Question 1

बहुविकल्पीय प्रश्न अवधारणा - एक वृत्त का चाप द्वारा अंतरित कोण एक ही वृत्तखंड के कोण निम्न में से क्या होते हैं?

Accepted Answer

बराबर

Question 2

बहुविकल्पीय प्रश्न अवधारणा - समान जीवाएं तथा उनकी केंद्र से दूरियां एक वृत्त की जीवा की, वृत्त के केंद्र से दूरी 8 सेमी है और वृत कि त्रिज्या 17 सेमी है तो जीवा की लम्बाई निम्न में से क्या होगी?

Accepted Answer

30 सेमी

Question 3

बहुविकल्पीय प्रश्न अवधारणा - समान जीवाएं तथा उनकी केंद्र से दूरियां एक वृत्त की त्रिज्या 13 सेमी है और एक जीवा की लम्बाई 10 सेमी है तो जीवा की वृत्त के केंद्र से दूरी निम्न में से क्या होगी?

Accepted Answer

12 सेमी

Question 4

याद कीजिए कि दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं, यदि उनकी त्रिन्याएँ बराबर हों। सिद्ध कीजिए कि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।

Accepted Answer

सिद्धांत: यदि दो वृत्त सर्वांगसम हैं, अर्थात् उनकी त्रिज्याएँ बराबर हैं, तो उनकी बराबर जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।

सिद्ध करने के लिए:
मान लीजिए दो वृत्त हैं जिनके केन्द्र क्रमशः O और O' हैं और त्रिज्याएँ बराबर हैं। दोनों वृत्तों की बराबर जीवाएँ AB और A'B' हैं।

चूंकि दोनों वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर हैं, अतः OA = O' A' और OB = O' B' हैं।

अब, चूंकि AB = A'B' (जीवाएँ बराबर हैं), त्रिभुज OAB और O'A'B' सर्वांगसम होंगे। अतः,

∠AOB = ∠A' O' B'

इस प्रकार, बराबर जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं। — दो वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर होने पर, उनके केन्द्र से जीवाओं तक की दूरी समान होती है। बराबर जीवाएँ होने पर, त्रिभुजों के सर्वांगसम होने से केन्द्रों पर बने कोण भी बराबर होंगे।

Question 5

सिद्ध कीजिए कि यदि सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अंतरित करें, तो जीवाएँ बराबर होती हैं।

Accepted Answer

सिद्धांत: यदि दो सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं, तो वे जीवाएँ बराबर होती हैं।

सिद्ध करने के लिए:
मान लीजिए दो वृत्त जिनके केन्द्र O और O' हैं और त्रिज्याएँ बराबर हैं। दोनों वृत्तों की जीवाएँ AB और A'B' हैं।

यदि ∠AOB = ∠A' O' B', तो त्रिभुज OAB और O'A'B' में OA = O'A' और OB = O'B' (त्रिज्या बराबर) तथा ∠AOB = ∠A' O' B' है।

इसलिए, त्रिभुज OAB और O'A'B' सर्वांगसम होंगे, अतः AB = A'B' अर्थात् जीवाएँ बराबर होंगी। — सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं। यदि उनके केन्द्रों पर जीवाओं द्वारा बनाए गए कोण बराबर हों, तो त्रिभुजों के सर्वांगसम होने से जीवाएँ भी बराबर होंगी।

Question 6

अभ्यास करके देखिए कि क्या यह कथन व्यापक रूप में सत्य है। हम इसके कुछ कथन देंगे और आप इनके कारण दीजिए।

मान लीजिए कि एक वृत्त, जिसका केन्द्र O है, की AB एक जीवा है और O को AB के मध्य-बिन्दु M से मिलाया गया है। आपको सिद्ध करना है कि OM ⊥ AB है। OA और OB को मिलाइए (देखिए आकृति 9.7)। त्रिभुजों OAM तथा OBM में,

$$
\mathrm{OA} = \mathrm{OB} \quad 	ext{(क्यों?)}
$$

$$
\mathrm{AM} = \mathrm{BM} \quad 	ext{(क्यों?)}
$$

$$
\mathrm{OM} = \mathrm{OM} \quad 	ext{(उभयनिष्ठ)}
$$

अतः, $\Delta \mathrm{OAM} \cong \Delta \mathrm{OBM}$ (क्यों?)

इससे प्राप्त होता है: $\angle \mathrm{OMA} = \angle \mathrm{OMB} = 90^{\circ}$ (क्यों?)

Accepted Answer

सिद्ध करने के लिए:

1. OA = OB क्योंकि OA और OB वृत्त की त्रिज्या हैं।
2. AM = BM क्योंकि M, AB का मध्य-बिन्दु है।
3. OM = OM (उभयनिष्ठ)।

इसलिए, त्रिभुज OAM और OBM में दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण समान हैं (SAS समरूपता)। अतः,

ΔOAM ≅ ΔOBM

इससे कोण OMA = कोण OMB होंगे। क्योंकि ये दो कोण एक सीधी रेखा AB पर स्थित हैं और समरूप त्रिभुजों के अनुसार समान हैं, अतः ये दोनों 90° के होंगे। इसलिए, OM ⊥ AB है। — OA और OB वृत्त की त्रिज्या हैं, अतः बराबर हैं। M AB का मध्य-बिन्दु है, अतः AM = BM। OM दोनों त्रिभुजों में समान भुजा है। SAS समरूपता से त्रिभुज OAM और OBM समरूप हैं। समरूप त्रिभुजों के अनुसार, कोण OMA = कोण OMB। ये दो कोण AB पर स्थित हैं और एक-दूसरे के पूरक हैं, अतः प्रत्येक 90° का होगा। इसलिए OM ⊥ AB।

Question 7

क्रियाकलाप : किसी क्रिया का अक्स कागज पर एक वृत्त खींचिए। इसकी दो बराबर जीवाएँ AB तथा CD खींचिए तथा इन पर केन्द्र O से लम्ब OM तथा ON भी बनाइए। आकृति को इस प्रकार मोड़िए कि D, B पर तथा C, A पर पड़े [देखिए आकृति 9.9 (i)]। आप पाएँगे कि O मोड़ के निशान पर पड़ता है और N, M पर पड़ता है। अतः, OM = ON है। इस क्रियाकलाप को केन्द्रों O तथा O' के सर्वांगसम वृत्त खींचकर और अलग-अलग बराबर जीवाएँ AB तथा CD लेकर दोहराएँ। उन पर लम्ब OM तथा O'N खींचिए [देखिए आकृति 9.9(ii)]। इनमें से एक वृत्ताकार चकती को काटकर दूसरे वृत्त पर इस प्रकार रखें कि AB, CD को पूर्ण रूप से ढक लें। तब आप पाएँगे कि O, O' पर पड़ता है तथा M, N पर पड़ता है। इस प्रकार, आपने निम्न को सत्यापित किया है:

प्रमेय 9.5: एक वृत्त की (या सर्वांगसम वृत्तों की) बराबर जीवाएँ केन्द्र से (या केन्द्रों से) समान दूरी पर होती है।

Accepted Answer

यह क्रियाकलाप दर्शाता है कि यदि दो जीवाएँ बराबर लंबाई की हैं, तो वे उनके केन्द्र से समान दूरी पर होती हैं। जब आप वृत्त को मोड़ते हैं या एक वृत्त को दूसरे पर इस प्रकार रखते हैं कि बराबर जीवाएँ पूरी तरह से ढक जाएँ, तो केन्द्र और जीवाओं पर खींची गई लंबों की समानता स्पष्ट हो जाती है। अतः, बराबर जीवाएँ केन्द्र से समान दूरी पर होती हैं। — वृत्त की दो बराबर जीवाएँ AB और CD लें। केन्द्र O से इन पर लंब OM और ON खींचें। जब आकृति को मोड़ा जाता है या एक वृत्त को दूसरे पर रखा जाता है, तो O और O' केन्द्रों तथा M और N पर स्थित बिंदु एक-दूसरे पर पड़ते हैं। इससे OM = ON सिद्ध होता है। इसलिए, बराबर जीवाएँ केन्द्र से समान दूरी पर होती हैं।

Question 8

अब यह देखा जाए कि क्या इसका विलोम सत्य है अथवा नहीं। इसके लिए केन्द्र O वाला एक वृत्त खींचिए। केन्द्र O से वृत्त के भीतर रहने वाले दो बराबर लम्बाई के रेखाखंड OL तथा OM खींचिए [देखिए आकृति 9.10(i)]। अब क्रमशः दो जीवाएँ PQ और RS खींचिए जो OL और OM पर लम्ब हों [देखिए आकृति 9.10(ii)]। PQ और RS की लम्बाइयाँ मापिए। क्या ये असमान हैं? नहीं, दोनों बराबर हैं। क्रियाकलाप को और अधिक समान रेखाखंडों तथा उन पर लम्ब जीवाएँ खींचकर दोहराइए। इस प्रकार, प्रमेय 9.5 का विलोम सत्यापित हो जाता है, जिसका कथन नीचे दिया गया है:

प्रमेय 9.6: एक वृत्त के केन्द्र से समदूरस्थ जीवाएँ लम्बाई में समान होती हैं।

Accepted Answer

यह क्रियाकलाप दर्शाता है कि यदि दो रेखाखंड OL और OM की लंबाई बराबर है, तो उन पर खींची गई लंबी जीवाएँ PQ और RS भी बराबर होंगी। इससे प्रमेय 9.6 सिद्ध होता है कि वृत्त के केन्द्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएँ लंबाई में समान होती हैं। — वृत्त के केन्द्र O से दो बराबर लंबाई के रेखाखंड OL और OM खींचे। इनके ऊपर लंब जीवाएँ PQ और RS खींची। PQ और RS की लंबाई मापने पर दोनों बराबर मिलीं। यह क्रियाकलाप कई बार दोहराने पर भी सत्य रहता है। अतः, प्रमेय 9.6 सिद्ध होता है कि केन्द्र से समदूरस्थ जीवाएँ लंबाई में समान होती हैं।

Question 9

उदाहरण 1: यदि एक वृत्त की दो प्रतिच्छेदी जीवाएँ प्रतिच्छेद बिन्दु से जाने वाले व्यास से समान कोण बनाएँ, तो सिद्ध कीजिए कि वे जीवाएँ बराबर हैं।

हल: दिया है कि एक वृत्त, जिसका केन्द्र O है, की दो जीवाएँ AB और CD बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करती हैं। E से जाने वाला PQ एक ऐसा व्यास है कि ∠AEQ = ∠DEQ है (देखिए आकृति 9.11)।

आपको सिद्ध करना है कि AB = CD है। जीवाओं AB और CD पर क्रमशः OL तथा OM लम्ब खींचिए। अब,

$$
\begin{array}{l}
\angle LOE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle LEO = 90^{\circ} - \angle LEO \quad (	ext{त्रिभुज के कोणों के योग का गुण}) \
= 90^{\circ} - \angle AEQ = 90^{\circ} - \angle DEQ \
= 90^{\circ} - \angle MEO = \angle MOE \
\end{array}
$$

त्रिभुजों OLE तथा OME में,

$$
\begin{array}{l}
\angle LEO = \angle MEO \quad (	ext{दिया है}) \
\angle LOE = \angle MOE \quad (	ext{ऊपर सिद्ध किया है}) \
EO = EO \quad (	ext{उभयनिष्ठ}) \
\end{array}
$$

अतः,

$$
\Delta OLE \cong \Delta OME \quad (	ext{क्यों?})
$$

इससे प्राप्त होता है:

$$
OL = OM \quad (	ext{CPCT})
$$

इसलिए,

$$
AB = CD \quad (	ext{क्यों?})
$$

Accepted Answer

सिद्धांत:

1. त्रिभुज OLE और OME में,

- ∠LEO = ∠MEO (दिया है)
- ∠LOE = ∠MOE (ऊपर सिद्ध किया है)
- EO = EO (उभयनिष्ठ)

इसलिए, दो कोण और उनके बीच की भुजा समान होने से (ASA) ΔOLE ≅ ΔOME

2. समरूप त्रिभुजों में समकक्ष भुजाएँ समान होती हैं, अतः OL = OM

3. OL और OM क्रमशः AB और CD पर खींची गई लंबाएँ हैं। चूंकि OL = OM, इसलिए AB = CD

अतः, यदि दो प्रतिच्छेदी जीवाएँ प्रतिच्छेद बिन्दु से जाने वाले व्यास से समान कोण बनाती हैं, तो वे बराबर होती हैं। — त्रिभुज OLE और OME में दो कोण (LEO और MEO) समान हैं। LOE और MOE भी समान हैं क्योंकि ये 90° - ∠AEQ के बराबर हैं। EO दोनों त्रिभुजों में समान भुजा है। इसलिए ASA समरूपता से त्रिभुज OLE और OME समरूप हैं। समरूप त्रिभुजों के अनुसार OL = OM। चूंकि OL और OM क्रमशः AB और CD पर लंब खींचे गए हैं, इसलिए AB = CD।

Question 10

cm तथा 3 cm त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा उनके केन्द्रों के बीच की दूरी 4 cm है। उभयनिष्ठ जीवा को लम्बाई ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

दो वृत्तों के केन्द्रों के बीच की दूरी 4 cm है। त्रिज्या r1 = 5 cm, r2 = 3 cm। दो वृत्त दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, अतः उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई ज्ञात करनी है।

उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई = 2 × √(r1² - d²/4), जहाँ d = केन्द्रों के बीच की दूरी।

यहाँ, d = 4 cm

लम्बाई = 2 × √(5² - (4²)/4) = 2 × √(25 - 16/4) = 2 × √(25 - 4) = 2 × √21 = 2 × 4.58 = 9.16 cm

अतः उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई लगभग 9.16 cm है। — दो वृत्तों के केन्द्रों के बीच की दूरी d = 4 cm है।

उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई = 2 × √(r1² - (d²/4))

= 2 × √(25 - 16/4) = 2 × √(25 - 4) = 2 × √21

= 2 × 4.58 = 9.16 cm

इस प्रकार, उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई लगभग 9.16 cm है।

Question 11

यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के खंड दूसरी जीवा के संगत खंडों के बराबर हैं।

Accepted Answer

मान लीजिए कि दो समान जीवाएँ AB और CD वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करती हैं। चूँकि जीवाएँ समान हैं, अतः AB = CD।

जीवाओं के खंडों की तुलना करें। चूंकि दोनों जीवाएँ बराबर हैं और वे वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करती हैं, इसलिए उनके खंड (segments) भी बराबर होंगे।

इसका कारण यह है कि समान जीवाएँ समान चापों को काटती हैं और समान चापों के खंड बराबर होते हैं। अतः सिद्ध होता है कि एक जीवा के खंड दूसरी जीवा के संगत खंडों के बराबर हैं। — दो समान जीवाएँ समान चापों को काटती हैं।

समान चापों के खंड बराबर होते हैं।

इसलिए, एक जीवा के खंड दूसरी जीवा के संगत खंडों के बराबर हैं।

Question 12

यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद बिन्दु को केन्द्र से मिलाने वाली रेखा जीवाओं से बराबर कोण बनाती है।

Accepted Answer

मान लीजिए कि दो समान जीवाएँ AB और CD वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करती हैं और उनका प्रतिच्छेद बिन्दु P है।

O केन्द्र है। रेखा OP को देखें। हमें सिद्ध करना है कि OP, AB और CD दोनों जीवाओं से बराबर कोण बनाता है।

चूंकि AB = CD (समान जीवाएँ), और P दोनों जीवाओं पर है, अतः त्रिभुज OPA और OPD में OA = OC (त्रिज्या), AP = DP (प्रतिच्छेद बिन्दु पर), और OP सामान्य है।

इसलिए, त्रिभुज OPA और OPD समद्विबाहु त्रिभुज हैं, अतः OP दोनों जीवाओं से बराबर कोण बनाता है। — दो समान जीवाएँ AB और CD हैं, जो बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।

त्रिभुज OPA और OPD में OA = OC (त्रिज्या), AP = DP (प्रतिच्छेद बिन्दु पर), OP सामान्य।

इसलिए, त्रिभुज OPA और OPD समद्विबाहु हैं।

अतः OP दोनों जीवाओं से बराबर कोण बनाता है।

Question 13

यदि एक रेखा दो संकेन्द्री वृत्तों (एक ही केन्द्र वाले वृत्त) को, जिनका केन्द्र O है, A, B, C और D पर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए AB = CD है (देखिए आकृति 9.12)।

Accepted Answer

दो संकेन्द्री वृत्तों के केन्द्र O है। एक रेखा उन्हें A, B, C और D पर प्रतिच्छेद करती है।

चूंकि वृत्त संकेन्द्री हैं, अतः OA = OC (छोटे वृत्त की त्रिज्या), OB = OD (बड़े वृत्त की त्रिज्या)।

त्रिभुज OAB और OCD पर विचार करें।

OA = OC, OB = OD, और O एक सामान्य बिन्दु है।

इसलिए, त्रिभुज OAB और OCD समानांतर हैं, जिससे AB = CD सिद्ध होता है। — दो संकेन्द्री वृत्तों के केन्द्र O है।

OA = OC, OB = OD

त्रिभुज OAB और OCD में दो भुजाएँ समान हैं और O सामान्य है।

इसलिए, AB = CD।

Question 14

एक पार्क में बने 5 m त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियाँ रेशमा, सलमा एवं मनदीप खेल रही हैं। रेशमा एक गेंद को सलमा के पास, सलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फेंकती है। यदि रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के बीच की प्रत्येक दूरी 6 m हो, तो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी क्या है?

Accepted Answer

त्रिज्या r = 5 m है। तीन लड़कियाँ वृत्त की परिधि पर हैं।

रेशमा से सलमा की दूरी = 6 m
सलमा से मनदीप की दूरी = 6 m

हमें रेशमा से मनदीप की दूरी ज्ञात करनी है।

चूँकि वे वृत्त की परिधि पर हैं, त्रिज्या ज्ञात है, और दो दूरी 6 m हैं, तो त्रिभुज के तीनों पक्ष ज्ञात करने के लिए हम चापों और कोणों का उपयोग कर सकते हैं।

यहाँ, त्रिज्या 5 m है, और दो भुजाएँ 6 m हैं।

त्रिभुज के तीसरे पक्ष (रेशमा-मनदीप) को x मानते हैं।

त्रिभुज के कोणों का उपयोग करते हुए, हम कॉसाइन नियम लगाते हैं:

x² = 6² + 6² - 2 × 6 × 6 × cos θ

जहाँ θ वह कोण है जो 5 m त्रिज्या के वृत्त में संबंधित चाप के लिए होगा।

परंतु यहाँ, चूँकि तीन बिन्दु वृत्त की परिधि पर हैं, और दो भुजाएँ समान हैं, त्रिभुज समद्विबाहु होगा।

इसलिए, रेशमा-मनदीप की दूरी भी 6 m होगी। — तीन लड़कियाँ वृत्त की परिधि पर हैं।

रेशमा-सलमा = 6 m, सलमा-मनदीप = 6 m

त्रिभुज समद्विबाहु है, अतः रेशमा-मनदीप की दूरी भी 6 m होगी।

Question 15

m त्रिज्या का एक गोल पार्क (वृत्ताकार) एक कालोनी में स्थित है। तीन लड़के अंकुर, सैय्यद तथा डेविड इसकी परिसीमा पर बराबर दूरी पर बैठे हैं और प्रत्येक के हाथ में एक खिलौना टेलीफोन आपस में बात करने के लिए है। प्रत्येक फोन की डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

त्रिज्या r = 20 m है। तीन लड़के वृत्त की परिसीमा पर बराबर दूरी पर बैठे हैं, अतः वे एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक भुजा की लम्बाई ज्ञात करनी है।

त्रिज्या r = 20 m

त्रिभुज के प्रत्येक कोण = 60°

त्रिभुज की भुजा की लम्बाई = 2r × sin(60°/2) = 2 × 20 × sin 30° = 40 × 0.5 = 20 m

अतः प्रत्येक फोन की डोरी की लम्बाई 20 m है। — तीन लड़के वृत्त की परिसीमा पर बराबर दूरी पर हैं, अतः वे समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

त्रिज्या r = 20 m

त्रिभुज की भुजा = 2r × sin(60°/2) = 20 m

इसलिए, प्रत्येक फोन की डोरी की लम्बाई 20 m है।

Chapter 9

Chapter 9 — अध्ययन नोट्स

9.1 जीवा द्वारा एक बिन्दु पर अंतरित कोण

9.2 केन्द्र से जीवा पर लम्ब

9.3 समान जीवाएँ और उनकी केन्द्र से दूरियाँ

अभ्यास प्रश्न — Chapter 9

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