Chapter 5
Chapter 5 — अध्ययन नोट्स
NCERT-संरेखित · 11 नोट्स · 3 निःशुल्क दिखाए गए
5.1 भूमिका (Introduction)
व्याख्या5.1 भूमिका (Introduction)
पिछली कक्षाओं में हमने एक चर और दो चर राशियों के समीकरणों को हल करना सीखा है। परंतु वास्तविक जीवन में कई बार हमें समीकरणों के बजाय असमिकाएँ (inequalities) मिलती हैं, जहाँ दो राशियों के बीच बराबरी नहीं बल्कि ≤, ≥, <, > जैसे संबंध होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपकी कक्षा के सभी विद्यार्थियों की ऊँचाई 106 सेमी से कम है, तो यह एक असमीका है। इसी प्रकार, यदि कक्षा में अधिकतम 60 मेजें या कुर्सियाँ या दोनों समा सकती हैं, तो यह भी असमीका के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस अध्याय में हम रैखिक असमिकाओं का अध्ययन करेंगे, जो गणित, विज्ञान, अर्थशास्त्र, और अन्य क्षेत्रों में समस्याओं को हल करने में अत्यंत उपयोगी हैं। रैखिक असमिकाएँ वे असमिकाएँ होती हैं जिनमें चर की डिग्री 1 होती है। इस अध्याय में हम एक चर और दो चर वाली रैखिक असमिकाओं के बीजगणितीय और आलेखीय (graphical) समाधान सीखेंगे।
- असमीकाएँ वे अभिव्यक्तियाँ हैं जिनमें ≤, ≥, <, > जैसे चिह्न होते हैं।
- रैखिक असमिकाएँ वे असमिकाएँ हैं जिनमें चर की डिग्री 1 होती है।
- असमीकाओं का अध्ययन विभिन्न क्षेत्रों में समस्याओं के समाधान के लिए आवश्यक है।
- इस अध्याय में हम एक और दो चर वाली रैखिक असमिकाओं का अध्ययन करेंगे।
- 📌 असमीका: दो राशियों के बीच ≤, ≥, <, >, ≠ जैसे संबंध।
- 📌 रैखिक असमीका: चर की डिग्री 1 वाली असमीका।
5.2 असमिकाएँ (Inequalities)
व्याख्या5.2 असमिकाएँ (Inequalities)
असमीकाएँ गणित की ऐसी अभिव्यक्तियाँ हैं जिनमें दो राशियों के बीच बराबरी का चिह्न (=) नहीं होता, बल्कि ≤, ≥, <, > जैसे संबंध होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि रवि के पास 200 रुपये हैं और चावल के पैकेट का मूल्य 30 रुपये है, तो वह अधिकतम 6 पैकेट चावल खरीद सकता है, क्योंकि 30x < 200 होगा जहाँ x पैकेटों की संख्या है। इसी प्रकार, यदि रेशमा के पास 120 रुपये हैं और वह रजिस्टर तथा पेन खरीदना चाहती है, जिनकी कीमतें क्रमशः 40 और 20 रुपये हैं, तो उसकी कुल खर्च 40x + 20y ≤ 120 होगी जहाँ x और y क्रमशः रजिस्टर और पेन की संख्या हैं। इस प्रकार असमीकाएँ वास्तविक जीवन की सीमाओं और प्रतिबंधों को व्यक्त करती हैं। असमीकाओं के उदाहरणों में ax + b < 0, ax + by ≤ c आदि शामिल हैं। यदि a ≠ 0 और b = 0 हो तो एक चर वाली रैखिक असमीका होती है, और यदि a ≠ 0 तथा b ≠ 0 हो तो दो चर वाली रैखिक असमीका होती है। द्विघातीय असमीकाएँ जैसे ax² + bx + c ≤ 0 इस अध्याय का विषय नहीं हैं।
- असमीकाएँ दो राशियों के बीच ≤, ≥, <, > चिह्नों से बनती हैं।
- रवि के चावल खरीदने का उदाहरण: 30x < 200।
- रेशमा के रजिस्टर और पेन खरीदने का उदाहरण: 40x + 20y ≤ 120।
- एक चर वाली रैखिक असमीकाएँ: ax + b < 0, ax + b ≥ 0 आदि।
- दो चर वाली रैखिक असमीकाएँ: ax + by < c, ax + by ≥ c आदि।
- द्विघातीय असमीकाएँ इस अध्याय में शामिल नहीं हैं।
- 📌 असमीका: दो राशियों के बीच ≤, ≥, <, > चिह्नों से बनी अभिव्यक्ति।
- 📌 रैखिक असमीका: चर की डिग्री 1 वाली असमीका।
- 📌 द्विघातीय असमीका: चर की डिग्री 2 वाली असमीका।
5.3 एक चर राशि के रैखिक असमिकाओं का बीजगणितीय हल और उनका आलेखीय निरूपण
व्याख्या5.3 एक चर राशि के रैखिक असमिकाओं का बीजगणितीय हल और उनका आलेखीय निरूपण
एक चर वाली रैखिक असमीका का सामान्य रूप ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0 होता है जहाँ a ≠ 0। इन असमिकाओं को हल करने के लिए हम समीकरणों को हल करने के नियमों का पालन करते हैं, लेकिन ध्यान रखें कि यदि हम असमीका के दोनों पक्षों को ऋणात्मक सं
अभ्यास प्रश्न — Chapter 5
NCERT अभ्यास प्रश्न और उत्तर सहित
Q1.1. हल कीजिए : $24x < 100$, जब (i) $x$ एक प्राकृत संख्या है। (ii) $x$ एक पूर्णांक है।
उत्तर:
हल: (i) $24x < 100$ $x < \frac{100}{24} = 4.16$. प्राकृत संख्याएँ 1, 2, 3, 4,... होती हैं। अतः $x = 1, 2, 3, 4$ हो सकते हैं। (ii) $x$ पूर्णांक है, अतः $x < 4.16$ के पूर्णांक मान होंगे $x = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$. लेकिन चूंकि असमिका में कोई नकारात्मक प्रतिबंध नहीं है, इसलिए सभी पूर्णांक जो 4.16 से छोटे हैं, समाधान होंगे।
व्याख्या:
असमिका को हल करते हैं: $24x < 100$ $x < \frac{100}{24} = 4.16$ प्राकृत संख्याओं के लिए $x$ केवल धनात्मक पूर्णांक होते हैं। पूर्णांकों के लिए $x$ सभी पूर्णांक जो 4.16 से छोटे हैं।
Q2.2. हल कीजिए: $-12x > 30$, जब (i) $x$ एक प्राकृत संख्या है। (ii) $x$ एक पूर्णांक है।
उत्तर:
हल: (i) $-12x > 30$ $x < -\frac{30}{12} = -2.5$ प्राकृत संख्याएँ धनात्मक होती हैं, अतः कोई प्राकृत संख्या $-2.5$ से छोटी नहीं हो सकती। अतः कोई समाधान नहीं। (ii) $x$ पूर्णांक है, $x < -2.5$ अर्थात् $x = ..., -4, -3$ आदि। अतः पूर्णांक समाधान $x = -3, -4, -5, ...$ होंगे।
व्याख्या:
असमिका को हल करते हैं: $-12x > 30$ $x < -2.5$ प्राकृत संख्याएँ धनात्मक होती हैं, अतः कोई समाधान नहीं। पूर्णांकों के लिए $x$ के वे मान जो -2.5 से छोटे हैं।
Q3.3. हल कीजिए: $5x - 3 < 7$, जब (i) $x$ एक पूर्णांक (ii) $x$ एक वास्तविक संख्या है।
उत्तर:
हल: $5x - 3 < 7$ $5x < 10$ $x < 2$ (i) $x$ पूर्णांक है, अतः $x = ..., -1, 0, 1$ होंगे। (ii) $x$ वास्तविक संख्या है, अतः $x$ के सभी वास्तविक मान जो 2 से छोटे हैं समाधान होंगे।
व्याख्या:
असमिका को हल करते हैं: $5x - 3 < 7$ $x < 2$ पूर्णांक और वास्तविक दोनों के लिए उपयुक्त मान ज्ञात किए।
Q4.4. हल कीजिए : $3x + 8 > 2$, जब (i) $x$ एक पूर्णांक (ii) $x$ एक वास्तविक संख्या है।
उत्तर:
हल: $3x + 8 > 2$ $3x > -6$ $x > -2$ (i) $x$ पूर्णांक है, अतः $x = -1, 0, 1, 2, ...$ (ii) $x$ वास्तविक संख्या है, अतः $x$ के सभी वास्तविक मान जो -2 से बड़े हैं समाधान होंगे।
व्याख्या:
असमिका को हल करते हैं: $3x + 8 > 2$ $x > -2$ पूर्णांक और वास्तविक दोनों के लिए उपयुक्त मान ज्ञात किए।
Q5.5. $4x + 3 < 6x + 7$
उत्तर:
हल: $4x + 3 < 6x + 7$ $3 - 7 < 6x - 4x$ $-4 < 2x$ $x > -2$
व्याख्या:
असमिका को हल करते हैं: $4x + 3 < 6x + 7$ $x > -2$
Q6.6. $3x - 7 > 5x - 1$
उत्तर:
हल: $3x - 7 > 5x - 1$ $-7 + 1 > 5x - 3x$ $-6 > 2x$ $x < -3$
व्याख्या:
असमिका को हल करते हैं: $3x - 7 > 5x - 1$ $x < -3$
Q7.7. $3(x - 1) \\leq 2(x - 3)$
उत्तर:
हल: $3(x - 1) \\leq 2(x - 3)$ $3x - 3 \\leq 2x - 6$ $3x - 2x \\leq -6 + 3$ $x \\leq -3$
व्याख्या:
असमिका को हल करते हैं: $3(x - 1) \\leq 2(x - 3)$ $x \\leq -3$
Q8.8. $3(2 - x) \\geq 2(1 - x)$
उत्तर:
हल: $3(2 - x) \\geq 2(1 - x)$ $6 - 3x \\geq 2 - 2x$ $6 - 2 \\geq 3x - 2x$ $4 \\geq x$ $x \\leq 4$
व्याख्या:
असमिका को हल करते हैं: $3(2 - x) \\geq 2(1 - x)$ $x \\leq 4$
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Mathematics · Class 11