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वृत्त | Class 9 Mathematics Notes

द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 3 मिनट का पठन

वृत्त – this guide gives you a concise, exam-ready overview of वृत्त from Class 9 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.

9.5 चक्रीय चतुर्भुज

इस अनुभाग में हम चक्रीय चतुर्भुज की परिभाषा, गुण और संबंधित प्रमेयों का अध्ययन करेंगे।

चक्रीय चतुर्भुज वह चतुर्भुज होता है जिसके चारों शीर्ष एक ही वृत्त पर स्थित होते हैं। विभिन्न चक्रीय चतुर्भुज खींचकर उनके सम्मुख कोणों को मापने पर पाया गया कि उनके सम्मुख कोणों के प्रत्येक युग्म का योग 180° होता है (प्रमेय 9.10)।

इसके विपरीत, यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के एक युग्म का योग 180° हो, तो वह चतुर्भुज चक्रीय होता है (प्रमेय 9.11)।

इस अनुभाग में कई उदाहरण दिए गए हैं, जिनमें चक्रीय चतुर्भुज के विभिन्न गुणों को सिद्ध किया गया है। जैसे कि व्यास और त्रिज्या के आधार पर कोणों का निर्धारण, विकर्णों के द्वारा बने कोणों का मान, और अंत:कोणों के समद्विभाजकों से बने चतुर्भुज का चक्रीय होना।

यह अनुभाग चक्रीय चतुर्भुज की ज्यामितीय संरचना और उनके कोणों के संबंध को गहराई से समझाता है, जो समतल ज्यामिति में अत्यंत महत्वपूर्ण है।

📊 Diagram: आकृति 9.18; आकृति 9.19; आकृति 9.20; आकृति 9.21; आकृति 9.22; Table on page 12 (7×7)

🧪 Activity: विभिन्न चक्रीय चतुर्भुज खींचकर उनके सम्मुख कोणों को मापना और उनके योग की तुलना करना।

🔗 Connection: यह अनुभाग चक्रीय चतुर्भुज के गुणों को समझाने के बाद, अगले अनुभाग में प्रश्नावली के माध्यम से अभ्यास और सिद्धांतों का पुनरावलोकन करता है।

Table on page 12 (7×7)

चतुर्भुज की क्रम संख्या	∠A	∠B	∠C	∠D	∠A+∠C	∠B+∠D
1.
2.
3.
4.
5.
6.

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

बहुविकल्पीय प्रश्न अवधारणा - समान जीवाएं तथा उनकी केंद्र से दूरियां एक वृत्त की त्रिज्या 13 सेमी है और एक जीवा की लम्बाई 10 सेमी है तो जीवा की वृत्त के केंद्र से दूरी निम्न में से क्या होगी?

12 सेमी

बहुविकल्पीय प्रश्न अवधारणा - समान जीवाएं तथा उनकी केंद्र से दूरियां एक वृत्त की जीवा की, वृत्त के केंद्र से दूरी 8 सेमी है और वृत कि त्रिज्या 17 सेमी है तो जीवा की लम्बाई निम्न में से क्या होगी?

30 सेमी

बहुविकल्पीय प्रश्न अवधारणा - एक वृत्त का चाप द्वारा अंतरित कोण एक ही वृत्तखंड के कोण निम्न में से क्या होते हैं?

बराबर

1. याद कीजिए कि दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं, यदि उनकी त्रिन्याएँ बराबर हों। सिद्ध कीजिए कि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।

सिद्धांत: यदि दो वृत्त सर्वांगसम हैं, अर्थात् उनकी त्रिज्याएँ बराबर हैं, तो उनकी बराबर जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।

सिद्ध करने के लिए: मान लीजिए दो वृत्त हैं जिनके केन्द्र क्रमशः O और O' हैं और त्रिज्याएँ बराबर हैं। दोनों वृत्तों की बराबर जीवाएँ AB और A'B' हैं।

चूंकि दोनों वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर हैं, अतः OA = O' A' और OB = O' B' हैं।

अब, चूंकि AB = A'B' (जीवाएँ बराबर हैं), त्रिभुज OAB और O'A'B' सर्वांगसम होंगे। अतः,

∠AOB = ∠A' O' B'

इस प्रकार, बराबर जीवाएँ उनके

इस अध्याय में महारत हासिल करें

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