रैखिक प्रोग्रामन | Class 12 Mathematics Notes
द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 5 मिनट का पठन
रैखिक प्रोग्रामन – this guide gives you a concise, exam-ready overview of रैखिक प्रोग्रामन from Class 12 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.
12.1 भूमिका (Introduction)
इस अनुभाग में रैखिक प्रोग्रामन की भूमिका और महत्व को विस्तार से समझाया गया है। कक्षा XI में हमने दो चर राशियों वाले रैखिक असमिकाओं और उनके आलेखीय निरूपण से संबंधित अवधारणाएँ सीखी हैं। रैखिक प्रोग्रामन उन समस्याओं को हल करने की विधि है जिनमें उद्देश्य फलन (जैसे लाभ, लागत) का अधिकतम या न्यूनतम मान ज्ञात करना होता है, जबकि कुछ रैखिक असमिकाएँ या समीकरण व्यवरोध के रूप में होते हैं।
यह अध्याय वास्तविक जीवन की समस्याओं को गणितीय रूप में व्यक्त कर उन्हें हल करने की प्रक्रिया पर केंद्रित है। उदाहरण स्वरूप, एक फर्नीचर व्यापारी के पास सीमित धनराशि और संग्रहण स्थान होता है, जिसके तहत वह मेज और कुर्सी खरीदने का निर्णय करता है ताकि उसका लाभ अधिकतम हो। इस प्रकार की समस्याएँ जिन्हें इष्टतमकारी समस्याएँ कहा जाता है, रैखिक प्रोग्रामन की श्रेणी में आती हैं।
रैखिक प्रोग्रामन का उपयोग उद्योग, वाणिज्य, प्रबंधन विज्ञान आदि क्षेत्रों में व्यापक रूप से होता है क्योंकि ये समस्याएँ संसाधनों के कुशल उपयोग और लाभ के अधिकतमकरण में सहायक होती हैं। इस अध्याय में हम रैखिक प्रोग्रामन की मूल अवधारणाओं के साथ-साथ आलेखीय विधि द्वारा समस्याओं के हल का अध्ययन करेंगे।
📊 Diagram: See figure_1: L. Kantorovich
🧪 Activity: इस अनुभाग में कोई विशेष गतिविधि नहीं है।
🔗 Connection: यह भूमिका रैखिक प्रोग्रामन समस्या के गणितीय सूत्रीकरण की ओर ले जाती है, जहाँ हम वास्तविक समस्या को गणितीय रूप में व्यक्त करना सीखेंगे।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
आलेख द्वारा निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए: निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत $$ x + y \leq 50 \quad \dots (1) $$ $$ 3x + y \leq 90 \quad \dots (2) $$ $$ x \geq 0, y \geq 0 \quad \dots (3) $$ Z = 4x + y का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए:
हल: आकृति 12.2 में छायांकित क्षेत्र (1) से (3) के व्यवरोधों के निकाय के द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र है। हम निरीक्षण करते हैं कि सुसंगत क्षेत्र OABC परिबद्ध है। इसलिए हम Z का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए कोनीय बिंदु विधि का उपयोग करेंगे।
कोनीय बिंदु और Z के मान:
| कोनीय बिंदु | Z के संगत मान |
|---|---|
| (0, 0) | 0 |
| (30, 0) | 120 ← अधिकतम |
| (20, 30) | 110 |
| (0, 50) | 50 |
कॉनीय बिंदुओं O, A, B और C के निर्देशां
ग्राफ्रीय विधि से निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को हल कीजिए: 1. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 3x + 4y का अधिकतमीकरण कीजिए: $$ x + y \leq 4, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0 $$ 2. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = -3x + 4y का न्यूनतमीकरण कीजिए: $$ x + 2y \leq 8, \quad 3x + 2y \leq 12, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0 $$ 3. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 5x + 3y का अधिकतमीकरण कीजिए: $$ 3x + 5y \leq 15, \quad 5x + 2y \leq 10, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0 $$ 4. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 3x + 5y का न्यूनतमीकरण कीजिए: $$ x + 3y \geq 3, \quad x + y \geq 2, \quad x, \quad y \geq 0 $$ 5. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 3x + 2y का न्यूनतमीकरण कीजिए: $$ x + 2y \leq 10, \quad 3x + y \leq 15, \quad x, \quad y \geq 0 $$ 6. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण कीजिए: $$ 2x + y \geq 3, \quad x + 2y \geq 6, \quad x, \quad y \geq 0 $$ दिखाइए कि Z का न्यूनतम मान दो बिंदुओं से अधिक बिंदुओं पर घटित होता है। 7. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 5x + 10y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए: $$ x + 2y \leq 120, \quad x + y \geq 60, \quad x - 2y \geq 0, \quad x, \quad y \geq 0 $$ 8. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए: $$ x + 2y \geq 100, \quad 2x - y \leq 0, \quad 2x + y \leq 200; \quad x, \quad y \geq 0 $$ 9. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = -x + 2y का अधिकतमीकरण कीजिए: $$ x \geq 3, \quad x + y \geq 5, \quad x + 2y \geq 6, \quad y \geq 0 $$ 10. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = x + y का अधिकतमीकरण कीजिए: $$ x - y \leq -1, \quad -x + y \leq 0, \quad x, \quad y \geq 0 $$
प्रश्न 1 से 10 तक के लिए ग्राफीय विधि द्वारा समाधान:
सामान्य विधि: 1. दिए गए अवरोधों को ग्राफ पर रेखांकित करें। 2. छेत्रफल (feasible region) निर्धारित करें जो सभी अवरोधों को संतुष्ट करता हो। 3. छेत्रफल के शीर्ष बिंदुओं (corner points) का पता लगाएं। 4. प्रत्येक शीर्ष बिंदु पर उद्देश्य फलन Z का मान निकालें। 5. अधिकतम या न्यूनतम मान चुनें जैसा प्रश्न में मांगा गया हो।
नीचे प्रत्येक प्रश्न का संक्षिप्त समाधान दिया गया है:
प्रश्न 1: अवरोध: x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 छेत्रफल: x-अक्ष, y-अक्ष और रेखा x
रैखिक प्रोग्रामन समस्या में उद्देश्य फलन क्या होता है और इसे किस प्रकार व्यक्त किया जाता है?
उद्देश्य फलन वह रैखिक फलन होता है जिसे अधिकतम या न्यूनतम करना होता है। इसे $Z = ax + by$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ $a$ और $b$ अचर हैं और $x$, $y$ निर्णायक चर होते हैं। उदाहरण के लिए, फर्नीचर व्यापारी की समस्या में $Z = 250x + 75y$ उद्देश्य फलन है।
निम्नलिखित में से कौन सा कथन रैखिक प्रोग्रामन समस्या के सुसंगत क्षेत्र के लिए सही है? A) सुसंगत क्षेत्र सदैव उत्तल बहुभुज होता है। B) सुसंगत क्षेत्र में कोई भी बिंदु असुसंगत हल कहलाता है। C) सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध क्षेत्र होता है। D) सुसंगत क्षेत्र में केवल एक बिंदु होता है।
सुसंगत क्षेत्र सदैव उत्तल बहुभुज होता है।
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