Chapter 8
Chapter 8 — अध्ययन नोट्स
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8.1 समांतर चतुर्भुज के गुण
व्याख्या8.1 समांतर चतुर्भुज के गुण
चतुर्भुज वह बहुभुज है जिसमें चार भुजाएँ, चार कोण और चार शीर्ष होते हैं। समांतर चतुर्भुज एक विशेष प्रकार का चतुर्भुज है जिसमें सम्मुख भुजाएँ समानांतर होती हैं। कक्षा आठ में आपने चतुर्भुजों के प्रकारों का अध्ययन किया है। इस अनुभाग में हम समांतर चतुर्भुज के गुणों का विस्तार से अध्ययन करेंगे। सबसे पहले, एक समांतर चतुर्भुज ABCD लें जिसमें AB || DC और AD || BC हैं। यदि हम इसका एक विकर्ण AC खींचें, तो यह चतुर्भुज दो त्रिभुजों ABC और CDA में विभाजित हो जाता है। इन दोनों त्रिभुजों के बारे में हम देखेंगे कि वे सर्वांगसम (congruent) हैं। सिद्धांत 8.1 के अनुसार, समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है। इसका प्रमाण ASA (कोण-भुजा-कोण) नियम द्वारा किया जाता है। यहाँ, BC || AD होने के कारण ∠BCA = ∠DAC (एकांतर कोण), AB || DC होने के कारण ∠BAC = ∠DCA (एकांतर कोण) और AC = CA (उभयनिष्ठ) होता है। अतः ΔABC ≅ ΔCDA। इसके अतिरिक्त, समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। अर्थात् AB = DC और AD = BC। यह प्रमेय 8.2 के रूप में जाना जाता है। इसका विलोम भी सत्य है, अर्थात् यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर हों, तो वह समांतर चतुर्भुज होगा (प्रमेय 8.3)। समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं (प्रमेय 8.4)। इसका विलोम भी सत्य है (प्रमेय 8.5)। समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं (प्रमेय 8.6)। इसका विलोम भी सत्य है (प्रमेय 8.7)। इसका अर्थ है कि यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, तो वह समांतर चतुर्भुज होगा। इस अनुभाग में हमने समांतर चतुर्भुज के मुख्य गुणों को विस्तार से समझा और उनके प्रमाण भी देखे।
- समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समानांतर और बराबर होती हैं।
- समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।
- समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
- समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
- यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर हों तो वह समांतर चतुर्भुज होता है।
- यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करें तो वह समांतर चतुर्भुज होता है।
- 📌 चतुर्भुज: चार भुजाओं और चार कोणों वाला बहुभुज।
- 📌 समांतर चतुर्भुज: ऐसा चतुर्भुज जिसमें सम्मुख भुजाएँ समानांतर होती हैं।
- 📌 विकर्ण: चतुर्भुज के विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाली रेखा।
आयत और वर्ग
व्याख्याआयत और वर्ग
आयत और वर्ग समांतर चतुर्भुज के विशेष प्रकार हैं। आयत वह समांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी कोण 90° के होते हैं। इसका अर्थ है कि आयत के चारों कोण समकोण होते हैं। आयत के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं और बराबर होते हैं। इसका विलोम भी सत्य है, अर्थात् यदि किसी समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो वह आयत होगा। वर्ग एक ऐसा समांतर चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं और सभी कोण 90° के होते हैं। वर्ग के विकर्ण भी परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं और बराबर होते हैं। समचतुर्भुज (Rhombus) वह समांतर चतुर्भुज होता है जिसमें सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, परंतु सभी कोण 90° नहीं होते। समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्ब होते हैं। इस प्रकार, आयत, वर्ग और समचतुर्भुज समांतर चतुर्भुज के विशेष प्रकार हैं जिनके अपने विशिष्ट गुण होते हैं।
- आयत एक समांतर चतुर्भुज है जिसके सभी कोण 90° होते हैं।
- आयत के विकर्ण बराबर और परस्पर समद्विभाजित होते हैं।
- वर्ग एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर और सभी कोण 90° होते हैं।
- वर्ग के विकर्ण बराबर, परस्पर समद्विभाजित और परस्पर लम्ब होते हैं।
- समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, लेकिन उसके कोण 90° नहीं होते।
- समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्ब होते हैं।
- 📌 आयत: समांतर चतुर्भुज जिसके सभी कोण 90° हों।
- 📌 वर्ग: समांतर चतुर्भुज जिसकी सभी भुजाएँ बराबर और सभी कोण 90° हों।
- 📌 समचतुर्भुज: समांतर चतुर्भुज जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हों।
समलंब चतुर्भुज
व्याख्यासमलंब चतुर्भुज
समलंब चतुर्भुज वह चतुर्भुज होता है जिसमें दो सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि ABCD एक समलंब चतुर्भुज है, तो AB = CD या BC = DA हो सकता है। यह चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज नहीं भी हो सकता है। समलंब चतुर्भुज के कोणों और भुजाओं के गुण अलग-अल
अभ्यास प्रश्न — Chapter 8
NCERT अभ्यास प्रश्न और उत्तर सहित
Q1.निम्न में से कौन सी आकृति में चक्रीय चतुर्भुज (cyclic quadrillateral) है?
उत्तर:
Images_H/Grade 9/Chapter 10/G9C10VT9Q1_4.JPG
व्याख्या:
[{"id": "e9cf2ddf-d02b-4862-83bf-3c449b17e77a", "type": "html", "value": " यदि किसी चतुर्भुज के चारों शीर्ष (vertices) एक वृत्त पर हों तो वह चतुर्भुज, चक्रीय चतुर्भुज (cyclic quadrilateral) कहलाता है। ऐसा सिर्फ विकल्प 4 में हो रहा है कि चतुर्भुज के चारों शीर्ष एक वृत्त पर हैं। इसलिए विकल्प 4 सही है। "}]
Q2.चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों (opposite angles) के दोनों युग्म में हर एक का योग______
उत्तर:
180⁰
व्याख्या:
[{"id": "7b6a382e-73b3-4565-b6b6-b4029545c563", "type": "html", "value": " चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण (opposite angles) के एक युग्म का योग 180 ° होता है और चारों कोणों का योग 360 ° होता है। इसलिए, विकल्प 3 सही उत्तर है। "}]
Q3.बहुविकल्पीय प्रश्न अवधारणा - चतुर्भुज का कोण योग गुण एक चतुर्भुज ABCD में, यदि AO, ∠ A का तथा BO, ∠ B का समद्विभाजक है, ∠ C = 70° और ∠ D= 30° है तो ∠ AOB का मान निम्न में से क्या है?
उत्तर:
50°
Q4.बहुविकल्पीय प्रश्न अवधारणा - समांतर चतुर्भुज के गुण एक समांतर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजित निम्न में से क्या बनाते हैं?
उत्तर:
आयत
Q5.बहुविकल्पीय प्रश्न अवधारणा - समांतर चतुर्भुज के गुण समांतर चतुर्भुज के लिए निम्न में से क्या सत्य नहीं है?
उत्तर:
विकर्ण सम्मुख कोणों को समद्विभाजित करते हों।
Q6.बहुविकल्पीय प्रश्न अवधारणा - चतुर्भुज के प्रकार यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं तो वह चतुर्भुज निम्न में से क्या होगा?
उत्तर:
समचतुर्भुज
Q7.बहुविकल्पीय प्रश्न अवधारणा - चतुर्भुज का कोण योग गुण एक चतुर्भुज के तीन कोण 80°, 95° तथा 112° है। तो चतुर्भुज का चौथा कोण निम्न में से कौन सा होगा?
उत्तर:
73°
Q8.एक चतुर्भुज (quadrilateral) में, यदि सम्मुख भुजाओं (opposite sides) का एक युग्म समांतर (parallel) है और सम्मुख भुजाओं (opposite sides) का एक युग्म बराबर (equal) है, तो यह किस प्रकार का चतुर्भुज (quadrilateral) है?
उत्तर:
समद्विभुज समलंब (isosceles trapezium)
व्याख्या:
[{"id": "de05fe21-c308-4480-b6e0-1607a2f07eff", "type": "html", "value": " एक चतुर्भुज (quadrilateral) में, यदि सम्मुख भुजाओं (opposite sides) का एक युग्म समांतर (parallel) होता है और सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर (equal) होता है, तो इसे समद्विभुज समलंब (isosceles trapezium) कहा जाता है। कृपया ध्यान दें कि यह उल्लेख नहीं किया गया है कि सम्मुख भुजाओं के एक ही युग्म समांतर और बराबर हैं। "}]