यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय | Class 9 Mathematics Notes

5.2 यूक्लिड की परिभाषाएँ, अभिगृहीत और अभिधारणाएँ

यूक्लिड ने ज्यामिति की शुरुआत कुछ मूलभूत परिभाषाओं से की, जिनमें बिंदु, रेखा, पृष्ठ आदि शामिल हैं। उन्होंने बिंदु को ऐसा वस्तु बताया जिसका कोई भाग नहीं होता, रेखा को चौड़ाई रहित लम्बाई, और पृष्ठ को केवल लम्बाई और चौड़ाई वाला क्षेत्र कहा। परन्तु इन परिभाषाओं में कुछ शब्द जैसे 'भाग', 'चौड़ाई', 'लम्बाई' स्पष्ट नहीं थे, इसलिए गणितज्ञों ने बिंदु, रेखा और तल को अपरिभाषित (undefined) शब्द माना।

इसके बाद यूक्लिड ने कुछ सामान्य सत्य कथनों को अभिगृहीत (axioms) और ज्यामिति से संबंधित विशेष कथनों को अभिधारणाएँ (postulates) कहा। अभिगृहीत वे सार्वभौमिक सत्य हैं जिन्हें सिद्ध नहीं किया जाता, जैसे समान वस्तुएँ एक-दूसरे के बराबर होती हैं, पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है आदि। अभिधारणाएँ ज्यामिति के मूल नियम हैं, जैसे दो बिंदुओं के बीच एक रेखा खींची जा सकती है, एक रेखाखंड को अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है, किसी केंद्र और त्रिज्या से वृत्त बनाया जा सकता है, सभी समकोण बराबर होते हैं, और पाँचवीं अभिधारणा जो दो रेखाओं के अंतःकोणों के योग पर आधारित है।

यूक्लिड की अभिधारणाएँ और अभिगृहीत गणितीय तर्क के आधार हैं जिनसे प्रमेय (theorems) सिद्ध किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि तीन बिंदु एक रेखा पर हैं और एक बिंदु बीच में है, तो दो रेखाखंडों का योग तीसरे के बराबर होता है। यूक्लिड ने समबाहु त्रिभुज की रचना भी अभिधारणाओं का उपयोग करके दिखाई।

प्रमेय 5.1 में सिद्ध किया गया कि दो भिन्न रेखाओं में एक से अधिक बिंदु उभयनिष्ठ नहीं हो सकता, क्योंकि इससे दो भिन्न बिंदुओं से दो अलग रेखाएँ बनतीं जो अभिगृहीत के विरुद्ध है।

इस प्रकार, यूक्लिड की ज्यामिति की नींव परिभाषाएँ, अभिगृहीत, अभिधारणाएँ और प्रमेय हैं, जो गणितीय तर्क के माध्यम से एक-दूसरे से जुड़े हैं।

📊 Diagram: थेल्स; यूक्लिड; आकृति 5.4; आकृति 5.5; आकृति 5.6; आकृति 5.8

🧪 Activity: यू‍क्लिड की अभिधारणाओं का प्रयोग कर समबाहु त्रिभुज की रचना।

🔗 Connection: अगले खंड में अभिधारणाओं के प्रयोग से प्रमेयों के सिद्धांत और अभ्यास प्रश्नों पर चर्चा होगी।