Question 1

एक पासा फेंका जाता है। मान लीजिए घटना E 'पासे पर संख्या 4 दर्शाता' है और घटना F 'पासे पर सम संख्या दर्शाता' है। क्या E और F परस्पर अपवर्जी हैं?

Accepted Answer

E घटना पासे पर संख्या 4 दर्शाती है, जो कि एक सम संख्या है। F घटना पासे पर सम संख्या दर्शाती है। अतः E और F के बीच E ⊆ F है। इसलिए E और F परस्पर अपवर्जी नहीं हैं क्योंकि E और F का अंतःस्थ (intersection) खाली सेट नहीं है। — परस्पर अपवर्जी घटनाएँ वे होती हैं जिनका कोई सामान्य परिणाम न हो। यहाँ E = {4} और F = {2,4,6} हैं। E ∩ F = {4} ≠ ∅, अतः परस्पर अपवर्जी नहीं।

Question 2

एक पासा फेंका जाता है। निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए:
(i) A: संख्या 7 से कम है।
(ii) B: संख्या 7 से बड़ी है।
(iii) C: संख्या 3 का गुणज है।
(iv) D: संख्या 4 से कम है।
(v) E: 4 से बड़ी सम संख्या है।
(vi) F: संख्या 3 से कम नहीं है।
A ∪ B, A ∩ B, B ∪ C, E ∩ F, D ∩ E, A – C, D – E, E ∩ F, F' भी ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

पहले पासे के संभावित परिणाम: {1,2,3,4,5,6}
(i) A: संख्या 7 से कम है = {1,2,3,4,5,6}
(ii) B: संख्या 7 से बड़ी है = ∅ (क्योंकि पासे पर 7 से बड़ी संख्या नहीं)
(iii) C: संख्या 3 का गुणज है = {3,6}
(iv) D: संख्या 4 से कम है = {1,2,3}
(v) E: 4 से बड़ी सम संख्या है = {6}
(vi) F: संख्या 3 से कम नहीं है = {3,4,5,6}
अब,
A ∪ B = A ∪ ∅ = A = {1,2,3,4,5,6}
A ∩ B = A ∩ ∅ = ∅
B ∪ C = ∅ ∪ {3,6} = {3,6}
E ∩ F = {6} ∩ {3,4,5,6} = {6}
D ∩ E = {1,2,3} ∩ {6} = ∅
A – C = A ackslash C = {1,2,3,4,5,6} ackslash {3,6} = {1,2,4,5}
D – E = {1,2,3} ackslash {6} = {1,2,3}
F' = S ackslash F = {1,2,3,4,5,6} ackslash {3,4,5,6} = {1,2}
अतः सभी घटनाएँ ज्ञात हो गईं। — प्रत्येक घटना को पासे के संभावित परिणामों के आधार पर सेट के रूप में लिखा गया। फिर सेट के संघ, छेद, अंतर आदि का उपयोग कर परिणाम निकाले गए।

Question 3

एक परीक्षण में पासे के एक जोड़े को फेंकते हैं और उन पर प्रकट संख्याओं को लिखते हैं। निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए:
A: प्राप्त संख्याओं का योग 8 से अधिक है।
B: दोनों पासों पर संख्या 2 प्रकट होती है।
C: प्रकट संख्याओं का योग कम से कम 7 है और 3 का गुणज है।
इन घटनाओं के कौन-कौन से युग्म परस्पर अपवर्जी हैं?

Accepted Answer

पासों के संभावित परिणामों का समष्टि S = {(i,j) | i,j = 1 से 6}
घटनाएँ:
A: योग > 8
संभव योग: 9,10,11,12
A = {(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
B: दोनों पासों पर 2
B = {(2,2)}
C: योग ≥ 7 और 3 का गुणज
योग के गुणज जो ≥7 हैं: 9,12
C = {(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(6,6)}
अब,
A ∩ B = ∅ क्योंकि B में (2,2) है जिसका योग 4 है जो A में नहीं
A ∩ C ≠ ∅ क्योंकि (3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(6,6) सभी A में हैं
B ∩ C = ∅ क्योंकि (2,2) का योग 4 है जो C में नहीं
अतः परस्पर अपवर्जी युग्म हैं: (A,B) और (B,C)
(A,C) परस्पर अपवर्जी नहीं हैं। — घटनाओं के सेट बनाकर उनके अंतःस्थ (intersection) की जाँच की गई। यदि intersection खाली है तो वे परस्पर अपवर्जी हैं।

Question 4

तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है। मान लीजिए कि घटना 'तीन चित्त दिखना' को A से, घटना 'दो चित्त और एक पट्ट दिखना' को B से, घटना 'तीन पट्ट दिखना' को C और घटना 'पहले सिक्के पर चित्त दिखना' को D से निरूपित किया गया है। बताइए कि इनमें से कौन सी घटनाएँ (i) परस्पर अपवर्जी हैं? (ii) सरल हैं? (iii) मिश्र हैं?

Accepted Answer

(i) परस्पर अपवर्जी घटनाएँ:
A = {HHH}
B = {HHT, HTH, THH}
C = {TTT}
A और C परस्पर अपवर्जी हैं क्योंकि A ∩ C = ∅
A और B भी परस्पर अपवर्जी हैं क्योंकि A ∩ B = ∅
B और C भी परस्पर अपवर्जी हैं क्योंकि B ∩ C = ∅
(ii) सरल घटनाएँ:
सरल घटना वह होती है जिसमें केवल एक परिणाम होता है।
A (तीन चित्त) सरल है क्योंकि इसमें केवल HHH है।
C (तीन पट्ट) सरल है क्योंकि इसमें केवल TTT है।
D (पहले सिक्के पर चित्त) मिश्र है क्योंकि इसमें कई परिणाम हैं जैसे HHH, HHT, HTH, HTT
(iii) मिश्र घटनाएँ:
B (दो चित्त और एक पट्ट) मिश्र है क्योंकि इसमें तीन परिणाम हैं।
D (पहले सिक्के पर चित्त) मिश्र है क्योंकि इसमें चार परिणाम हैं। — घटनाओं के परिणामों के आधार पर उनके प्रकार और परस्पर संबंध निर्धारित किए गए। सरल घटना में एक ही परिणाम होता है, मिश्र में कई। परस्पर अपवर्जी घटनाओं का कोई साझा परिणाम नहीं होता।

Question 5

तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। वर्णन कीजिए।
(i) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं।
(ii) तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं।
(iii) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।
(iv) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं किंतु निःशेष नहीं हैं।
(v) तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं किंतु निःशेष नहीं हैं।

Accepted Answer

(i) दो परस्पर अपवर्जी घटनाएँ:
A = 'तीन चित्त' = {HHH}
C = 'तीन पट्ट' = {TTT}
A ∩ C = ∅
(ii) तीन परस्पर अपवर्जी और निःशेष घटनाएँ:
A = {HHH}
B = {HHT, HTH, THH}
C = {HTT, THT, TTH, TTT}
ये तीनों घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं और उनका संघ पूरा नमूना स्थान है।
(iii) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी नहीं हैं:
D = 'पहले सिक्के पर चित्त' = {HHH, HHT, HTH, HTT}
E = 'दूसरे सिक्के पर चित्त' = {HHH, HHT, THT, TTH}
D ∩ E ≠ ∅ (जैसे HHH, HHT)
(iv) दो परस्पर अपवर्जी किंतु निःशेष नहीं:
F = 'तीन चित्त' = {HHH}
G = 'दो चित्त और एक पट्ट' = {HHT, HTH, THH}
F ∩ G = ∅ लेकिन F ∪ G ≠ पूरा नमूना स्थान
(v) तीन परस्पर अपवर्जी किंतु निःशेष नहीं:
A = {HHH}
B = {HHT, HTH, THH}
D = {HHH, HHT, HTH, HTT}
यहाँ A और B परस्पर अपवर्जी हैं, लेकिन D में A और B दोनों के परिणाम हैं, इसलिए ये तीनों परस्पर अपवर्जी नहीं हैं। — घटनाओं के परिणामों के आधार पर उनके परस्पर संबंध और निःशेषता की जाँच की गई।

Question 6

दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं:
A: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना
B: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना
C: पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग ≤ 5 होना
निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए:
(i) A'
(ii) B - नहीं
(iii) A या B
(iv) A और B
(v) A किंतु C नहीं
(vi) B या C
(vii) B और C
(viii) A ∩ B' ∩ C'

Accepted Answer

पासों के संभावित परिणाम: S = {(i,j) | i,j = 1 से 6}
A: पहले पासे पर सम संख्या = {2,4,6} × {1..6}
B: पहले पासे पर विषम संख्या = {1,3,5} × {1..6}
C: योग ≤ 5
C = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)}
(i) A' = A का पूरक = S ackslash A = {1,3,5} × {1..6} = B
(ii) B - नहीं = B' = S ackslash B = A
(iii) A या B = A ∪ B = पूरा नमूना स्थान S
(iv) A और B = A ∩ B = ∅ (पहला पासा सम और विषम एक साथ नहीं हो सकता)
(v) A किंतु C नहीं = A ∩ C' = A ackslash C
पहले पासे पर सम संख्या और योग ≤ 5 नहीं
(vi) B या C = B ∪ C
(vii) B और C = B ∩ C
(viii) A ∩ B' ∩ C' = A ∩ (S ackslash B) ∩ (S ackslash C) = A ∩ A ∩ C' = A ∩ C'
अर्थात् पहले पासे पर सम संख्या और योग ≤ 5 नहीं होना। — घटनाओं के सेट बनाकर उनके पूरक, संघ, छेद आदि निकाले गए।

Question 7

उपर्युक्त प्रश्न 6 को देखिए और निम्नलिखित में सत्य या असत्य बताइए (अपने उत्तर का कारण दीजिए):
(i) A और B परस्पर अपवर्जी हैं।
(ii) A और B परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं।
(iii) A = B'
(iv) A और C परस्पर अपवर्जी हैं।
(v) A और B' परस्पर अपवर्जी हैं।
(vi) A', B', C परस्पर अपवर्जी और निःशेष घटनाएँ हैं।

Accepted Answer

(i) सत्य: A और B परस्पर अपवर्जी हैं क्योंकि पहले पासे पर एक संख्या सम और विषम दोनों नहीं हो सकती।
(ii) असत्य: परस्पर अपवर्जी तो हैं, लेकिन निःशेष नहीं क्योंकि A ∪ B = S है, अतः निःशेष हैं। (यहाँ प्रश्न में निःशेष का अर्थ पूरा नमूना स्थान होना है)
(iii) सत्य: A = B' क्योंकि B = पहले पासे पर विषम संख्या, A = पहले पासे पर सम संख्या, ये पूरक हैं।
(iv) असत्य: A और C परस्पर अपवर्जी नहीं हैं क्योंकि कुछ परिणाम ऐसे हैं जो दोनों में हैं (जैसे (2,1), (2,2) आदि जहाँ पहले पासे पर सम संख्या और योग ≤ 5 है)।
(v) असत्य: B' = A, अतः A और B' समान हैं, इसलिए परस्पर अपवर्जी नहीं।
(vi) असत्य: A', B', C परस्पर अपवर्जी नहीं हैं क्योंकि A' = B, B' = A, और C के बीच कुछ ओवरलैप है। — घटनाओं के परस्पर संबंधों का विश्लेषण कर सत्य/असत्य निर्धारित किया गया।

Question 8

प्रतिदर्श समष्टि $S = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6, \omega_7\}$ के परिणामों के लिए निम्नलिखित में से कौन से प्रायिकता निर्धारण वैध नहीं है:

|  परिणाम | $\omega_1$ | $\omega_2$ | $\omega_3$ | $\omega_4$ | $\omega_5$ | $\omega_6$ | $\omega_7$  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  (a) | 0.1 | 0.01 | 0.05 | 0.03 | 0.01 | 0.2 | 0.6  |
|  (b) | $\frac{1}{7}$ | $\frac{1}{7}$ | $\frac{1}{7}$ | $\frac{1}{7}$ | $\frac{1}{7}$ | $\frac{1}{7}$ | $\frac{1}{7}$  |
|  (c) | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7  |
|  (d) | -0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | -0.2 | 0.1 | 0.3  |
|  (e) | $\frac{1}{14}$ | $\frac{2}{14}$ | $\frac{3}{14}$ | $\frac{4}{14}$ | $\frac{5}{14}$ | $\frac{6}{14}$ | $\frac{15}{14}$  |

Accepted Answer

वैध प्रायिकता निर्धारण के लिए सभी प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होनी चाहिए और उनका योग 1 होना चाहिए।

(a) योग = 0.1 + 0.01 + 0.05 + 0.03 + 0.01 + 0.2 + 0.6 = 1.0 → वैध
(b) सभी 1/7 हैं, योग = 7 × 1/7 = 1 → वैध
(c) योग = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.6 + 0.7 = 2.8 > 1 → अवैध
(d) प्रायिकता में नकारात्मक मान (-0.1, -0.2) हैं → अवैध
(e) योग = (1+2+3+4+5+6+15)/14 = 36/14 > 1 → अवैध

इस प्रकार (c), (d), और (e) अवैध हैं। — प्रायिकता के नियम:
1) प्रत्येक प्रायिकता 0 ≤ P(ω) ≤ 1 होनी चाहिए।
2) सभी प्रायिकताओं का योग 1 होना चाहिए।

(c) में योग 2.8 है जो 1 से अधिक है।
(d) में नकारात्मक प्रायिकताएँ हैं जो अस्वीकार्य हैं।
(e) में योग 36/14 = 2.57 है जो 1 से अधिक है। इसलिए ये तीनों अवैध हैं।

Question 9

एक सिक्का दो बार उछाला जाता है। कम से कम एक पट् प्राप्त होने की क्या प्रायिकता है?

Accepted Answer

सिक्का दो बार उछालने पर कुल परिणाम = 2^2 = 4: {HH, HT, TH, TT}
कम से कम एक पट् प्राप्त होने की प्रायिकता = 1 - (कोई भी पट् न आए) की प्रायिकता
कोई भी पट् न आने की प्रायिकता = P(HH) = 1/4
इसलिए, P(कम से कम एक पट्) = 1 - 1/4 = 3/4 — कम से कम एक पट् का अर्थ है कि या तो पहली बार पट् आए या दूसरी बार या दोनों बार। इसके विपरीत, कोई भी पट् न आने का मतलब दोनों बार चित्त आना है। इसलिए कुल प्रायिकता 1 से दोनों बार चित्त आने की प्रायिकता घटा देते हैं।

Question 10

एक पासा फेंका जाता है। निम्नलिखित घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
(i) एक अभाज्य संख्या प्रकट होना
(ii) 3 या 3 से बड़ी संख्या प्रकट होना
(iii) 1 या 1 से छोटी संख्या प्रकट होना
(iv) छ: से बड़ी संख्या प्रकट होना
(v) छ: से छोटी संख्या प्रकट होना

Accepted Answer

(i) अभाज्य संख्याएँ पासे पर: 2, 3, 5
प्रायिकता = 3/6 = 1/2

(ii) 3 या 3 से बड़ी संख्या: 3,4,5,6
प्रायिकता = 4/6 = 2/3

(iii) 1 या 1 से छोटी संख्या: केवल 1
प्रायिकता = 1/6

(iv) 6 से बड़ी संख्या: पासे पर ऐसी कोई संख्या नहीं
प्रायिकता = 0

(v) 6 से छोटी संख्या: 1,2,3,4,5
प्रायिकता = 5/6 — पासे के परिणाम 1 से 6 तक हैं। प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता 1/6 है। उपरोक्त घटनाओं के लिए उपयुक्त परिणामों की संख्या निकालकर कुल परिणाम 6 से भाग देते हैं।

Question 11

ताश की गड्ढी के 52 पत्तों में से एक पत्ता यादृच्छ्या निकाला गया है।
(a) प्रतिदर्श समष्टि में कितने बिंदु हैं?
(b) पत्ते का हुकुम का इक्का होने की प्रायिकता क्या है?
(c) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पत्ता (i) इक्का है (ii) काले रंग का है।

Accepted Answer

(a) कुल पत्ते = 52 → प्रतिदर्श समष्टि के बिंदु = 52

(b) हुकुम का इक्का = हुकुम का एक ही पत्ता (Ace of Hearts)
प्रायिकता = 1/52

(c)(i) इक्का (Ace) के कुल पत्ते 4 हैं (एक हर रंग में)
प्रायिकता = 4/52 = 1/13

(c)(ii) काले रंग के पत्ते 26 हैं (स्पेड और क्लब)
प्रायिकता = 26/52 = 1/2 — ताश के पत्तों की कुल संख्या 52 होती है। प्रत्येक पत्ता समान संभावना से चुना जाता है। इसलिए प्रायिकता = (इच्छित पत्तों की संख्या)/(कुल पत्ते)।

Question 12

एक अनभिनत (unbiased) सिक्का जिसके एक तल पर 1 और दूसरे तल पर 6 अंकित है तथा एक अनभिनत पासा दोनों को उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि प्रकट संख्याओं का योग (i) 3 है। (ii) 12 है।

Accepted Answer

सिक्के के दो परिणाम: 1 या 6
पासे के परिणाम: 1 से 6

(i) योग = 3
संभव योग के लिए:
- सिक्का 1, पासा 2 → योग 3
- सिक्का 6, पासा - (नहीं हो सकता क्योंकि पासा 1-6)
इसलिए केवल (1,2) संभव
प्रायिकता = P(सिक्का=1) × P(पासा=2) = (1/2) × (1/6) = 1/12

(ii) योग = 12
संभव योग:
- सिक्का 6, पासा 6 → योग 12
- सिक्का 1, पासा 11 (नहीं संभव)
प्रायिकता = (1/2) × (1/6) = 1/12 — दो स्वतंत्र घटनाओं की संयुक्त प्रायिकता उनके व्यक्तिगत प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होती है।

Question 13

नगर परिषद् में चार पुरुष व छ: स्त्रियाँ हैं। यदि एक समिति के लिए यादृच्छ्या एक परिषद् सदस्य चुना गया है तो एक स्त्री के चुने जाने की कितनी संभावना है?

Accepted Answer

कुल सदस्य = 4 पुरुष + 6 स्त्रियाँ = 10
स्त्री चुने जाने की प्रायिकता = 6/10 = 3/5 — प्रायिकता = (इच्छित परिणाम की संख्या) / (कुल परिणाम की संख्या)। यहाँ स्त्री सदस्य की संख्या 6 है और कुल सदस्य 10 हैं।

Question 14

एक अनभिनत सिक्के को चार बार उछाला जाता है और एक व्यक्ति प्रत्येक चित्त पर एक रू जीतता है और प्रत्येक पट् पर 1.50 रू हारता है। इस परीक्षण के प्रतिदर्श समष्टि से ज्ञात कीजिए कि आप चार उछालों में कितनी विभिन्न राशियाँ प्राप्त कर सकते हैं। साथ ही इन राशियों में से प्रत्येक की प्रायिकता भी ज्ञात कीजिए?

Accepted Answer

चार बार सिक्का उछालने पर कुल 2^4 = 16 परिणाम संभव हैं।

प्रत्येक परिणाम में चित्त (H) और पट् (T) की संख्या भिन्न हो सकती है।

संभव चित्त की संख्या: 0,1,2,3,4

प्राप्त राशि = (चित्त की संख्या × 1) - (पट् की संख्या × 1.5)
= (चित्त की संख्या × 1) - ((4 - चित्त की संख्या) × 1.5)
= 1×k - 1.5×(4 - k) = k - 6 + 1.5k = 2.5k - 6
जहाँ k = चित्त की संख्या

k=0 → राशि = 2.5×0 - 6 = -6
k=1 → राशि = 2.5×1 - 6 = -3.5
k=2 → राशि = 2.5×2 - 6 = -1
k=3 → राशि = 2.5×3 - 6 = 1.5
k=4 → राशि = 2.5×4 - 6 = 4

इस प्रकार 5 विभिन्न राशियाँ प्राप्त हो सकती हैं: -6, -3.5, -1, 1.5, 4

प्रत्येक k के लिए प्रायिकता:
P(k चित्त) = C(4,k) × (1/2)^4

P(0) = C(4,0) × (1/16) = 1 × 1/16 = 1/16
P(1) = 4 × 1/16 = 4/16 = 1/4
P(2) = 6 × 1/16 = 6/16 = 3/8
P(3) = 4 × 1/16 = 4/16 = 1/4
P(4) = 1 × 1/16 = 1/16 — सिक्के के प्रत्येक उछाल पर चित्त या पट् आने की संभावना 1/2 है। चार उछालों में चित्त की संख्या के आधार पर राशि निकाली गई है। प्रत्येक संख्या के लिए बायनॉमियल वितरण का उपयोग कर प्रायिकता ज्ञात की गई है।

Question 15

तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। निम्नलिखित की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
(i) तीन चित्त प्रकट होना
(ii) 2 चित्त प्रकट होना
(iii) न्यूनतम 2 चित्त प्रकट होना
(iv) अधिकतम 2 चित्त प्रकट होना
(v) एक भी चित्त प्रकट न होना
(vi) 3 पट् प्रकट होना
(vii) तथ्यत: 2 पट् प्रकट होना
(viii) कोई भी पट् न प्रकट होना
(ix) अधिकतम 2 पट् प्रकट होना

Accepted Answer

कुल परिणाम = 2^3 = 8

(i) तीन चित्त: केवल 1 परिणाम (HHH)
प्रायिकता = 1/8

(ii) 2 चित्त: C(3,2) = 3 परिणाम
प्रायिकता = 3/8

(iii) न्यूनतम 2 चित्त = 2 या 3 चित्त
= P(2 चित्त) + P(3 चित्त) = 3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2

(iv) अधिकतम 2 चित्त = 0,1 या 2 चित्त
= P(0) + P(1) + P(2) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8

(v) एक भी चित्त न होना = 0 चित्त = 1 परिणाम (TTT)
प्रायिकता = 1/8

(vi) 3 पट् = 0 चित्त = 1/8

(vii) तथ्यत: 2 पट् = 1 चित्त = 3/8

(viii) कोई भी पट् न प्रकट होना = 3 चित्त = 1/8

(ix) अधिकतम 2 पट् = 0,1 या 2 पट्
= P(0 पट्) + P(1 पट्) + P(2 पट्)
0 पट् = 3 चित्त = 1/8
1 पट् = 2 चित्त = 3/8
2 पट् = 1 चित्त = 3/8
योग = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8 — तीन सिक्कों के 8 परिणाम होते हैं। चित्त की संख्या के आधार पर प्रायिकता बायनॉमियल वितरण से निकाली जाती है। पट् की संख्या चित्त की संख्या के पूरक होती है।

Chapter 14

Chapter 14 — अध्ययन नोट्स

14.1 घटना (Event)

14.1.4 परस्पर अपवर्जी घटनाएँ (Mutually exclusive events)

14.2 प्रायिकता की अभिगृहीतीय दृष्टिकोण (Axiomatic Approach to Probability)

अभ्यास प्रश्न — Chapter 14

Ganit के सभी 14 अध्याय