Chapter 7
Chapter 7 — अध्ययन नोट्स
NCERT-संरेखित · 6 नोट्स · 3 निःशुल्क दिखाए गए
7.1 भूमिका
व्याख्या7.1 भूमिका
त्रिभुज ज्यामिति की एक मूलभूत आकृति है, जो तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा बनाई गई एक बंद आकृति होती है। त्रिभुज में तीन भुजाएँ, तीन कोण और तीन शीर्ष होते हैं। उदाहरण के लिए, त्रिभुज ABC (Δ ABC) की भुजाएँ AB, BC और CA हैं, तथा इसके कोण ∠A, ∠B और ∠C हैं। त्रिभुजों का अध्ययन गणित के विभिन्न क्षेत्रों में अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि वे ज्यामिति की बुनियादी संरचनाएँ हैं। इस अध्याय में, हम त्रिभुजों की सर्वांगसमता (congruence), सर्वांगसमता के नियम, त्रिभुजों के अन्य गुण और असमिकाओं (inequalities) का विस्तार से अध्ययन करेंगे। आपने पहले भी त्रिभुजों के गुणों की जाँच क्रियाकलापों द्वारा की होगी, परन्तु यहाँ हम कुछ गुणों को सिद्ध भी करेंगे।
- त्रिभुज तीन भुजाओं, तीन कोणों और तीन शीर्षों से बनता है।
- त्रिभुज को Δ से दर्शाया जाता है, जैसे Δ ABC।
- त्रिभुज ज्यामिति की मूलभूत आकृति है।
- इस अध्याय में त्रिभुजों की सर्वांगसमता और उनके नियमों का अध्ययन होगा।
- त्रिभुजों के गुणों की सत्यता को सिद्ध किया जाएगा।
- 📌 त्रिभुज: तीन भुजाओं से बनी बंद आकृति।
- 📌 सर्वांगसमता: दो आकृतियाँ जो आकार और माप दोनों में समान हों।
7.2 त्रिभुजों की सर्वांगसमता
अवधारणा7.2 त्रिभुजों की सर्वांगसमता
सर्वांगसमता का अर्थ है कि दो आकृतियाँ सभी प्रकार से समान हों, अर्थात् उनका आकार और माप दोनों समान हों। उदाहरण के लिए, एक ही साइज की दो फोटो, दो समान माप की चूड़ियाँ, या एक ही माप के दो सिक्के सर्वांगसम होते हैं। इसी प्रकार, दो वृत्त जो समान त्रिज्या के हों, वे भी सर्वांगसम होते हैं। त्रिभुजों की सर्वांगसमता का अर्थ है कि दो त्रिभुज की सभी भुजाएँ और कोण एक-दूसरे के बराबर हों। यदि Δ ABC और Δ PQR सर्वांगसम हैं, तो उनकी भुजाएँ और कोण संगत रूप से बराबर होंगे, जैसे AB = PQ, BC = QR, CA = RP और ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R। इस संगतता को लिखने के लिए शीर्षों की संगतता का ध्यान रखना आवश्यक है, जैसे Δ PQR ≅ Δ ABC। सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों के लिए संक्षेप में CPCT (Corresponding Parts of Congruent Triangles) प्रयोग किया जाता है।
- सर्वांगसम आकृतियाँ आकार और माप दोनों में समान होती हैं।
- दो त्रिभुज सर्वांगसम तब होते हैं जब उनकी भुजाएँ और कोण संगत रूप से बराबर हों।
- सर्वांगसमता दर्शाने के लिए शीर्षों की संगतता का सही क्रम आवश्यक है।
- सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों के लिए CPCT प्रयोग होता है।
- सर्वांगसमता का प्रयोग दैनिक जीवन में वस्तुओं की समानता जांचने में होता है।
- 📌 सर्वांगसमता: आकृतियों की पूर्ण समानता।
- 📌 CPCT: सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग।
7.3 त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए कसौटियाँ
अवधारणा7.3 त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए कसौटियाँ
त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए चार मुख्य कसौटियाँ होती हैं: SAS (Side-Angle-Side), ASA (Angle-Side-Angle), AAS (Angle-Angle-Side) और SSS (Side-Side-Side)। SAS नियम के अनुसार, यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनका अंतर्गत कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं
अभ्यास प्रश्न — Chapter 7
NCERT अभ्यास प्रश्न और उत्तर सहित
Q1.एक त्रिभुज (triangle) की दो भुजाओं (sides) की लंबाई 6 cm और 1.8 cm हैं। त्रिभुज (triangle) की तीसरी भुजा (side) की लंबाई (length) ______ नहीं हो सकती।
उत्तर:
3.2 cm
व्याख्या:
[{"id": "28f7db4f-db02-4658-b5f5-0dc236764360", "type": "html", "value": " यदि हम △ABC, AB = 1.8 cm, BC = 3.2 और AC = 6 cm मानते हैं। 1.8 + 3.2 5 चूंकि, किसी त्रिभुज (triangle) की दो भुजाओं (sides) का योग उसकी तीसरी भुजा (side) से कम है, यह त्रिभुज (triangle) संभव नहीं है। इसलिए, तीसरी भुजा (side) 3.2 cm नहीं हो सकता। इसलिए, विकल्प 4 सही है। "}]
Q2.बहुविकल्पीय प्रश्न अवधारणा - त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए कसौटियां यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएं और अन्तर्गत कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और अन्तर्गत कोण के बराबर हों तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते है। निम्न में से सर्वांगसमता का कौन सा नियम है?
उत्तर:
SAS
Q3.बहुविकल्पीय प्रश्न अवधारणा - त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए कसौटियां यदि Δ ABC ≅ Δ PQR और Δ ABC सर्वांगसम नहीं है Δ RPQ के, तब निम्न में से क्या सही नहीं है?
उत्तर:
BC = PQ
Q4.बहुविकल्पीय प्रश्न अवधारणा - एक त्रिभुज में असमिकाएं त्रिभुज ABC में, ∠ A = 40° और ∠ B = 60°, तब त्रिभुज ABC की सबसे लंबी भुजा निम्न में से कौन सी है?
उत्तर:
AB
Q5.बहुविकल्पीय प्रश्न अवधारणा - त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए कसौटियां निम्न में से कौन सी त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए कसौटी नहीं है?
उत्तर:
SSA
Q6.निम्नलिखित में से किस कसौटी से दो त्रिभुज (triangle) सर्वांगसम (congruent) सिद्ध नहीं किए जा सकते हैं?
उत्तर:
AAA
व्याख्या:
[{"id": "bdb87814-6329-4d91-a99f-48c024921486", "type": "html", "value": " "}]
Q7.△PQR में, QR = PQ और ∠Q = 70°। तो, ∠P ____ के बराबर है।
उत्तर:
∠P = 55°
व्याख्या:
[{"id": "ad33f692-52ef-440a-8c1b-3db1eef191b4", "type": "html", "value": " △PQR में, QR = PQ ∴ ∠P = ∠R .... (बराबर भुजाओं (sides) के सम्मुख कोण (angle)) ∠P + ∠Q + ∠R = 180 ° ( त्रिभुज का कोण योग गुण) 2∠P + 70° = 180° 2∠P = 180° - 70° 2∠P = 110° ∠P = 55° इसलिए, विकल्प 2 सही है। "}]
Q8.हमें यह दिया गया है कि, △PQR ≅ △NMS और PQ = 5.5 cm, ∠Q = 35° और ∠P = 75°। निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सत्य है?
उत्तर:
NM = 5.5 cm, ∠S = 70°
व्याख्या:
[{"id": "7df22ad9-33cf-435a-aaad-7a7fec3443a3", "type": "html", "value": " △PQR में, ∠P + ∠Q + ∠R = 180 ° (त्रिभुज का कोण योग गुण (Angle sum property)) 75° + 35° + ∠R = 180° 110° + ∠R = 180° ∠R = 70° अब,△PQR ≅ △NMS के रूप में, ∴ ∠P = ∠N = 75° ∠Q = ∠M = 35° PQ = NM = 5.5 cm और ∠R = ∠S = 70° इसलिए, विकल्प 4 सही है। "}]