Question 1

आठ प्रेक्षणों का औसत तथा विचरण क्रमशः 9 तथा 9.25 हैं। यदि इनमें से छह प्रेक्षण 6, 7, 10, 12, 12 तथा 13 हैं, तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

दी गई जानकारी:
प्रेक्षणों की संख्या (n) = 8
औसत (x̄) = 9
विचरण (σ²) = 9.25
छः प्रेक्षण: 6, 7, 10, 12, 12, 13
मान लीजिए शेष दो प्रेक्षण x और y हैं।

1. औसत के अनुसार:
(6 + 7 + 10 + 12 + 12 + 13 + x + y)/8 = 9
⇒ (60 + x + y)/8 = 9
⇒ 60 + x + y = 72
⇒ x + y = 12

2. विचरण के अनुसार:
विचरण σ² = [Σ(xᵢ - x̄)²]/n
Σ(xᵢ²) = 6² + 7² + 10² + 12² + 12² + 13² + x² + y²
= 36 + 49 + 100 + 144 + 144 + 169 + x² + y²
= 642 + x² + y²

विचरण:
σ² = [Σ(xᵢ²)/n] - (x̄)²
9.25 = [(642 + x² + y²)/8] - (9)²
9.25 = [(642 + x² + y²)/8] - 81
⇒ (642 + x² + y²)/8 = 90.25
⇒ 642 + x² + y² = 722
⇒ x² + y² = 80

अब x + y = 12, x² + y² = 80
(x + y)² = x² + 2xy + y² = 144
⇒ x² + y² = 80
⇒ 2xy = 144 - 80 = 64
⇒ xy = 32

अब x और y दो संख्याएँ हैं जिनका योग 12 और गुणनफल 32 है।
x, y के लिए:
x + y = 12, xy = 32
x² - 12x + 32 = 0
x = [12 ± √(144 - 128)]/2 = [12 ± √16]/2 = [12 ± 4]/2
तो x = 8, y = 4
या x = 4, y = 8

अतः शेष दो प्रेक्षण 4 और 8 हैं। — सभी प्रेक्षणों का योग और औसत से x+y निकाला। विचरण के सूत्र से x²+y² निकाला। फिर x+y और x²+y² से xy निकाला। द्विघात समीकरण हल कर दोनों प्रेक्षण प्राप्त किए।

Question 2

सात प्रेक्षणों का औसत तथा विचरण क्रमशः 8 तथा 16 हैं। यदि इनमें से पाँच प्रेक्षण 2, 4, 10, 12, 14 हैं, तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

दी गई जानकारी:
प्रेक्षणों की संख्या (n) = 7
औसत (x̄) = 8
विचरण (σ²) = 16
पाँच प्रेक्षण: 2, 4, 10, 12, 14
मान लीजिए शेष दो प्रेक्षण x और y हैं।

1. औसत के अनुसार:
(2 + 4 + 10 + 12 + 14 + x + y)/7 = 8
⇒ (42 + x + y)/7 = 8
⇒ 42 + x + y = 56
⇒ x + y = 14

2. विचरण के अनुसार:
Σ(xᵢ²) = 2² + 4² + 10² + 12² + 14² + x² + y²
= 4 + 16 + 100 + 144 + 196 + x² + y²
= 460 + x² + y²

विचरण:
σ² = [Σ(xᵢ²)/n] - (x̄)²
16 = [(460 + x² + y²)/7] - 64
⇒ (460 + x² + y²)/7 = 80
⇒ 460 + x² + y² = 560
⇒ x² + y² = 100

अब x + y = 14, x² + y² = 100
(x + y)² = x² + 2xy + y² = 196
⇒ x² + y² = 100
⇒ 2xy = 196 - 100 = 96
⇒ xy = 48

अब x और y दो संख्याएँ हैं जिनका योग 14 और गुणनफल 48 है।
x + y = 14, xy = 48
x² - 14x + 48 = 0
x = [14 ± √(196 - 192)]/2 = [14 ± √4]/2 = [14 ± 2]/2
तो x = 8, y = 6
या x = 6, y = 8

अतः शेष दो प्रेक्षण 6 और 8 हैं। — औसत से x+y निकाला, विचरण से x²+y² निकाला, फिर x+y और x²+y² से xy निकाला। द्विघात समीकरण हल कर दोनों प्रेक्षण प्राप्त किए।

Question 3

चार प्रेक्षणों का औसत तथा मानक विचरण क्रमशः 8 तथा 4 हैं। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को 3 से गुणा कर दिया जाए, तो परिणामी प्रेक्षणों का औसत और मानक विचरण ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

दी गई जानकारी:
औसत (x̄) = 8
मानक विचरण (σ) = 4
प्रेक्षणों की संख्या (n) = 4

यदि प्रत्येक प्रेक्षण को 3 से गुणा किया जाए:
नए प्रेक्षण: 3x₁, 3x₂, 3x₃, 3x₄

नया औसत = 3 × पुराना औसत = 3 × 8 = 24
नया मानक विचरण = 3 × पुराना मानक विचरण = 3 × 4 = 12

अतः परिणामी प्रेक्षणों का औसत 24 और मानक विचरण 12 है। — गुणन के नियम अनुसार औसत और मानक विचरण दोनों को गुणा कर दिया जाता है।

Question 4

यदि n प्रेक्षण x₁, x₂, ..., xₙ का औसत x̄ तथा विचरण σ² हैं, तो सिद्ध कीजिए कि प्रेक्षणों ax₁, ax₂, ..., axₙ का औसत तथा विचरण क्रमशः ax̄ तथा a²σ² (a ≠ 0) हैं।

Accepted Answer

सिद्ध करने के लिए:

माना n प्रेक्षण x₁, x₂, ..., xₙ का औसत x̄ तथा विचरण σ² है।

नए प्रेक्षण: ax₁, ax₂, ..., axₙ

नया औसत:
= (ax₁ + ax₂ + ... + axₙ)/n
= a(x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n
= a x̄

नया विचरण:
= [Σ(axᵢ - ax̄)²]/n
= [Σa²(xᵢ - x̄)²]/n
= a² [Σ(xᵢ - x̄)²]/n
= a² σ²

अतः सिद्ध हुआ कि नए औसत ax̄ तथा नया विचरण a²σ² है। — औसत और विचरण के सूत्र में गुणन का प्रभाव दिखाया गया।

Question 5

सात प्रेक्षणों का औसत तथा मानक विचरण क्रमशः 10 तथा 2 हैं। जाँच करने पर यह पाया गया कि एक प्रेक्षण 8 गलत है। निम्न में से प्रत्येक के लिए सही औसत तथा मानक विचरण ज्ञात कीजिए:
(i) गलत प्रेक्षण हटा दिया जाए।
(ii) उसे 12 से बदल दिया जाए।

Accepted Answer

(i) गलत प्रेक्षण हटाने पर:
प्रेक्षणों की संख्या (n) = 7
औसत (x̄) = 10
मानक विचरण (σ) = 2
गलत प्रेक्षण = 8

सही प्रेक्षणों का योग = 7 × 10 = 70
सही योग = 70 - 8 = 62
नए n = 6
नया औसत = 62/6 = 10.33

मानक विचरण:
σ² = [Σxᵢ²/n] - (x̄)²
Σxᵢ² = n [σ² + (x̄)²] = 7 × [4 + 100] = 7 × 104 = 728
सही योग = 728 - 8² = 728 - 64 = 664
नया σ² = [664/6] - (10.33)² = 110.67 - 106.78 = 3.89
नया σ = √3.89 ≈ 1.97

(ii) गलत प्रेक्षण को 12 से बदलने पर:
सही योग = 70 - 8 + 12 = 74
नया औसत = 74/7 = 10.57

Σxᵢ² = 728 - 64 + 144 = 728 - 64 + 144 = 808
नया σ² = [808/7] - (10.57)² = 115.43 - 111.74 = 3.69
नया σ = √3.69 ≈ 1.92

अतः:
(i) औसत = 10.33, मानक विचरण ≈ 1.97
(ii) औसत = 10.57, मानक विचरण ≈ 1.92 — औसत और मानक विचरण के सूत्र से गलत प्रेक्षण हटाने और बदलने पर नए मान निकाले।

Question 6

100 प्रेक्षणों का औसत तथा मानक विचरण क्रमशः 20 तथा 3 हैं। बाद में यह पाया गया कि तीन प्रेक्षण 21, 21 तथा 18 गलत थे। यदि गलत प्रेक्षणों को हटा दिया जाए, तो औसत और मानक विचरण ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

दी गई जानकारी:
प्रेक्षणों की संख्या (n) = 100
औसत (x̄) = 20
मानक विचरण (σ) = 3
गलत प्रेक्षण: 21, 21, 18

सही योग = 100 × 20 = 2000
सही योग = 2000 - (21 + 21 + 18) = 2000 - 60 = 1940
नया n = 97
नया औसत = 1940/97 ≈ 20

Σxᵢ² = n [σ² + (x̄)²] = 100 × [9 + 400] = 100 × 409 = 40900
सही योग = 40900 - (21² + 21² + 18²) = 40900 - (441 + 441 + 324) = 40900 - 1206 = 39694
नया σ² = [39694/97] - (20)² = 409.22 - 400 = 9.22
नया σ = √9.22 ≈ 3.04

अतः औसत ≈ 20, मानक विचरण ≈ 3.04 — औसत और मानक विचरण के सूत्र से गलत प्रेक्षण हटाकर नए मान निकाले।

Question 7

सांख्यिकी का मुख्य उद्देश्य क्या है?

Accepted Answer

आंकड़ों को संग्रहित और व्यवस्थित करना — सांख्यिकी का मुख्य उद्देश्य बड़ी संख्या में प्राप्त आंकड़ों को इस प्रकार व्यवस्थित करना है कि वे समझने और विश्लेषण करने में सरल हों। यह आंकड़ों के संग्रहण, वर्गीकरण, प्रस्तुति और विश्लेषण की विधि प्रदान करता है।

Question 8

आंकड़ों के कितने मुख्य प्रकार होते हैं और वे कौन-कौन से हैं?

Accepted Answer

आंकड़ों के दो मुख्य प्रकार होते हैं: असमूहित आंकड़े और समूहित आंकड़े। असमूहित आंकड़े वे होते हैं जो बिना वर्गीकरण के सीधे उपलब्ध होते हैं, जबकि समूहित आंकड़े वे होते हैं जिन्हें वर्गों में बांटकर प्रस्तुत किया जाता है। — आंकड़ों के मुख्य दो प्रकार होते हैं:
1. असमूहित आंकड़े: सीधे उपलब्ध, बिना वर्गीकरण के।
2. समूहित आंकड़े: वर्गों में विभाजित, बड़ी संख्या में आंकड़ों के लिए।
उदाहरण: किसी कक्षा के छात्रों के अंक (असमूहित), परीक्षा के अंक वर्गों में (समूहित)।

Question 9

निम्नलिखित में से कौन सा आंकड़ों का गुणात्मक प्रकार है?

Accepted Answer

छात्रों का रंग — गुणात्मक आंकड़े वे होते हैं जो किसी वस्तु या घटना की गुणवत्ता या गुण को दर्शाते हैं, जैसे रंग, लिंग आदि। बाकी विकल्प मात्रात्मक आंकड़ों के उदाहरण हैं।

Question 10

_____ आंकड़े केवल निश्चित मान ही ले सकते हैं, जैसे छात्रों की संख्या।

Accepted Answer

असतत / असतत आंकड़े — असतत आंकड़े (Discrete Data) वे आंकड़े होते हैं जो केवल निश्चित मान ही ले सकते हैं, जैसे छात्रों की संख्या या कारों की संख्या।

Question 11

वृत्तचित्र (Pie Chart) किसके लिए उपयुक्त है?

Accepted Answer

कुल आंकड़ों के प्रतिशत भाग दर्शाने के लिए — वृत्तचित्र का उपयोग कुल आंकड़ों के प्रतिशत भाग को दर्शाने के लिए किया जाता है, जिसमें वृत्त को विभिन्न क्षेत्रों में बांटा जाता है।

Question 12

तालिका और ग्राफ में क्या अंतर है? उदाहरण सहित समझाइए।

Accepted Answer

तालिका आंकड़ों को पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित करती है, जिससे तुलना आसान होती है। ग्राफ आंकड़ों को चित्रात्मक रूप में प्रस्तुत करता है, जिससे प्रवृत्ति और संबंध समझना सरल होता है। उदाहरण: छात्रों के अंकों की तालिका और उसका स्तंभ चित्र। — तालिका में आंकड़े व्यवस्थित रूप से पंक्तियों-स्तंभों में होते हैं, जैसे आवृत्ति तालिका। ग्राफ में आंकड़े दृश्य रूप में होते हैं, जैसे स्तंभ चित्र।
उदाहरण: 1. तालिका — अंक: 0-10 (5 छात्र), 11-20 (10 छात्र)।
2. ग्राफ — इन्हीं आंकड़ों का स्तंभ चित्र।

Question 13

निम्नलिखित में से कौन सा ग्राफ समूहित आंकड़ों के लिए सबसे उपयुक्त है?

Accepted Answer

हिस्टोग्राम (Histogram) — हिस्टोग्राम का उपयोग मुख्यतः समूहित आंकड़ों के लिए किया जाता है, जिसमें वर्गों के बीच कोई अंतराल नहीं होता।

Question 14

औसत (Mean) की गणना असमूहित आंकड़ों के लिए कैसे की जाती है?

Accepted Answer

असमूहित आंकड़ों के लिए औसत = (सभी मानों का योग) / (मानों की संख्या)। उदाहरण: 4, 7, 9, 10, 15 के लिए औसत = (4+7+9+10+15)/5 = 9। — औसत (Mean) = सभी मानों का योग / कुल मानों की संख्या।
उदाहरण: 4, 7, 9, 10, 15
योग = 45, संख्या = 5, औसत = 45/5 = 9।

Question 15

समूहित आंकड़ों के लिए औसत ज्ञात करने का सूत्र क्या है?

Accepted Answer

औसत = \frac{\sum (f_i 	imes x_i)}{\sum f_i} — समूहित आंकड़ों के लिए औसत निकालने का सूत्र है: औसत = Σ(fi × xi) / Σfi, जहाँ fi वर्ग की आवृत्ति और xi वर्ग का मध्य बिंदु है।

Chapter 13

Chapter 13 — अध्ययन नोट्स

13.1 भूमिका (Introduction)

13.2 प्रकीर्णन की माप (Measures of dispersion)

13.3 परिसर (Range)

अभ्यास प्रश्न — Chapter 13

Ganit के सभी 14 अध्याय