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चतुर्भुज | Class 9 Mathematics Notes

द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 3 मिनट का पठन

चतुर्भुज – this guide gives you a concise, exam-ready overview of चतुर्भुज from Class 9 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.

8.1 समांतर चतुर्भुज के गुण

चतुर्भुज वह बहुभुज है जिसमें चार भुजाएँ, चार कोण और चार शीर्ष होते हैं। समांतर चतुर्भुज एक विशेष प्रकार का चतुर्भुज है जिसमें सम्मुख भुजाएँ समानांतर होती हैं। कक्षा आठ में आपने चतुर्भुजों के प्रकारों का अध्ययन किया है। इस अनुभाग में हम समांतर चतुर्भुज के गुणों का विस्तार से अध्ययन करेंगे।

सबसे पहले, एक समांतर चतुर्भुज ABCD लें जिसमें AB || DC और AD || BC हैं। यदि हम इसका एक विकर्ण AC खींचें, तो यह चतुर्भुज दो त्रिभुजों ABC और CDA में विभाजित हो जाता है। इन दोनों त्रिभुजों के बारे में हम देखेंगे कि वे सर्वांगसम (congruent) हैं।

सिद्धांत 8.1 के अनुसार, समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है। इसका प्रमाण ASA (कोण-भुजा-कोण) नियम द्वारा किया जाता है। यहाँ, BC || AD होने के कारण ∠BCA = ∠DAC (एकांतर कोण), AB || DC होने के कारण ∠BAC = ∠DCA (एकांतर कोण) और AC = CA (उभयनिष्ठ) होता है। अतः ΔABC ≅ ΔCDA।

इसके अतिरिक्त, समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। अर्थात् AB = DC और AD = BC। यह प्रमेय 8.2 के रूप में जाना जाता है। इसका विलोम भी सत्य है, अर्थात् यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर हों, तो वह समांतर चतुर्भुज होगा (प्रमेय 8.3)।

समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं (प्रमेय 8.4)। इसका विलोम भी सत्य है (प्रमेय 8.5)।

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं (प्रमेय 8.6)। इसका विलोम भी सत्य है (प्रमेय 8.7)। इसका अर्थ है कि यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, तो वह समांतर चतुर्भुज होगा।

इस अनुभाग में हमने समांतर चतुर्भुज के मुख्य गुणों को विस्तार से समझा और उनके प्रमाण भी देखे।

📊 Diagram: आकृति 8.1: समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा बनने वाले दो त्रिभुज; आकृति 8.2: समांतर चतुर्भुज ABCD और उसके विकर्ण AC द्वारा बने त्रिभुज ABC और CDA; आकृति 8.3: समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD जो परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

🧪 Activity: कागज पर समांतर चतुर्भुज बनाकर उसके विकर्ण के अनुसार काटना और प्राप्त त्रिभुजों को मिलाकर उनकी समानता देखना।

🔗 Connection: यह अनुभाग समांतर चतुर्भुज के गुणों को समझने के बाद आयत, वर्ग और समचतुर्भुज जैसे विशेष चतुर्भुजों के गुणों की ओर ले जाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

यदि एक समांतर चतुर्भुज (parallelogram) के दो कोण (2x)° और (3x - 40)° हैं। तो x का मान ज्ञात कीजिए।

44°

एक चतुर्भुज (quadrilateral) में, यदि सम्मुख भुजाओं (opposite sides) का एक युग्म समांतर (parallel) है और सम्मुख भुजाओं (opposite sides) का एक युग्म बराबर (equal) है, तो यह किस प्रकार का चतुर्भुज (quadrilateral) है?

समद्विभुज समलंब (isosceles trapezium)

एक चतुर्भुज में अधिकतम कितने आधिक कोण (obtuse angles) हो सकते हैं?

□ ABCD एक समचतुर्भुज (rhombus) है और ∠C = 127° है, फिर ∠A, ∠B और ∠D का माप ज्ञात करें।

∠A = 127°, ∠B = 53° और ∠D = 53°

इस अध्याय में महारत हासिल करें

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