Question 1

प्रश्न 1 से 10 तक की सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को $a + ib$ के रूप में व्यक्त कीजिए।

1. $\left(5i\right)\left(-\frac{3}{5}i\right)$
2. $i^9 + i^{19}$
3. $i^{-39}$
4. $3(7 + i7) + i(7 + i7)$
5. $(1 - i) - (-1 + i6)$
6. $\left(\frac{1}{5} + i\frac{2}{5}\right) - \left(4 + i\frac{5}{2}\right)$
7. $\left[\left(\frac{1}{3} + i\frac{7}{3}\right) + \left(4 + i\frac{1}{3}\right)\right] - \left(-\frac{4}{3} + i\right)$
8. $(1 - i)^4$
9. $\left(\frac{1}{3} + 3i\right)^3$
10. $\left(-2 - \frac{1}{3}i\right)^3$

Accepted Answer

1. $(5i)(-\frac{3}{5}i) = 5i 	imes -\frac{3}{5}i = -3 i^2 = -3 	imes (-1) = 3$. अतः $3 + 0i$.

2. $i^9 + i^{19}$
$i^9 = i^{8+1} = (i^4)^2 	imes i = 1 	imes i = i$
$i^{19} = i^{16+3} = (i^4)^4 	imes i^3 = 1 	imes (-i) = -i$
तो $i + (-i) = 0 + 0i$

3. $i^{-39} = \frac{1}{i^{39}}$
$i^{39} = i^{36+3} = (i^4)^9 	imes i^3 = 1 	imes (-i) = -i$
तो $i^{-39} = \frac{1}{-i} = -\frac{1}{i} = -(-i) = i$

4. $3(7 + i7) + i(7 + i7) = 21 + 21i + 7i + i^2 7 = 21 + 28i -7 = (21-7) + 28i = 14 + 28i$

5. $(1 - i) - (-1 + i6) = 1 - i + 1 - i6 = (1+1) + (-1 -6)i = 2 - 7i$

6. $\left(\frac{1}{5} + i\frac{2}{5}ight) - \left(4 + i\frac{5}{2}ight) = \left(\frac{1}{5} - 4ight) + i\left(\frac{2}{5} - \frac{5}{2}ight) = -\frac{19}{5} - i\frac{21}{10}$

7. $\left[\left(\frac{1}{3} + i\frac{7}{3}ight) + \left(4 + i\frac{1}{3}ight)ight] - \left(-\frac{4}{3} + iight) = \left(\frac{1}{3} + 4 + \frac{4}{3}ight) + i\left(\frac{7}{3} + \frac{1}{3} - 1ight) = \left(\frac{1}{3} + 4 + \frac{4}{3}ight) + i\left(\frac{7+1-3}{3}ight) = \frac{1+12+4}{3} + i\frac{5}{3} = \frac{17}{3} + i\frac{5}{3}$

8. $(1 - i)^4$
पहले $(1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i -1 = -2i$
तो $(1 - i)^4 = ((1 - i)^2)^2 = (-2i)^2 = 4 i^2 = 4 	imes (-1) = -4$

9. $\left(\frac{1}{3} + 3iight)^3$
पहले $\left(\frac{1}{3} + 3iight)^2 = \left(\frac{1}{3}ight)^2 + 2 	imes \frac{1}{3} 	imes 3i + (3i)^2 = \frac{1}{9} + 2i + 9 i^2 = \frac{1}{9} + 2i -9 = -\frac{80}{9} + 2i$
अब $\left(\frac{1}{3} + 3iight)^3 = \left(\frac{1}{3} + 3iight) 	imes \left(-\frac{80}{9} + 2iight) = \frac{1}{3} 	imes -\frac{80}{9} + \frac{1}{3} 	imes 2i + 3i 	imes -\frac{80}{9} + 3i 	imes 2i = -\frac{80}{27} + \frac{2}{3} i - \frac{240}{9} i + 6 i^2 = -\frac{80}{27} + \frac{2}{3} i - \frac{240}{9} i - 6 = \left(-\frac{80}{27} - 6ight) + \left(\frac{2}{3} - \frac{240}{9}ight) i = -\frac{80}{27} - \frac{162}{27} + \left(\frac{18}{27} - \frac{720}{27}ight) i = -\frac{242}{27} - \frac{702}{27} i = -\frac{242}{27} - \frac{702}{27} i$

10. $\left(-2 - \frac{1}{3}iight)^3$
पहले $\left(-2 - \frac{1}{3}iight)^2 = (-2)^2 + 2 	imes -2 	imes -\frac{1}{3} i + \left(-\frac{1}{3} iight)^2 = 4 + \frac{4}{3} i + \frac{1}{9} i^2 = 4 + \frac{4}{3} i - \frac{1}{9} = \frac{35}{9} + \frac{4}{3} i$
अब $\left(-2 - \frac{1}{3} iight)^3 = \left(-2 - \frac{1}{3} iight) 	imes \left(\frac{35}{9} + \frac{4}{3} iight) = -2 	imes \frac{35}{9} - 2 	imes \frac{4}{3} i - \frac{1}{3} i 	imes \frac{35}{9} - \frac{1}{3} i 	imes \frac{4}{3} i = -\frac{70}{9} - \frac{8}{3} i - \frac{35}{27} i - \frac{4}{9} i^2 = -\frac{70}{9} - \frac{8}{3} i - \frac{35}{27} i + \frac{4}{9} = \left(-\frac{70}{9} + \frac{4}{9}ight) + \left(-\frac{8}{3} - \frac{35}{27}ight) i = -\frac{66}{9} - \frac{72}{27} i - \frac{35}{27} i = -\frac{22}{3} - \frac{107}{27} i$ — प्रत्येक प्रश्न के लिए सम्मिश्र संख्या को $a + ib$ के रूप में सरल किया गया है।

1. $i^2 = -1$ का उपयोग किया।
2. $i$ की घातों को $4$ के चक्र में विभाजित कर सरलीकरण किया।
3. ऋण घात के लिए व्युत्क्रम लिया।
4. गुणा और जोड़ के नियमों का प्रयोग।
5-7. जोड़ और घटाव के नियम।
8-10. द्विघात और घात के नियमों का विस्तार।

Question 2

प्रश्न 11 से 13 की सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।

11. $4 - 3i$
12. $\sqrt{5} + 3i$
13. $-i$

Accepted Answer

गुणात्मक प्रतिलोम $z = a + ib$ के लिए $\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$ होता है।

11. $z = 4 - 3i$
$\bar{z} = 4 + 3i$
$|z|^2 = 4^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$
तो $\frac{1}{z} = \frac{4 + 3i}{25} = \frac{4}{25} + \frac{3}{25} i$

12. $z = \sqrt{5} + 3i$
$\bar{z} = \sqrt{5} - 3i$
$|z|^2 = (\sqrt{5})^2 + 3^2 = 5 + 9 = 14$
तो $\frac{1}{z} = \frac{\sqrt{5} - 3i}{14} = \frac{\sqrt{5}}{14} - \frac{3}{14} i$

13. $z = -i = 0 - i$
$\bar{z} = 0 + i = i$
$|z|^2 = 0^2 + (-1)^2 = 1$
तो $\frac{1}{z} = \frac{i}{1} = i$ — गुणात्मक प्रतिलोम निकालने के लिए संयुग्मी से गुणा कर और परिमाण के वर्ग से भाग दिया जाता है।

Question 3

निम्नलिखित व्यंजक को $a + ib$ के रूप में व्यक्त कीजिए:
$$
\frac{\left(3 + i\sqrt{5}\right)\left(3 - i\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{3} + \sqrt{2}i\right) - \left(\sqrt{3} - i\sqrt{2}\right)}
$$

Accepted Answer

दिए गए व्यंजक को सरल करते हैं:

अंकगणितीय रूप में,

ऊपर:
$(3 + i\sqrt{5})(3 - i\sqrt{5}) = 3^2 - (i\sqrt{5})^2 = 9 - (i^2)(5) = 9 - (-1)(5) = 9 + 5 = 14$

नीचे:
$(\sqrt{3} + \sqrt{2}i) - (\sqrt{3} - i\sqrt{2}) = \sqrt{3} + \sqrt{2}i - \sqrt{3} + i\sqrt{2} = \sqrt{2}i + i\sqrt{2} = 2 i \sqrt{2}$

तो,
$$
\frac{14}{2 i \sqrt{2}} = \frac{14}{2 i \sqrt{2}} = \frac{7}{i \sqrt{2}} = \frac{7}{i \sqrt{2}} 	imes \frac{-i}{-i} = \frac{-7 i}{-i^2 \sqrt{2}} = \frac{-7 i}{1 	imes \sqrt{2}} = -\frac{7}{\sqrt{2}} i
$$

अतः $a + ib$ रूप में,
$a = 0$, $b = -\frac{7}{\sqrt{2}}$

अंत में,
$$
0 - \frac{7}{\sqrt{2}} i
$$ — संयुग्मी गुणा और भिन्न के हर को सरल करके वास्तविक और काल्पनिक भाग निकाले गए। नीचे के भाग में समान पदों का घटाव किया।

Question 4

माना $z_1 = 2 - i$, $z_2 = -2 + i$, निम्न का मान निकालिए।
(i) $\operatorname{Re}\left(\frac{z_1 z_2}{\overline{z}_1}\right)$
(ii) $\operatorname{Im}\left(\frac{1}{z_1 \overline{z}_1}\right)$

Accepted Answer

हल:
(i) पहले $z_1 = 2 - i$, अतः इसका संयुग्मी $\overline{z}_1 = 2 + i$
और $z_2 = -2 + i$

सबसे पहले $z_1 z_2$ निकालते हैं:
$z_1 z_2 = (2 - i)(-2 + i) = 2 	imes (-2) + 2 	imes i - i 	imes (-2) - i 	imes i = -4 + 2i + 2i - (-1) = -4 + 4i + 1 = -3 + 4i$

अब,
$\frac{z_1 z_2}{\overline{z}_1} = \frac{-3 + 4i}{2 + i}$

हर भिन्न को मानक रूप में लाने के लिए, हर और भाजक को $2 - i$ से गुणा करें:

$= \frac{(-3 + 4i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{-6 + 3i + 8i - 4i^2}{4 - i^2} = \frac{-6 + 11i - 4(-1)}{4 - (-1)} = \frac{-6 + 11i + 4}{5} = \frac{-2 + 11i}{5} = -\frac{2}{5} + \frac{11}{5}i$

अतः,
$\operatorname{Re}\left(\frac{z_1 z_2}{\overline{z}_1}ight) = -\frac{2}{5}$

(ii) $z_1 \overline{z}_1 = (2 - i)(2 + i) = 2^2 - (i)^2 = 4 - (-1) = 5$

इसलिए,
$\frac{1}{z_1 \overline{z}_1} = \frac{1}{5} = 0.2$

यह एक वास्तविक संख्या है, अतः इसका काल्पनिक भाग शून्य होगा।

अतः,
$\operatorname{Im}\left(\frac{1}{z_1 \overline{z}_1}ight) = 0$ — प्रथम भाग में, सम्मिश्र संख्याओं का गुणन और भाग करते हुए वास्तविक भाग निकाला गया। द्वितीय भाग में, सम्मिश्र संख्या और उसके संयुग्मी का गुणन करने पर वास्तविक संख्या मिली, अतः उसका काल्पनिक भाग शून्य है।

Question 5

यदि $(x - iy)(3 + 5i)$, $-6 - 24i$ की संयुग्मी है तो वास्तविक संख्याएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

हल:
दिया है कि,
$(x - iy)(3 + 5i)$, $-6 - 24i$ की संयुग्मी है।

संयुग्मी का अर्थ है कि,
$(x - iy)(3 + 5i) = \overline{-6 - 24i} = -6 + 24i$

अब,
$(x - iy)(3 + 5i) = 3x + 5ix - 3iy - 5i^2 y = 3x + 5ix - 3iy + 5y$ (क्योंकि $i^2 = -1$)

इसे वास्तविक और काल्पनिक भागों में विभाजित करें:

वास्तविक भाग: $3x + 5y$
काल्पनिक भाग: $5x - 3y$

तो,
$3x + 5y = -6$  (वास्तविक भाग)
$5x - 3y = 24$  (काल्पनिक भाग)

अब, इन दो समीकरणों को हल करते हैं:

(i) $3x + 5y = -6$
(ii) $5x - 3y = 24$

(i) को 3 से गुणा करें और (ii) को 5 से:

$9x + 15y = -18$
$25x - 15y = 120$

दोनों समीकरणों को जोड़ें:

$34x = 102$
$\Rightarrow x = \frac{102}{34} = 3$

अब, $x=3$ को (i) में रखें:

$3(3) + 5y = -6$
$9 + 5y = -6$
$5y = -15$
$y = -3$

अतः,
$x=3$, $y=-3$ — संयुग्मी की परिभाषा का उपयोग करते हुए समीकरण बनाकर वास्तविक और काल्पनिक भागों के बराबर समीकरण बनाए गए। फिर दो समीकरणों को हल करके $x$ और $y$ के मान प्राप्त किए।

Question 6

$\frac{1 + i}{1 - i} - \frac{1 - i}{1 + i}$ का मापांक ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

हल:
पहले प्रत्येक भिन्न को सरल करें:

(i) $\frac{1 + i}{1 - i}$
हर और भाजक को $1 + i$ से गुणा करें:

$= \frac{(1 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{1 + 2i -1}{1 - (-1)} = \frac{2i}{2} = i$

(ii) $\frac{1 - i}{1 + i}$
हर और भाजक को $1 - i$ से गुणा करें:

$= \frac{(1 - i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 - 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{1 - 2i -1}{1 - (-1)} = \frac{-2i}{2} = -i$

अब,
$\frac{1 + i}{1 - i} - \frac{1 - i}{1 + i} = i - (-i) = i + i = 2i$

मापांक (argument) $2i$ का मापांक $	heta$ है जहाँ $	an 	heta = \frac{	ext{काल्पनिक भाग}}{	ext{वास्तविक भाग}}$

यहाँ वास्तविक भाग $0$ और काल्पनिक भाग $2$ है।

इसलिए, $	heta = \frac{\pi}{2}$ (या $90^\circ$)

अतः, मापांक $\frac{\pi}{2}$ है। — प्रत्येक भिन्न को सरल करके उनका योगफल निकाला गया। परिणामस्वरूप एक शुद्ध काल्पनिक संख्या मिली जिसका मापांक $90^\circ$ या $\frac{\pi}{2}$ होता है।

Question 7

यदि $(x + iy)^3 = u + iv$, तो दशाईए कि $\frac{u}{x} + \frac{v}{y} = 4(x^2 - y^2)$

Accepted Answer

हल:
दिया है कि,
$(x + iy)^3 = u + iv$

हम $(x + iy)^3$ का विस्तार करते हैं:

$(x + iy)^3 = (x + iy)(x + iy)^2 = (x + iy)(x^2 + 2ixy + i^2 y^2)$

चूंकि $i^2 = -1$,

$(x + iy)^3 = (x + iy)(x^2 + 2ixy - y^2)$

अब,

$(x + iy)(x^2 - y^2 + 2ixy) = x(x^2 - y^2) + x(2ixy) + iy(x^2 - y^2) + iy(2ixy)$

$= x^3 - x y^2 + 2i x^2 y + i y x^2 - i y^3 + 2 i^2 x y^2$

ध्यान दें कि $i^2 = -1$, अतः

$= x^3 - x y^2 + 2 i x^2 y + i x^2 y - i y^3 - 2 x y^2$

काल्पनिक और वास्तविक भाग अलग करें:

वास्तविक भाग:
$x^3 - x y^2 - 2 x y^2 = x^3 - 3 x y^2$

काल्पनिक भाग:
$2 x^2 y + x^2 y - y^3 = 3 x^2 y - y^3$

अतः,
$u = x^3 - 3 x y^2$
$v = 3 x^2 y - y^3$

अब,

$\frac{u}{x} + \frac{v}{y} = \frac{x^3 - 3 x y^2}{x} + \frac{3 x^2 y - y^3}{y} = (x^2 - 3 y^2) + (3 x^2 - y^2) = x^2 - 3 y^2 + 3 x^2 - y^2 = 4 x^2 - 4 y^2 = 4(x^2 - y^2)$

अतः सिद्ध हुआ कि,
$\frac{u}{x} + \frac{v}{y} = 4(x^2 - y^2)$ — सम्मिश्र संख्या के घात का विस्तार कर वास्तविक और काल्पनिक भाग निकाले गए। फिर दिए गए अनुपातों को जोड़कर सरल रूप में $4(x^2 - y^2)$ प्राप्त किया गया।

Question 8

यदि $\alpha$ और $\beta$ भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं जहाँ $|\beta| = 1$, तब $\left|\frac{\beta - \alpha}{1 - \overline{\alpha} \beta}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

हल:
दिया है कि $|\beta| = 1$

हमें $\left|\frac{\beta - \alpha}{1 - \overline{\alpha} \beta}\right|$ का मान ज्ञात करना है।

ध्यान दें कि,

$\left|\frac{\beta - \alpha}{1 - \overline{\alpha} \beta}\right| = \frac{|\beta - \alpha|}{|1 - \overline{\alpha} \beta|}$

अब, $|\beta| = 1$ होने के कारण,

$|1 - \overline{\alpha} \beta| = |\overline{1 - \overline{\alpha} \beta}| = |1 - \overline{\beta} \alpha|$

क्योंकि $|\beta| = 1$, अतः $\overline{\beta} = \frac{1}{\beta}$

इसलिए,

$|1 - \overline{\alpha} \beta| = |1 - \frac{1}{\beta} \alpha| = \left|\frac{\beta - \alpha}{\beta}\right| = \frac{|\beta - \alpha|}{|\beta|} = |\beta - \alpha|$

अतः,

$\left|\frac{\beta - \alpha}{1 - \overline{\alpha} \beta}\right| = \frac{|\beta - \alpha|}{|\beta - \alpha|} = 1$

अतः, $\left|\frac{\beta - \alpha}{1 - \overline{\alpha} \beta}\right| = 1$ — संख्या के मापांक के गुणों और $|\beta|=1$ के उपयोग से भिन्न के हर और भाजक के मापांक को समान दिखाकर मान 1 प्राप्त किया गया।

Question 9

समीकरण $|1 - i|^x = 2^x$ के शून्येतर पूर्णांक मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

हल:
पहले $|1 - i|$ का मान ज्ञात करें:

$|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

समीकरण है:

$|1 - i|^x = 2^x$

अर्थात,

$(\sqrt{2})^x = 2^x$

$(2^{1/2})^x = 2^x$

$2^{x/2} = 2^x$

दोनों पक्षों के घात समान होने चाहिए:

$x/2 = x$

यह तभी संभव है जब $x = 0$

अतः, शून्येतर पूर्णांक मूल केवल $x=0$ है।

अतः, शून्येतर पूर्णांक मूलों की संख्या 0 है। — मापांक के गुणों का उपयोग कर समीकरण को सरल किया गया। दोनों पक्षों के आधार समान होने पर घात बराबर होने चाहिए, जिससे $x=0$ प्राप्त हुआ जो शून्येतर नहीं है। अतः कोई शून्येतर पूर्णांक मूल नहीं है।

Question 10

यदि $(a + ib)(c + id)(e + if)(g + ih) = A + iB$ है तो दशाईए कि $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)(e^2 + f^2)(g^2 + h^2) = A^2 + B^2$

Accepted Answer

हल:
दिया है कि,
$(a + ib)(c + id)(e + if)(g + ih) = A + iB$

संख्या $a + ib$ का मापांक $\sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।

तो,

$m = (a + ib)(c + id)(e + if)(g + ih)$

$m$ का मापांक $|m| = |a + ib| 	imes |c + id| 	imes |e + if| 	imes |g + ih|$

अर्थात,

$\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{a^2 + b^2} 	imes \sqrt{c^2 + d^2} 	imes \sqrt{e^2 + f^2} 	imes \sqrt{g^2 + h^2}$

दोनों पक्षों का वर्ग करें:

$A^2 + B^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)(e^2 + f^2)(g^2 + h^2)$

अतः सिद्ध हुआ। — सम्मिश्र संख्याओं के गुणन में मापांक गुणा होता है। मापांक के वर्गों को गुणा कर दोनों पक्षों के बराबर होने को दिखाया गया।

Question 11

यदि $\left(\frac{1 + i}{1 - i}\right)^m = 1$, तो $m$ का न्यूनतम पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

हल:
पहले $\frac{1 + i}{1 - i}$ को सरल करें:

हर और भाजक को $1 + i$ से गुणा करें:

$= \frac{(1 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{1 + 2i -1}{1 - (-1)} = \frac{2i}{2} = i$

इसलिए,

$\left(\frac{1 + i}{1 - i}\right)^m = i^m = 1$

$i$ के घात के चक्र को देखें:

$i^1 = i$
$i^2 = -1$
$i^3 = -i$
$i^4 = 1$

तो, $i^m = 1$ तभी होगा जब $m$ का मान 4 का गुणज हो।

अतः न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $m = 4$ है। — भिन्न को सरल कर $i$ प्राप्त किया गया। $i$ के घातों के चक्र से ज्ञात हुआ कि $i^4 = 1$ है, अतः $m=4$ न्यूनतम पूर्णांक है।

Question 12

यदि $z_1 = 2 + 3i$ और $z_2 = -6 + 5i$ हैं, तो $z_1 + z_2$ का मान क्या होगा?

Accepted Answer

-4 + 8i — दो सम्मिश्र संख्याओं $z_1 = a + ib$ और $z_2 = c + id$ का योग $z_1 + z_2 = (a + c) + i(b + d)$ होता है। यहाँ, $a=2$, $b=3$, $c=-6$, $d=5$ हैं। अतः, $z_1 + z_2 = (2 - 6) + i(3 + 5) = -4 + 8i$।

Question 13

यदि $z = 4 - 3i$ हो, तो $z$ का गुणात्मक प्रतिलोम क्या होगा?

Accepted Answer

$\frac{4}{25} + i\frac{3}{25}$ — गुणात्मक प्रतिलोम किसी शून्येतर सम्मिश्र संख्या $z = a + ib$ के लिए $z^{-1} = \frac{a}{a^2 + b^2} + i \frac{-b}{a^2 + b^2}$ होता है। यहाँ, $a=4$, $b=-3$ हैं। अतः, $a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25$। इसलिए, $z^{-1} = \frac{4}{25} + i \frac{3}{25}$।

Question 14

यदि $z_1 = 3 + 4i$ और $z_2 = 1 - 2i$ हों, तो $z_1 z_2$ का मान क्या होगा?

Accepted Answer

11 - 10i — गुणन के लिए सूत्र है: $z_1 z_2 = (ac - bd) + i(ad + bc)$ जहाँ $z_1 = a + ib$, $z_2 = c + id$। यहाँ, $a=3$, $b=4$, $c=1$, $d=-2$। अतः, वास्तविक भाग: $3 	imes 1 - 4 	imes (-2) = 3 + 8 = 11$ और काल्पनिक भाग: $3 	imes (-2) + 4 	imes 1 = -6 + 4 = -2$। सही विकल्प $11 - 2i$ होना चाहिए, लेकिन विकल्पों में निकटतम $11 - 10i$ है, अतः प्रश्न में विकल्पों को पुनः जाँचना आवश्यक है। सही विकल्प है $11 - 2i$।

Question 15

निम्नलिखित में से कौन-सा $i$ की घातों के नियम के अनुसार सही है?

Accepted Answer

i^{4} = 1 — हम जानते हैं कि $i^2 = -1$, अतः $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि $i^6 = i^{4} 	imes i^{2} = 1 	imes (-1) = -1$, $i^5 = i^{4} 	imes i = 1 	imes i = i$, और $i^3 = i^{2} 	imes i = -1 	imes i = -i$।

Chapter 4

Chapter 4 — अध्ययन नोट्स

4.1 भूमिका (Introduction)

4.2 सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers)

4.3 सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित (Algebra of Complex Numbers)

अभ्यास प्रश्न — Chapter 4

Ganit के सभी 14 अध्याय