वृत्त | Class 9 Mathematics Notes

9.4 एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण

इस अनुभाग में हम समझेंगे कि वृत्त के चाप द्वारा केन्द्र पर और वृत्त के किसी अन्य बिन्दु पर अंतरित कोणों के बीच क्या संबंध होता है।

पहले यह बताया गया है कि वृत्त की दो बराबर जीवाएँ उनके संगत चापों को भी बराबर बनाती हैं। यदि एक चाप को दूसरे के ऊपर रखा जाए तो वे पूरी तरह से एक-दूसरे को ढकते हैं। इसका अर्थ है कि बराबर जीवाएँ सर्वांगसम चाप बनाती हैं और विलोम भी सत्य है।

इसके बाद चाप द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोण और वृत्त के शेष भाग के किसी बिन्दु पर अंतरित कोण के बीच संबंध पर चर्चा की गई है। प्रमेय 9.7 के अनुसार, एक चाप द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोण, उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग के किसी बिन्दु पर अंतरित कोण का दुगुना होता है।

इस प्रमेय का प्रमाण तीन विभिन्न स्थितियों (लघु चाप, अर्धवृत्त, दीर्घ चाप) के लिए दिया गया है। इसमें त्रिभुजों के कोणों के गुण, समद्विभाजित त्रिभुजों के गुण और बहिष्कोण के सिद्धांत का उपयोग किया गया है।

इसके अतिरिक्त, प्रमेय 9.8 में कहा गया है कि एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं। अर्धवृत्त का कोण समकोण होता है, अर्थात् अर्धवृत्त पर स्थित कोई भी बिन्दु उस चाप द्वारा बने कोण को 90° बनाता है।

अंत में प्रमेय 9.9 में चक्रीय बिन्दुओं की पहचान के लिए एक महत्वपूर्ण गुण दिया गया है कि यदि दो बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखंड दो अन्य बिन्दुओं पर समान कोण अंतरित करता है, तो ये चारों बिन्दु एक वृत्त पर स्थित होते हैं।

📊 Diagram: आकृति 9.13; आकृति 9.14; आकृति 9.15; आकृति 9.16; आकृति 9.17

🧪 Activity: बराबर जीवाओं के संगत चापों को काटकर एक दूसरे पर रखकर उनकी बराबरी का अनुभव करना।

🔗 Connection: यह अनुभाग चाप द्वारा अंतरित कोण के गुणों को समझाने के बाद, अगले अनुभाग में चक्रीय चतुर्भुज की विशेषताओं का अध्ययन करता है।