 2 | 1 2 1 |
| 3 | 1 3 3 1 |
| 4 | 1 4 6 4 1 |

इस सारणी के आधार पर, $(a+b)^3$ के प्रसार में तीसरे पद का गुणांक क्या होगा?

Accepted Answer

3 — पास्कल त्रिभुज में घात 3 की पंक्ति के गुणांक हैं: 1, 3, 3, 1। द्विपद प्रमेय के अनुसार, $(a+b)^3$ के प्रसार में पदों की संख्या 4 है। तीसरे पद का गुणांक 3 है।

Question 15

द्विपद प्रमेय के अनुसार, $(a + b)^n$ के प्रसार में पदों की कुल संख्या कितनी होती है?

Accepted Answer

n + 1 — द्विपद प्रमेय के अनुसार, $(a + b)^n$ के प्रसार में पदों की संख्या घातांक $n$ से 1 अधिक होती है, अर्थात् कुल पद $n + 1$ होते हैं।

Chapter 7

Chapter 7 — अध्ययन नोट्स

7.1 भूमिका (Introduction)

7.2 धन पूर्णांकों के लिए द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem for Positive Integral Indices)

पास्कल त्रिभुज और द्विपद गुणांक

अभ्यास प्रश्न — Chapter 7

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