Chapter 1
Chapter 1 — अध्ययन नोट्स
NCERT-संरेखित · 8 नोट्स · 3 निःशुल्क दिखाए गए
हमारे आस-पास की बड़ी संख्याएँ
व्याख्याहमारे आस-पास की बड़ी संख्याएँ
इस अध्याय में हम बड़ी संख्याओं के बारे में विस्तार से जानेंगे जो हमारे दैनिक जीवन में बहुतायत में उपयोग होती हैं। बड़ी संख्याएँ जैसे लाख, करोड़, अरब आदि का प्रयोग हम विभिन्न क्षेत्रों में करते हैं, जैसे जनसंख्या, दूरी, धनराशि, उत्पादन आदि। उदाहरण के लिए, भारत की जनसंख्या करोड़ों में होती है, और किसी बड़े शहर की आबादी लाखों में। इस प्रकार बड़ी संख्याओं को समझना और उनका सही उपयोग करना आवश्यक है। बड़ी संख्याओं को पढ़ना, लिखना, तुलना करना, और उनका गुणा-भाग करना हमारे गणितीय कौशल के लिए महत्वपूर्ण है। इस अध्याय में हम इन सभी पहलुओं को विस्तार से सीखेंगे।
- बड़ी संख्याएँ दैनिक जीवन में बहुतायत से उपयोग होती हैं।
- लाख, करोड़, अरब जैसी संख्याएँ भारतीय पद्धति में सामान्य हैं।
- जनसंख्या, धनराशि, दूरी आदि क्षेत्रों में बड़ी संख्याओं का उपयोग होता है।
- बड़ी संख्याओं को पढ़ना और लिखना सीखना आवश्यक है।
- बड़ी संख्याओं का गुणा-भाग करना भी महत्वपूर्ण है।
- 📌 लाख: 1,00,000 की संख्या को लाख कहते हैं।
- 📌 करोड़: 1,00,00,000 की संख्या को करोड़ कहते हैं।
- 📌 अरब: 1,00,00,00,000 की संख्या को अरब कहते हैं।
बड़ी संख्याओं को पढ़ना और लिखना
व्याख्याबड़ी संख्याओं को पढ़ना और लिखना
इस खंड में हम बड़ी संख्याओं को पढ़ने और लिखने के नियम सीखेंगे। भारतीय पद्धति में संख्याओं को समूहों में बाँटकर पढ़ना और लिखना आसान होता है। उदाहरण के लिए, 1,00,000 को 'एक लाख' पढ़ा जाता है। इसी प्रकार, 10,00,000 को 'दस लाख', और 1,00,00,000 को 'एक करोड़' कहा जाता है। भारतीय पद्धति में हजार के बाद दो अंकों के समूह होते हैं, जैसे लाख, करोड़ आदि। इसे समझने के लिए हम रोक्सी और ऐस्सु की कहानी का अध्ययन करते हैं, जहाँ वे एक लाख किस्म के चावल खाने की कल्पना करते हैं। इस कहानी से हमें बड़ी संख्याओं की महत्ता और उनका सही लेखन-पठन समझ में आता है। संख्याओं को सही ढंग से पढ़ना और लिखना गणितीय संचार के लिए आवश्यक है।
- भारतीय पद्धति में संख्याएँ हजार के बाद दो अंकों के समूहों में बाँटी जाती हैं।
- 1,00,000 को 'एक लाख' पढ़ा जाता है।
- 10,00,000 को 'दस लाख' और 1,00,00,000 को 'एक करोड़' कहा जाता है।
- बड़ी संख्याओं को सही ढंग से पढ़ना और लिखना आवश्यक है।
- कहानी के माध्यम से बड़ी संख्याओं की समझ बढ़ती है।
- 📌 भारतीय पद्धति: संख्याओं को हजार, लाख, करोड़ आदि समूहों में बाँटने की पद्धति।
- 📌 लाख: 1,00,000 की संख्या।
- 📌 करोड़: 1,00,00,000 की संख्या।
बड़ी संख्याओं का उपयोग और तुलना
व्याख्याबड़ी संख्याओं का उपयोग और तुलना
इस भाग में हम बड़ी संख्याओं के दैनिक जीवन में उपयोग को समझेंगे और उनकी तुलना करना सीखेंगे। बड़ी संख्याएँ जैसे लाख, करोड़, अरब आदि का उपयोग जनसंख्या, धनराशि, दूरी, उत्पादन आदि क्षेत्रों में होता है। उदाहरण के लिए, भारत की कुल जनसंख्या करोड़ों में होती
अभ्यास प्रश्न — Chapter 1
NCERT अभ्यास प्रश्न और उत्तर सहित
Q1.p/q और r/s दो परिमेय संख्याएँ है जिनके हर भिन्न है। वे दोनों भी अपने मानक रूप (Standard form) में है। हम कह सकते है कि यदि _______ है, तो p/q
उत्तर:
p × s
व्याख्या:
[{"id": "376578c2-3d9e-4e91-82d4-ed1a6e65f449", "type": "html", "value": " हमें दिया गया है, p/q और r/s दो परिमेय संख्याएँ है जिनके हर भिन्न है तथा दोनों भी अपने मानक रूप में है। यदि p × s उदाहरण के लिए 1 × 2 अतः, विकल्प २ सही जवाब है। "}]
Q2.परिमेय संख्या (Rational number) को अपने मानक रूप (Standard form) में व्यक्त करने के लिए, हम उसके अंश और हर को ______ से विभाजित करते है।
उत्तर:
म.स. (HCF)
व्याख्या:
[{"id": "296b5634-39a9-419b-8d84-e095c336663a", "type": "html", "value": " किसी परिमेय संख्या को उसके मानक रूप (Standard form ) में व्यक्त करने के लिए, हम अंश और हर को उनके म. स. से विभाजित करेंगे। अतः, विकल्प 1 सही जवाब है। "}]
Q3.निम्नलिखित में से 3/4 के समतुल्य (Equivalent) कौनसी संख्या है?
उत्तर:
12/16
व्याख्या:
[{"id": "5eae3133-fcd5-42f5-ac01-55485da26f0a", "type": "html", "value": " 12 /16 के अंश और हर को उसके म.स. यानि 5 से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते है, (12 ÷ 4)/(16 ÷ 4) = 3/4 अतः, 3/4 = 12/16 इसलिए, विकल्प 4 सही जवाब है। "}]
Q4.एक कार 202/5 km प्रति घंटे की औसत चाल (Average speed) से चल रही है। 15/2 घंटों में वह कितनी दूरी तय करेगी?
उत्तर:
303 km
व्याख्या:
[{"id": "01709118-e340-4ab1-ade5-de88538f62a8", "type": "html", "value": " कार की औसत चाल = 202/5 km/h यानि, 1 घंटे में कार 202/5 km की दूरी तय करती है। इसलिए, 15/2 घंटों में कार द्वारा तय की गई दूरी = 202/5 × 15/2 = (202 × 15)/(5 × 2) = 101 × 3 = 303 km अतः, विकल्प 2 सही जवाब है। "}]
Q5.आकाश का घर पाठशाला से 3/4 km दूर है, और सुमित का घर पाठशाला से 4/5 km दूर है। कौन पाठशाला के करीब रहता है?
उत्तर:
आकाश
व्याख्या:
[{"id": "8f0c5f48-fcf7-445a-815a-2602cbd8d5fd", "type": "html", "value": " पाठशाला से आकाश के घर की दूरी = 3/4 km पाठशाला से सुमित के घर की दूरी = 4/5 km किसका घर पाठशाला के करीब है यह ज्ञात करने के लिए, हमने 3/4 km और 4/5 km दोनों दूरियों की तुलना करनी होगी। यहाँ दोनों परिमेय संख्याओं के हर विभिन्न है। इसलिए, सबसे पहले हम इन परिमेय संख्याओं के हरों को समान करेंगे। 4 और 5 का ल.स. 20 है। इसलिए, (3 × 5)/(4 × 5) = 15/20 (4 × 4)/(5 × 4) = 16/20 अब हम कह सकते है कि, 15/20 यानि के, 3/4 वैकल्पिक रूप से, हम इन परिमेय संख्याओं की तुलना संख्या रेखा पर इस तरह भी कर सकते है। यहाँ हम देख सकते है की ,4/5, 3/4 के दाईं ओर है। इसलिए 3/4 अतः हम कह सकते है कि सुमित के घर की तुलना में आकाश का घर, पाठशाला के करीब है। "}]
Q6.एक ऋणात्मक अंकों वाली प्रश्नोत्तरी प्रतियोगिता में, सोहन को 0 अंक प्राप्त हुए, आरती को (-2)/4, अदिति को 1 /4 और कोमल को (-1)/4 अंक प्राप्त हुए। किसे सबसे ज़्यादा अंक प्राप्त हुए?
उत्तर:
अदिति
व्याख्या:
[{"id": "808613a9-7cc3-4b65-9f7a-db5ca04e9da5", "type": "html", "value": " सोहन के अंक = 0 आरती के अंक = (-2)/4 अदिति के अंक = 1/4 कोमल के अंक = (-1)/4 हम इन परिमेय संख्याओं को संख्या रेखा पर, इस तरह व्यवस्थित कर सकते है। इसलिए, परिमेय संख्याओं का आरोही क्रम इस प्रकार है: -2/4, -1/4, 0, 1/4 अतः 1 /4 , दी गई परिमेय संख्याओं में से, सबसे बड़ी परिमेय संख्या है। अदिति को 1 /4 अंक प्राप्त हुए इसलिए, हम कह सकते है की अदिति को सबसे ज़्यादा अंक प्राप्त हुए। "}]
Q7.कौनसा कथन गलत है?
उत्तर:
हम तीनों कोणों का माप दिए जाने पर एक अद्वितीय त्रिभुज (Triangle) का निर्माण कर सकते हैं।
व्याख्या:
[{"id": "8b802060-e210-4056-b742-60bd6666e709", "type": "html", "value": " हम ASA कसौटी के उपयोग से एक अद्वितीय त्रिभुज (Triangle) का निर्माण कर सकते हैं जब दो कोणों का माप और उनके बीच की भुजा की लंबाई दी गई हो। इसी तरह हम एक अद्वितीय त्रिभुज (Triangle) का निर्माण कर सकते हैं जब दो कोणों का माप और किसी भी भुजा की लंबाई दी गई हो। इस स्थिति में हम त्रिभुज (Triangle) के कोण योग गुण (Angle sum property) की सहायता से तीसरे कोण का माप ज्ञात करते है और ASA कसौटी से त्रिभुज (Triangle) की रचना करते है। हम एक अद्वितीय त्रिभुज (Triangle) का निर्माण उस स्थिति में भी कर सकते हैं जब किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई और उनके बीच के कोण का माप दिया जाता है। इसके लिए हम SAS कसौटी का उपयोग करते है। लेकिन हम तीनों कोणों का माप दिए जाने पर एक अद्वितीय त्रिभुज (Triangle) का निर्माण नहीं कर सकते। ऐसा इसलिए क्योंकि इस स्थिति में भुजाओं की लंबाइयाँ अलग अलग ली जा सकती है। इसलिए विकल्प 3 गलत है। "}]
Q8.कौनसी स्थिति में एक अद्वितीय त्रिभुज (Triangle) की रचना की जा सकती है?
उत्तर:
हम एक अद्वितीय त्रिभुज (Triangle) △PQR की रचना कर सकते है जिसमें PQ = 5.6 cm, ∠P = 70⁰ और ∠Q = 75⁰ है।
व्याख्या:
[{"id": "6d1e4f53-4709-4210-b1cb-7cc7835a0956", "type": "html", "value": " चूँकि त्रिभुज (Triangle) के तीनों कोणों का योग 180⁰ होता है इसलिए किन्हीं दो कोणों का योग इससे कम होता है। लेकिन विकल्प 1 में ∠A + ∠B = 70⁰ + 110⁰ = 180⁰ आता है इसलिए यह विकल्प सही जवाब नहीं हो सकता। विकल्प 2 में, DE = 6 cm, EF = 3 cm, और DF = 10 cm है। किसी भी त्रिभुज (Triangle) में किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है। लेकिन इस स्थिति में 6 cm + 3 cm = 9 cm विकल्प 3 में समद्विबाहु त्रिभुज (Triangle) के बराबर भुजाओं में से प्रत्येक की लंबाई दी गई है लेकिन हमें तीसरी भुजा की लंबाई या दोनों भुजाओं के बीच के कोण का माप नहीं दिया गया है इसलिए इस स्थिति में भी त्रिभुज (Triangle) की रचना नहीं की जा सकती। विकल्प 4 में दो कोण और उनके बीच की भुजा की लंबाई दी गई है। हम यह भी देखते है कि 70⁰ + 75⁰ = 145⁰ "}]