Question 1

निम्नलिखित डिग्री माप के संगत रेडियन माप ज्ञात कीजिए:

(i) $25^\circ$

(ii) $-47^\circ 30'$

(iii) $240^\circ$

(iv) $520^\circ$

Accepted Answer

रेडियन माप ज्ञात करने के लिए सूत्र है:

रेडियन = डिग्री × (π/180)

(i) 25° के लिए:
रेडियन = 25 × (π/180) = (25π)/180 = (5π)/36 रेडियन

(ii) -47° 30' = -47.5°
रेडियन = -47.5 × (π/180) = - (95π)/360 = - (19π)/72 रेडियन

(iii) 240°
रेडियन = 240 × (π/180) = (4π)/3 रेडियन

(iv) 520°
520° = 360° + 160°, इसलिए
रेडियन = 520 × (π/180) = (26π)/9 रेडियन — डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए डिग्री मान को π/180 से गुणा करते हैं। ध्यान दें कि 1° = π/180 रेडियन होता है।

Question 2

निम्नलिखित रेडियन माप के संगत डिग्री माप ज्ञात कीजिए ($\pi = \frac{22}{7}$ का प्रयोग करें):

(i) $\frac{11}{16}$

(ii) $-4$

(iii) $\frac{5\pi}{3}$

(iv) $\frac{7\pi}{6}$

Accepted Answer

डिग्री माप ज्ञात करने के लिए सूत्र है:

डिग्री = रेडियन × (180/π)

π = 22/7 का प्रयोग करते हुए:

(i) \frac{11}{16} रेडियन:
डिग्री = \frac{11}{16} 	imes \frac{180}{\pi} = \frac{11}{16} 	imes \frac{180}{22/7} = \frac{11}{16} 	imes \frac{180 	imes 7}{22} = \frac{11 	imes 180 	imes 7}{16 	imes 22} = \frac{13860}{352} = 39.375^6

(ii) -4 रेडियन:
डिग्री = -4 	imes \frac{180}{22/7} = -4 	imes \frac{180 	imes 7}{22} = -4 	imes 57.27 = -229.09^6

(iii) \frac{5\pi}{3} रेडियन:
डिग्री = \frac{5\pi}{3} 	imes \frac{180}{\pi} = \frac{5}{3} 	imes 180 = 300^6

(iv) \frac{7\pi}{6} रेडियन:
डिग्री = \frac{7\pi}{6} 	imes \frac{180}{\pi} = \frac{7}{6} 	imes 180 = 210^6 — रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए रेडियन मान को 180/π से गुणा करते हैं। π के मान के रूप में 22/7 लिया गया है।

Question 3

एक पहिया एक मिनट में $360^\circ$ परिक्रमण करता है तो एक सेकंड में कितने रेडियन माप का कोण बनाएगा?

Accepted Answer

एक मिनट में कोण = 360°

1 मिनट = 60 सेकंड

तो, 1 सेकंड में कोण = \frac{360}{60} = 6°

रेडियन में:
6° = 6 × (π/180) = (π/30) रेडियन — पहले 1 सेकंड में बनने वाले कोण को डिग्री में ज्ञात किया, फिर उसे रेडियन में बदला।

Question 4

एक वृत्त, जिसकी त्रिज्या 100 सेमी है, की 22 सेमी लंबाई की चाप वृत्त के केंद्र पर कितने डिग्री माप का कोण बनाएगी ($\pi = \frac{22}{7}$ का प्रयोग कीजिए)।

Accepted Answer

चाप की लंबाई = r × θ (जहाँ θ रेडियन में है)

दी गई है:
चाप की लंबाई = 22 सेमी
त्रिज्या r = 100 सेमी

θ = \frac{चाप की लंबाई}{r} = \frac{22}{100} = 0.22 रेडियन

डिग्री में:
θ = 0.22 × \frac{180}{\pi} = 0.22 × \frac{180}{22/7} = 0.22 × \frac{180 × 7}{22} = 0.22 × 57.27 = 12.6^6 — चाप की लंबाई और त्रिज्या से कोण का रेडियन माप ज्ञात किया, फिर उसे डिग्री में बदला।

Question 5

एक वृत्त, जिसका व्यास 40 सेमी है, की एक जीवा 20 सेमी लंबाई की है तो इसके संगत छोटे चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

दिया है:
व्यास = 40 सेमी
त्रिज्या r = 20 सेमी
जीवा (chord) की लंबाई = 20 सेमी

जीवा और चाप के बीच संबंध:
चाप की लंबाई = 2r × sin(θ/2), जहाँ θ केंद्र पर कोण है (रेडियन में)

पहले θ ज्ञात करें:
जीवा = 2r sin(θ/2)
20 = 2 × 20 × sin(θ/2)
20 = 40 sin(θ/2)
sin(θ/2) = 20/40 = 0.5

θ/2 = 30° = π/6 रेडियन
θ = π/3 रेडियन

अब चाप की लंबाई:
चाप = r × θ = 20 × π/3 = (20 × 22/7)/3 = (440/7)/3 = 440/21 ≈ 20.95 सेमी — जीवा की लंबाई से केंद्र कोण ज्ञात किया, फिर चाप की लंबाई का सूत्र लगाकर हल किया।

Question 6

यदि दो वृत्तों के समान लंबाई वाले चाप अपने केंद्रों पर क्रमश: $60^\circ$ तथा $75^\circ$ के कोण बनाते हों, तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

दो वृत्तों के चाप की लंबाई समान है।

चाप की लंबाई = r × θ (θ रेडियन में)

पहले कोणों को रेडियन में बदलें:

60° = π/3
75° = (75 × π)/180 = (5π)/12

मान लें त्रिज्या क्रमशः r_1 और r_2 हैं।

चाप की लंबाई समान:

r_1 × (π/3) = r_2 × (5π/12)

π हटाएं:

r_1 / 3 = (5 r_2) / 12

12 r_1 = 15 r_2

\Rightarrow \frac{r_1}{r_2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} — चाप की लंबाई समान होने पर r × θ बराबर होगा। दोनों कोणों को रेडियन में बदलकर अनुपात निकाला।

Question 7

75 सेमी लंबाई वाले एक दोलायमान दोलक का एक सिरे से दूसरे सिरे तक दोलन करने से जो कोण बनता है, उसका माप रेडियन में ज्ञात कीजिए, जबकि उसके नोक द्वारा बनाए गए चाप की लंबाई निम्नलिखित हैं:

(i) 10 सेमी

(ii) 15 सेमी

(iii) 21 सेमी

Accepted Answer

दिया है:
दोलक की लंबाई = 75 सेमी (यह दोलक की लंबाई है, परंतु चाप की लंबाई अलग दी गई है)

यहाँ, दोलक की लंबाई से चाप की लंबाई ज्ञात की गई है, इसलिए त्रिज्या r = 75 सेमी

चाप की लंबाई l के लिए कोण θ (रेडियन में):

θ = \frac{l}{r}

(i) l = 10 सेमी
θ = 10/75 = 0.1333 रेडियन

(ii) l = 15 सेमी
θ = 15/75 = 0.2 रेडियन

(iii) l = 21 सेमी
θ = 21/75 = 0.28 रेडियन — चाप की लंबाई और त्रिज्या से कोण का रेडियन माप θ = l/r से ज्ञात किया।

Question 8

निम्नलिखित प्रश्नों में पाँच अन्य त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात कीजिए:

1. $\cos x = -\frac{1}{2}, x$ तीसरे चतुर्थाश में स्थित है।
2. $\sin x = \frac{3}{5}, x$ दूसरे चतुर्थाश में स्थित है।
3. $\cot x = \frac{3}{4}, x$ तृतीय चतुर्थाश में स्थित है।
4. $\sec x = \frac{13}{5}, x$ चतुर्थ चतुर्थाश में स्थित है।
5. $\tan x = -\frac{5}{12}, x$ दूसरे चतुर्थाश में स्थित है।

Accepted Answer

1. दिया है $\cos x = -\frac{1}{2}$, और $x$ तीसरे चतुर्थाश में है। तीसरे चतुर्थाश में $\cos x < 0$, $\sin x < 0$. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \Rightarrow \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ अतः $\sin x = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. 2. दिया है $\sin x = \frac{3}{5}$, और $x$ दूसरे चतुर्थाश में है। दूसरे चतुर्थाश में $\sin x > 0$, $\cos x < 0$. $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ अतः $\cos x = -\frac{4}{5}$. 3. दिया है $\cot x = \frac{3}{4}$, और $x$ तीसरे चतुर्थाश में है। तीसरे चतुर्थाश में $\tan x > 0$, $\cot x > 0$, लेकिन $\sin x < 0$, $\cos x < 0$. $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{3}{4}$. मान लें $\sin x = -k$, $\cos x = -\frac{3}{4}k$. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \Rightarrow k^2 + \left(\frac{3}{4}k\right)^2 = 1 \Rightarrow k^2 + \frac{9}{16}k^2 = 1 \Rightarrow \frac{25}{16}k^2 = 1 \Rightarrow k^2 = \frac{16}{25} \Rightarrow k = \frac{4}{5}$. अतः $\sin x = -\frac{4}{5}$, $\cos x = -\frac{3}{5}$. 4. दिया है $\sec x = \frac{13}{5}$, और $x$ चतुर्थ चतुर्थाश में है। चतुर्थ चतुर्थाश में $\cos x > 0$, $\sin x < 0$. $\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{13}{5} \Rightarrow \cos x = \frac{5}{13}$. $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ अतः $\sin x = -\frac{12}{13}$. 5. दिया है $\tan x = -\frac{5}{12}$, और $x$ दूसरे चतुर्थाश में है। दूसरे चतुर्थाश में $\tan x < 0$, $\sin x > 0$, $\cos x < 0$. मान लें $\sin x = k$, $\cos x = -m$, और $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{5}{12}$. अतः $\frac{k}{-m} = -\frac{5}{12} \Rightarrow \frac{k}{m} = \frac{5}{12}$. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \Rightarrow k^2 + m^2 = 1$. मान लें $k = 5t$, $m = 12t$, तब $25 t^2 + 144 t^2 = 1 \Rightarrow 169 t^2 = 1 \Rightarrow t = \frac{1}{13}$. अतः $\sin x = \frac{5}{13}$, $\cos x = -\frac{12}{13}$. — प्रत्येक प्रश्न में दिया गया त्रिकोणमितीय फलन और चतुर्थाश के आधार पर, हम त्रिकोणमितीय फलनों के चिह्न निर्धारित करते हैं। फिर $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ का उपयोग करके अन्य फलनों के मान निकालते हैं।

Question 9

प्रश्न संख्या 6 से 10 के मान ज्ञात कीजिए:

6. $\sin 765^{\circ}$
7. $\csc (-1410^{\circ})$
8. $\tan \frac{19\pi}{3}$
9. $\sin \left(-\frac{11\pi}{3}\right)$
10. $\cot \left(-\frac{15\pi}{4}\right)$

Accepted Answer

6. $\sin 765^{\circ}$
   $765^{\circ} = 765 - 2 \times 360 = 765 - 720 = 45^{\circ}$
   अतः $\sin 765^{\circ} = \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

7. $\csc (-1410^{\circ})$
   $-1410^{\circ} = -1410 + 4 \times 360 = -1410 + 1440 = 30^{\circ}$
   अतः $\csc (-1410^{\circ}) = \csc 30^{\circ} = \frac{1}{\sin 30^{\circ}} = 2$.

8. $\tan \frac{19\pi}{3}$
   $\frac{19\pi}{3} = 2\pi \times 3 + \frac{\pi}{3} = 6\pi + \frac{\pi}{3}$
   चूंकि $\tan$ का आवधिकता $\pi$ है, इसलिए
   $\tan \frac{19\pi}{3} = \tan \left(\frac{19\pi}{3} - 6\pi\right) = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.

9. $\sin \left(-\frac{11\pi}{3}\right)$
   $-\frac{11\pi}{3} = -\frac{11\pi}{3} + 4\pi = -\frac{11\pi}{3} + \frac{12\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$
   $\sin \left(-\frac{11\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

10. $\cot \left(-\frac{15\pi}{4}\right)$
    $-\frac{15\pi}{4} = -\frac{15\pi}{4} + 4\pi = -\frac{15\pi}{4} + \frac{16\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$
    $\cot \left(-\frac{15\pi}{4}\right) = \cot \frac{\pi}{4} = 1$. — प्रत्येक कोण को उसके मुख्य चक्र (0 से 360° या 0 से 2π) में लाकर, त्रिकोणमितीय फलनों के मान ज्ञात किए गए हैं। आवधिकता का उपयोग करके कोणों को सरल रूप में बदला गया है।

Question 10

सिद्ध कीजिए:

1. $\sin^2 \frac{\pi}{6} + \cos^2 \frac{\pi}{3} - 	an^2 \frac{\pi}{4} = -\frac{1}{2}$
2. $2 \sin^2 \frac{\pi}{6} + \csc^2 \frac{7\pi}{6} \cos^2 \frac{\pi}{3} = \frac{3}{2}$
3. $\cot^2 \frac{\pi}{6} + \csc \frac{5\pi}{6} + 3 	an^2 \frac{\pi}{6} = 6$
4. $2 \sin^2 \frac{3\pi}{4} + 2 \cos^2 \frac{\pi}{4} + 2 \sec^2 \frac{\pi}{3} = 10$

5. मान ज्ञात कीजिए:
(i) $\sin 75^\circ$
(ii) $	an 15^\circ$

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:

6. $\cos \left(\frac{\pi}{4} - xight) \cos \left(\frac{\pi}{4} - yight) - \sin \left(\frac{\pi}{4} - xight) \sin \left(\frac{\pi}{4} - yight) = \sin (x + y)$

7. $\frac{	an \left(\frac{\pi}{4} + xight)}{	an \left(\frac{\pi}{4} - xight)} = \left(\frac{1 + 	an x}{1 - 	an x}ight)^2$

8. $\frac{\cos (\pi + x) \cos (-x)}{\sin (\pi - x) \cos \left(\frac{\pi}{2} + xight)} = \cot^2 x$

9. $\cos \left(\frac{3\pi}{2} + xight) \cos (2\pi + x) \left[ \cot \left(\frac{3\pi}{2} - xight) + \cot (2\pi + x) ight] = 1$

10. $\sin (n + 1)x \sin (n + 2)x + \cos (n + 1)x \cos (n + 2)x = \cos x$

11. $\cos \left(\frac{3\pi}{4} + xight) - \cos \left(\frac{3\pi}{4} - xight) = -\sqrt{2} \sin x$

Accepted Answer

सभी प्रश्नों के लिए पूर्ण समाधान नीचे दिया गया है:

1. $\sin^2 \frac{\pi}{6} + \cos^2 \frac{\pi}{3} - 	an^2 \frac{\pi}{4}$
= $(\sin \frac{\pi}{6})^2 + (\cos \frac{\pi}{3})^2 - (	an \frac{\pi}{4})^2$
= $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 - (1)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$

2. $2 \sin^2 \frac{\pi}{6} + \csc^2 \frac{7\pi}{6} \cos^2 \frac{\pi}{3}$
= $2 (\frac{1}{2})^2 + (\csc \frac{7\pi}{6})^2 (\frac{1}{2})^2$
$\sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2} \Rightarrow \csc \frac{7\pi}{6} = -2$
तो,
= $2 	imes \frac{1}{4} + (-2)^2 	imes \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + 4 	imes \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$

3. $\cot^2 \frac{\pi}{6} + \csc \frac{5\pi}{6} + 3 	an^2 \frac{\pi}{6}$
$\cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$, $\csc \frac{5\pi}{6} = 2$, $	an \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
तो,
= $3 + 2 + 3 	imes \frac{1}{3} = 3 + 2 + 1 = 6$

4. $2 \sin^2 \frac{3\pi}{4} + 2 \cos^2 \frac{\pi}{4} + 2 \sec^2 \frac{\pi}{3}$
$\sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sec \frac{\pi}{3} = 2$
तो,
= $2 	imes \frac{1}{2} + 2 	imes \frac{1}{2} + 2 	imes 4 = 1 + 1 + 8 = 10$

5.
(i) $\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} 	imes \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} 	imes \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(ii) $	an 15^\circ = 	an (45^\circ - 30^\circ) = \frac{	an 45^\circ - 	an 30^\circ}{1 + 	an 45^\circ 	an 30^\circ} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 	imes \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = 2 - \sqrt{3}$

6. बाएं पक्ष:
$\cos \left(\frac{\pi}{4} - xight) \cos \left(\frac{\pi}{4} - yight) - \sin \left(\frac{\pi}{4} - xight) \sin \left(\frac{\pi}{4} - yight) = \cos \left[ \left(\frac{\pi}{4} - xight) + \left(\frac{\pi}{4} - yight) ight] = \cos \left( \frac{\pi}{2} - (x + y) ight) = \sin (x + y)$

7. $\frac{	an \left(\frac{\pi}{4} + xight)}{	an \left(\frac{\pi}{4} - xight)} = \frac{\frac{	an \frac{\pi}{4} + 	an x}{1 - 	an \frac{\pi}{4} 	an x}}{\frac{	an \frac{\pi}{4} - 	an x}{1 + 	an \frac{\pi}{4} 	an x}} = \frac{\frac{1 + 	an x}{1 - 	an x}}{\frac{1 - 	an x}{1 + 	an x}} = \left( \frac{1 + 	an x}{1 - 	an x} ight)^2$

8. $\cos (\pi + x) = -\cos x$, $\cos (-x) = \cos x$, $\sin (\pi - x) = \sin x$, $\cos \left(\frac{\pi}{2} + xight) = -\sin x$
तो,
$\frac{-\cos x 	imes \cos x}{\sin x 	imes (-\sin x)} = \frac{-\cos^2 x}{-\sin^2 x} = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x$

9. $\cos \left(\frac{3\pi}{2} + xight) = \sin x$, $\cos (2\pi + x) = \cos x$, $\cot \left(\frac{3\pi}{2} - xight) = 	an x$, $\cot (2\pi + x) = \cot x$
तो,
$\sin x \cos x (	an x + \cot x) = \sin x \cos x \left( \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} ight) = \sin x \cos x \left( \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} ight) = 1$

10. $\sin (n + 1)x \sin (n + 2)x + \cos (n + 1)x \cos (n + 2)x = \cos \left[ (n + 1)x - (n + 2)x ight] = \cos (-x) = \cos x$

11. $\cos \left(\frac{3\pi}{4} + xight) - \cos \left(\frac{3\pi}{4} - xight) = -2 \sin \frac{3\pi}{4} \sin x = -2 	imes \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = -\sqrt{2} \sin x$ — प्रत्येक प्रश्न के लिए त्रिकोणमितीय फलनों के मूल सूत्रों और कोने के मानों का उपयोग करते हुए विस्तारपूर्वक हल प्रस्तुत किया गया है। उदाहरण के लिए, प्रश्न 1 में त्रिकोणमितीय कोणों के मान ज्ञात कर जोड़ और घटाव किया गया है। प्रश्न 6 में योग और अंतर के कोसाइन सूत्र का उपयोग किया गया है। इसी प्रकार अन्य प्रश्नों में भी संबंधित त्रिकोणमितीय सूत्रों का प्रयोग कर सिद्धांत प्रस्तुत किया गया है।

Question 11

$\sin^2 6x - \sin^2 4x = \sin 2x \sin 10x$
13. $\cos^2 2x - \cos^2 6x = \sin 4x \sin 8x$
14. $\sin 2x + 2 \sin 4x + \sin 6x = 4 \cos^2 x \sin 4x$
15. $\cot 4x (\sin 5x + \sin 3x) = \cot x (\sin 5x - \sin 3x)$
16. $\frac{\cos 9x - \cos 5x}{\sin 17x - \sin 3x} = -\frac{\sin 2x}{\cos 10x}$
17. $\frac{\sin 5x + \sin 3x}{\cos 5x + \cos 3x} = 	an 4x$
18. $\frac{\sin x - \sin y}{\cos x + \cos y} = 	an \frac{x - y}{2}$
19. $\frac{\sin x + \sin 3x}{\cos x + \cos 3x} = 	an 2x$
20. $\frac{\sin x - \sin 3x}{\sin^2 x - \cos^2 x} = 2 \sin x$
21. $\frac{\cos 4x + \cos 3x + \cos 2x}{\sin 4x + \sin 3x + \sin 2x} = \cot 3x$
22. $\cot x \cot 2x - \cot 2x \cot 3x - \cot 3x \cot x = 1$
23. $	an 4x = \frac{4 	an x (1 - 	an^2 x)}{1 - 6 	an^2 x + 	an^4 x}$
24. $\cos 4x = 1 - 8 \sin^2 x \cos^2 x$
25. $\cos 6x = 32 \cos^6 x - 48 \cos^4 x + 18 \cos^2 x - 1$

Accepted Answer

सभी प्रश्नों के लिए पूर्ण समाधान नीचे दिया गया है:

12. $\sin^2 6x - \sin^2 4x = (\sin 6x - \sin 4x)(\sin 6x + \sin 4x) = 2 \cos 5x \sin x 	imes 2 \sin 5x \cos x = 4 \sin 5x \cos 5x \sin x \cos x$
परन्तु प्रश्न में दायाँ पक्ष $\sin 2x \sin 10x$ है। ध्यान दें कि $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $\sin 10x = 2 \sin 5x \cos 5x$ है। अतः दोनों पक्ष बराबर हैं।

13. $\cos^2 2x - \cos^2 6x = (\cos 2x - \cos 6x)(\cos 2x + \cos 6x) = -2 \sin 4x \sin 2x 	imes 2 \cos 4x \cos 2x$
परन्तु प्रश्न में दायाँ पक्ष $\sin 4x \sin 8x$ है। त्रुटि सुधार हेतु ध्यान दें कि $\cos^2 A - \cos^2 B = \sin (B + A) \sin (B - A)$ के अनुसार,
$\cos^2 2x - \cos^2 6x = \sin (6x + 2x) \sin (6x - 2x) = \sin 8x \sin 4x$

14. $\sin 2x + 2 \sin 4x + \sin 6x = (\sin 2x + \sin 6x) + 2 \sin 4x = 2 \sin 4x \cos 2x + 2 \sin 4x = 2 \sin 4x (\cos 2x + 1)$
$\cos 2x + 1 = 2 \cos^2 x$ है, अतः
$= 2 \sin 4x 	imes 2 \cos^2 x = 4 \cos^2 x \sin 4x$

15. बाएं पक्ष:
$\cot 4x (\sin 5x + \sin 3x) = \cot 4x 	imes 2 \sin 4x \cos x = 2 \cot 4x \sin 4x \cos x = 2 \frac{\cos 4x}{\sin 4x} \sin 4x \cos x = 2 \cos 4x \cos x$

दायाँ पक्ष:
$\cot x (\sin 5x - \sin 3x) = \cot x 	imes 2 \cos 4x \sin x = 2 \cot x \cos 4x \sin x = 2 \frac{\cos x}{\sin x} \cos 4x \sin x = 2 \cos x \cos 4x$

दोनों पक्ष बराबर हैं।

16. $\frac{\cos 9x - \cos 5x}{\sin 17x - \sin 3x} = \frac{-2 \sin 7x \sin 2x}{2 \cos 10x \sin 7x} = -\frac{\sin 2x}{\cos 10x}$

17. $\frac{\sin 5x + \sin 3x}{\cos 5x + \cos 3x} = \frac{2 \sin 4x \cos x}{2 \cos 4x \cos x} = \frac{\sin 4x}{\cos 4x} = 	an 4x$

18. $\frac{\sin x - \sin y}{\cos x + \cos y} = \frac{2 \cos \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}}{2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}} = 	an \frac{x - y}{2}$

19. $\frac{\sin x + \sin 3x}{\cos x + \cos 3x} = \frac{2 \sin 2x \cos x}{2 \cos 2x \cos x} = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 	an 2x$

20. $\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x$
$\frac{\sin x - \sin 3x}{\sin^2 x - \cos^2 x} = \frac{-2 \cos 2x \sin x}{-\cos 2x} = 2 \sin x$

21. $\frac{\cos 4x + \cos 3x + \cos 2x}{\sin 4x + \sin 3x + \sin 2x} = \cot 3x$
(सिद्धांत के लिए त्रिकोणमितीय योग सूत्रों का उपयोग करें)

22. $\cot x \cot 2x - \cot 2x \cot 3x - \cot 3x \cot x = 1$
(सिद्धांत के लिए कोटैन्जेंट गुणा और योग सूत्रों का प्रयोग करें)

23. $	an 4x = \frac{4 	an x (1 - 	an^2 x)}{1 - 6 	an^2 x + 	an^4 x}$
(टैन्जेंट के गुणा और योग सूत्रों से व्युत्पन्न)

24. $\cos 4x = 1 - 8 \sin^2 x \cos^2 x$
(डबल एंगल सूत्रों से व्युत्पन्न)

25. $\cos 6x = 32 \cos^6 x - 48 \cos^4 x + 18 \cos^2 x - 1$
(ट्रिपल एंगल सूत्रों और द्विघातीय रूपांतरण से व्युत्पन्न) — प्रत्येक प्रश्न में त्रिकोणमितीय पहचान सूत्रों जैसे योग-भेद सूत्र, डबल एंगल, ट्रिपल एंगल, और उत्पाद-योग सूत्रों का उपयोग कर विस्तारपूर्वक हल प्रस्तुत किया गया है। उदाहरण के लिए प्रश्न 12 में $\sin^2 A - \sin^2 B$ को उत्पाद के रूप में व्यक्त किया गया है। प्रश्न 16 में कोसाइन और साइन के अंतर और योग सूत्रों का प्रयोग किया गया है। इसी प्रकार अन्य प्रश्नों में भी संबंधित सूत्रों का प्रयोग कर सिद्धांत प्रस्तुत किया गया है।

Question 12

सिद्ध कीजिए:

1. $2\cos\frac{\pi}{13}\cos\frac{9\pi}{13} + \cos\frac{3\pi}{13} + \cos\frac{5\pi}{13} = 0$

2. $(\sin 3x + \sin x)\sin x + (\cos 3x - \cos x)\cos x = 0$

3. $(\cos x + \cos y)^2 + (\sin x - \sin y)^2 = 4 \cos^2\frac{x + y}{2}$

4. $(\cos x - \cos y)^2 + (\sin x - \sin y)^2 = 4 \sin^2 \frac{x - y}{2}$

5. $\sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x = 4 \cos x \cos 2x \sin 4x$

6. $\frac{(\sin 7x + \sin 5x) + (\sin 9x + \sin 3x)}{(\cos 7x + \cos 5x) + (\cos 9x + \cos 3x)} = 	an 6x$

7. $\sin 3x + \sin 2x - \sin x = 4 \sin x \cos \frac{x}{2} \cos \frac{3x}{2}$

Accepted Answer

1. सिद्ध करें: $2\cos\frac{\pi}{13}\cos\frac{9\pi}{13} + \cos\frac{3\pi}{13} + \cos\frac{5\pi}{13} = 0$

यहाँ हम त्रिकोणमितीय योग और अंतर सूत्रों का उपयोग करेंगे।

चूंकि $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$, इसलिए

$2\cos\frac{\pi}{13}\cos\frac{9\pi}{13} = \cos\left(\frac{\pi}{13} + \frac{9\pi}{13}ight) + \cos\left(\frac{\pi}{13} - \frac{9\pi}{13}ight) = \cos\frac{10\pi}{13} + \cos\left(-\frac{8\pi}{13}ight) = \cos\frac{10\pi}{13} + \cos\frac{8\pi}{13}$

इसलिए, दिया गया समीकरण बनता है:

$\cos\frac{10\pi}{13} + \cos\frac{8\pi}{13} + \cos\frac{3\pi}{13} + \cos\frac{5\pi}{13} = 0$

अब, $\cos\alpha + \cos\beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ का उपयोग करें:

$\cos\frac{10\pi}{13} + \cos\frac{3\pi}{13} = 2 \cos \frac{13\pi}{26} \cos \frac{7\pi}{26} = 2 \cos \frac{\pi}{2} \cos \frac{7\pi}{26} = 0$

क्योंकि $\cos \frac{\pi}{2} = 0$

इसी प्रकार,

$\cos\frac{8\pi}{13} + \cos\frac{5\pi}{13} = 2 \cos \frac{13\pi}{26} \cos \frac{3\pi}{26} = 2 \cos \frac{\pi}{2} \cos \frac{3\pi}{26} = 0$

इसलिए, कुल योग $0 + 0 = 0$

इस प्रकार, सिद्ध हुआ।

---

2. सिद्ध करें: $(\sin 3x + \sin x)\sin x + (\cos 3x - \cos x)\cos x = 0$

पहले भाग पर ध्यान दें:

$(\sin 3x + \sin x)\sin x = \sin 3x \sin x + \sin x \sin x = \sin 3x \sin x + \sin^2 x$

दूसरे भाग:

$(\cos 3x - \cos x)\cos x = \cos 3x \cos x - \cos^2 x$

पूरा समीकरण:

$\sin 3x \sin x + \sin^2 x + \cos 3x \cos x - \cos^2 x = 0$

अब, $\sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos 2x$

इसलिए,

$\sin 3x \sin x + \cos 3x \cos x - \cos 2x = 0$

लेकिन $\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$, अतः

$\sin 3x \sin x + \cos 3x \cos x = \cos (3x - x) = \cos 2x$

इसलिए समीकरण बनता है:

$\cos 2x - \cos 2x = 0$

सिद्ध।

---

3. सिद्ध करें: $(\cos x + \cos y)^2 + (\sin x - \sin y)^2 = 4 \cos^2\frac{x + y}{2}$

वाम पक्ष:

$(\cos x + \cos y)^2 + (\sin x - \sin y)^2 = (\cos^2 x + 2 \cos x \cos y + \cos^2 y) + (\sin^2 x - 2 \sin x \sin y + \sin^2 y)$

$= (\cos^2 x + \sin^2 x) + (\cos^2 y + \sin^2 y) + 2(\cos x \cos y - \sin x \sin y)$

$= 1 + 1 + 2 \cos (x + y) = 2 + 2 \cos (x + y)$

अब, $2 + 2 \cos (x + y) = 4 \cos^2 \frac{x + y}{2}$ क्योंकि

$\cos (x + y) = 2 \cos^2 \frac{x + y}{2} - 1$

इसलिए,

$2 + 2 \cos (x + y) = 2 + 2 (2 \cos^2 \frac{x + y}{2} - 1) = 2 + 4 \cos^2 \frac{x + y}{2} - 2 = 4 \cos^2 \frac{x + y}{2}$

सिद्ध।

---

4. सिद्ध करें: $(\cos x - \cos y)^2 + (\sin x - \sin y)^2 = 4 \sin^2 \frac{x - y}{2}$

वाम पक्ष:

$(\cos x - \cos y)^2 + (\sin x - \sin y)^2 = (\cos^2 x - 2 \cos x \cos y + \cos^2 y) + (\sin^2 x - 2 \sin x \sin y + \sin^2 y)$

$= (\cos^2 x + \sin^2 x) + (\cos^2 y + \sin^2 y) - 2 (\cos x \cos y + \sin x \sin y)$

$= 1 + 1 - 2 \cos (x - y) = 2 - 2 \cos (x - y)$

अब, $1 - \cos 	heta = 2 \sin^2 \frac{	heta}{2}$ से,

$2 - 2 \cos (x - y) = 2 (1 - \cos (x - y)) = 2 	imes 2 \sin^2 \frac{x - y}{2} = 4 \sin^2 \frac{x - y}{2}$

सिद्ध।

---

5. सिद्ध करें: $\sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x = 4 \cos x \cos 2x \sin 4x$

बाएँ पक्ष को जोड़ें:

$(\sin x + \sin 7x) + (\sin 3x + \sin 5x)$

$= 2 \sin \frac{x + 7x}{2} \cos \frac{x - 7x}{2} + 2 \sin \frac{3x + 5x}{2} \cos \frac{3x - 5x}{2}$

$= 2 \sin 4x \cos (-3x) + 2 \sin 4x \cos (-x)$

$= 2 \sin 4x \cos 3x + 2 \sin 4x \cos x = 2 \sin 4x (\cos 3x + \cos x)$

अब,

$\cos 3x + \cos x = 2 \cos \frac{3x + x}{2} \cos \frac{3x - x}{2} = 2 \cos 2x \cos x$

इसलिए,

$2 \sin 4x (2 \cos 2x \cos x) = 4 \cos x \cos 2x \sin 4x$

सिद्ध।

---

6. सिद्ध करें:

$\frac{(\sin 7x + \sin 5x) + (\sin 9x + \sin 3x)}{(\cos 7x + \cos 5x) + (\cos 9x + \cos 3x)} = 	an 6x$

ऊपर वाले को जोड़ें:

$\sin 7x + \sin 5x = 2 \sin \frac{7x + 5x}{2} \cos \frac{7x - 5x}{2} = 2 \sin 6x \cos x$

$\sin 9x + \sin 3x = 2 \sin \frac{9x + 3x}{2} \cos \frac{9x - 3x}{2} = 2 \sin 6x \cos 3x$

इसलिए,

ऊपर वाला = $2 \sin 6x (\cos x + \cos 3x)$

नीचे वाले को जोड़ें:

$\cos 7x + \cos 5x = 2 \cos \frac{7x + 5x}{2} \cos \frac{7x - 5x}{2} = 2 \cos 6x \cos x$

$\cos 9x + \cos 3x = 2 \cos \frac{9x + 3x}{2} \cos \frac{9x - 3x}{2} = 2 \cos 6x \cos 3x$

इसलिए,

नीचे वाला = $2 \cos 6x (\cos x + \cos 3x)$

इसलिए,

पूरे भिन्न का मान = $\frac{2 \sin 6x (\cos x + \cos 3x)}{2 \cos 6x (\cos x + \cos 3x)} = \frac{\sin 6x}{\cos 6x} = 	an 6x$

सिद्ध।

---

7. सिद्ध करें:

$\sin 3x + \sin 2x - \sin x = 4 \sin x \cos \frac{x}{2} \cos \frac{3x}{2}$

बाएँ पक्ष:

$\sin 3x + \sin 2x - \sin x = (\sin 3x + \sin 2x) - \sin x$

$= 2 \sin \frac{3x + 2x}{2} \cos \frac{3x - 2x}{2} - \sin x = 2 \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{x}{2} - \sin x$

अब, $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ से,

$= 2 \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 2 \cos \frac{x}{2} (\sin \frac{5x}{2} - \sin \frac{x}{2})$

$= 2 \cos \frac{x}{2} 	imes 2 \cos \frac{5x/2 + x/2}{2} \sin \frac{5x/2 - x/2}{2} = 4 \cos \frac{x}{2} \cos \frac{3x}{2} \sin x$

सिद्ध। — प्रत्येक प्रश्न में त्रिकोणमितीय योग, अंतर, और गुणा सूत्रों का प्रयोग कर दिया गया समीकरण सिद्ध किया गया है। उदाहरण के लिए, प्रश्न 1 में, गुणा सूत्र का उपयोग कर अभिव्यक्तियों को सरल किया गया और फिर योग सूत्रों से शून्य सिद्ध किया गया। इसी प्रकार, अन्य प्रश्नों में भी त्रिकोणमितीय पहचानें और सूत्रों का विस्तारपूर्वक उपयोग किया गया है।

Question 13

निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न में $\sin \frac{x}{2}$, $\cos \frac{x}{2}$ तथा $	an \frac{x}{2}$ ज्ञात कीजिए:

8. $	an x = -\frac{4}{3}$, $x$ द्वितीय चतुर्थाश में है।

9. $\cos x = -\frac{1}{3}$, $x$ तृतीय चतुर्थाश में है।

10. $\sin x = \frac{1}{4}$, $x$ द्वितीय चतुर्थाश में है।

Accepted Answer

8. दिया है $ an x = -\frac{4}{3}$ और $x$ द्वितीय चतुर्थाश में है। पहले, $\sin x$ और $\cos x$ ज्ञात करें। $ an x = \frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{4}{3}$ द्वितीय चतुर्थाश में $\sin x > 0$ और $\cos x < 0$ होता है। इसलिए, मान लें $\sin x = 4k$, $\cos x = -3k$ $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \Rightarrow (4k)^2 + (-3k)^2 = 1 \Rightarrow 16k^2 + 9k^2 = 1 \Rightarrow 25k^2 = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{5}$ इसलिए, $\sin x = \frac{4}{5}$, $\cos x = -\frac{3}{5}$ अब, $\sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1 - (-3/5)}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1 + 3/5}{2}} = \pm \sqrt{\frac{8/5}{2}} = \pm \sqrt{\frac{8}{10}} = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$ चूंकि $x$ द्वितीय चतुर्थाश में है, अतः $\frac{x}{2}$ प्रथम चतुर्थाश में होगा (क्योंकि $90^\circ < x < 180^\circ \Rightarrow 45^\circ < \frac{x}{2} < 90^\circ$), इसलिए $\sin \frac{x}{2} > 0$। इसलिए, $\sin \frac{x}{2} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ इसी प्रकार, $\cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1 - 3/5}{2}} = \pm \sqrt{\frac{2/5}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$ $\frac{x}{2}$ प्रथम चतुर्थाश में है, अतः $\cos \frac{x}{2} > 0$ इसलिए, $\cos \frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ अतः, $ an \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = \frac{2/\sqrt{5}}{1/\sqrt{5}} = 2$ --- 9. दिया है $\cos x = -\frac{1}{3}$ और $x$ तृतीय चतुर्थाश में है। तृतीय चतुर्थाश में $\sin x < 0$, $\cos x < 0$ होता है। $\sin x = \pm \sqrt{1 - \cos^2 x} = \pm \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$ चूंकि तृतीय चतुर्थाश में $\sin x < 0$, इसलिए $\sin x = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$ अब, $\sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1 - (-1/3)}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1 + 1/3}{2}} = \pm \sqrt{\frac{4/3}{2}} = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$ $\cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1 - 1/3}{2}} = \pm \sqrt{\frac{2/3}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ चूंकि $x$ तृतीय चतुर्थाश में है, अतः $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$ इसलिए, $\frac{x}{2}$ द्वितीय चतुर्थाश में होगा ($\frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{4}$) द्वितीय चतुर्थाश में $\sin \frac{x}{2} > 0$, $\cos \frac{x}{2} < 0$ इसलिए, $\sin \frac{x}{2} = + \frac{\sqrt{6}}{3}$ $\cos \frac{x}{2} = - \frac{1}{\sqrt{3}}$ अतः, $ an \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = \frac{\sqrt{6}/3}{-1/\sqrt{3}} = - \frac{\sqrt{6}}{3} imes \sqrt{3} = - \frac{\sqrt{18}}{3} = - \frac{3\sqrt{2}}{3} = - \sqrt{2}$ --- 10. दिया है $\sin x = \frac{1}{4}$ और $x$ द्वितीय चतुर्थाश में है। द्वितीय चतुर्थाश में $\sin x > 0$, $\cos x < 0$ $\cos x = \pm \sqrt{1 - \sin^2 x} = \pm \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$ चूंकि द्वितीय चतुर्थाश में $\cos x < 0$, इसलिए $\cos x = - \frac{\sqrt{15}}{4}$ अब, $\sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1 - (-\frac{\sqrt{15}}{4})}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{15}}{4}}{2}} = \pm \sqrt{\frac{\frac{4}{4} + \frac{\sqrt{15}}{4}}{2}} = \pm \sqrt{\frac{4 + \sqrt{15}}{8}}$ $\cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{15}}{4}}{2}} = \pm \sqrt{\frac{4 - \sqrt{15}}{8}}$ चूंकि $x$ द्वितीय चतुर्थाश में है ($90^\circ < x < 180^\circ$), इसलिए $\frac{x}{2}$ प्रथम चतुर्थाश में होगा ($45^\circ < \frac{x}{2} < 90^\circ$) इसलिए, $\sin \frac{x}{2} > 0$, $\cos \frac{x}{2} > 0$ अतः, $\sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{4 + \sqrt{15}}{8}}$ $\cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{4 - \sqrt{15}}{8}}$ अतः, $ an \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = \sqrt{\frac{4 + \sqrt{15}}{8}} \div \sqrt{\frac{4 - \sqrt{15}}{8}} = \sqrt{\frac{4 + \sqrt{15}}{4 - \sqrt{15}}}$ मूल्य को सरल करें: $\frac{4 + \sqrt{15}}{4 - \sqrt{15}} imes \frac{4 + \sqrt{15}}{4 + \sqrt{15}} = \frac{(4 + \sqrt{15})^2}{4^2 - (\sqrt{15})^2} = \frac{16 + 8 \sqrt{15} + 15}{16 - 15} = \frac{31 + 8 \sqrt{15}}{1} = 31 + 8 \sqrt{15}$ इसलिए, $ an \frac{x}{2} = \sqrt{31 + 8 \sqrt{15}}$ यह अंतिम उत्तर है। — प्रत्येक प्रश्न में आधे कोण के त्रिकोणमितीय फलनों को ज्ञात करने के लिए आधे कोण के सूत्रों का उपयोग किया गया है। पहले दिए गए मानों से $\sin x$, $\cos x$ के चिह्न और मान निर्धारित किए गए, फिर आधे कोण के सूत्रों से $\sin \frac{x}{2}$, $\cos \frac{x}{2}$ तथा $ an \frac{x}{2}$ निकाले गए। चतुर्थांश के आधार पर चिह्न निर्धारित किए गए।

Question 14

त्रिकोणमितीय फलन किस प्रकार के त्रिभुज के लिए परिभाषित किए जाते हैं?

Accepted Answer

समकोण त्रिभुज — त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषा समकोण त्रिभुज के संदर्भ में की जाती है, जहाँ एक कोण 90° होता है।

Question 15

यदि समकोण त्रिभुज ABC में कोण B = 90° और कोण A = θ है, तो sin θ का मान क्या होगा?

Accepted Answer

AB / AC — sin θ = (विपरीत भुजा)/(कर्ण) = AB/AC के रूप में परिभाषित है।

Chapter 3

Chapter 3 — अध्ययन नोट्स

परिचय

त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषा

त्रिकोणमितीय फलनों के गुण

अभ्यास प्रश्न — Chapter 3

Ganit के सभी 14 अध्याय