Question 1

आलेख द्वारा निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए:

निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत

$$
x + y \leq 50 \quad \dots (1)
$$

$$
3x + y \leq 90 \quad \dots (2)
$$

$$
x \geq 0, y \geq 0 \quad \dots (3)
$$

Z = 4x + y का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए:

Accepted Answer

हल:
आकृति 12.2 में छायांकित क्षेत्र (1) से (3) के व्यवरोधों के निकाय के द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र है। हम निरीक्षण करते हैं कि सुसंगत क्षेत्र OABC परिबद्ध है। इसलिए हम Z का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए कोनीय बिंदु विधि का उपयोग करेंगे।

कोनीय बिंदु और Z के मान:

| कोनीय बिंदु | Z के संगत मान |
|-------------|---------------|
| (0, 0)      | 0             |
| (30, 0)     | 120 ← अधिकतम  |
| (20, 30)    | 110           |
| (0, 50)     | 50            |

कॉनीय बिंदुओं O, A, B और C के निर्देशांक क्रमश: (0, 0), (30, 0), (20, 30) और (0, 50) हैं। अब प्रत्येक कॉनीय बिंदु पर Z का मान ज्ञात करते हैं।

अत: बिंदु (30, 0) पर Z का अधिकतम मान 120 है। — 1. व्यवरोधों के अनुसार सुसंगत क्षेत्र का आरेख बनाएं।
2. सुसंगत क्षेत्र के कोनीय बिंदु ज्ञात करें: (0,0), (30,0), (20,30), (0,50)।
3. प्रत्येक कोनीय बिंदु पर उद्देश्य फलन Z=4x + y का मान निकालें।
4. अधिकतम मान 120 है जो बिंदु (30,0) पर प्राप्त होता है।

Question 2

ग्राफ्रीय विधि से निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को हल कीजिए:

1. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 3x + 4y का अधिकतमीकरण कीजिए:
$$
x + y \leq 4, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0
$$

2. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = -3x + 4y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
$$
x + 2y \leq 8, \quad 3x + 2y \leq 12, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0
$$

3. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 5x + 3y का अधिकतमीकरण कीजिए:
$$
3x + 5y \leq 15, \quad 5x + 2y \leq 10, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0
$$

4. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 3x + 5y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
$$
x + 3y \geq 3, \quad x + y \geq 2, \quad x, \quad y \geq 0
$$

5. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 3x + 2y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
$$
x + 2y \leq 10, \quad 3x + y \leq 15, \quad x, \quad y \geq 0
$$

6. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
$$
2x + y \geq 3, \quad x + 2y \geq 6, \quad x, \quad y \geq 0
$$

दिखाइए कि Z का न्यूनतम मान दो बिंदुओं से अधिक बिंदुओं पर घटित होता है।

7. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 5x + 10y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए:
$$
x + 2y \leq 120, \quad x + y \geq 60, \quad x - 2y \geq 0, \quad x, \quad y \geq 0
$$

8. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए:
$$
x + 2y \geq 100, \quad 2x - y \leq 0, \quad 2x + y \leq 200; \quad x, \quad y \geq 0
$$

9. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = -x + 2y का अधिकतमीकरण कीजिए:
$$
x \geq 3, \quad x + y \geq 5, \quad x + 2y \geq 6, \quad y \geq 0
$$

10. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = x + y का अधिकतमीकरण कीजिए:
$$
x - y \leq -1, \quad -x + y \leq 0, \quad x, \quad y \geq 0
$$

Accepted Answer

प्रश्न 1 से 10 तक के लिए ग्राफीय विधि द्वारा समाधान:

सामान्य विधि:
1. दिए गए अवरोधों को ग्राफ पर रेखांकित करें।
2. छेत्रफल (feasible region) निर्धारित करें जो सभी अवरोधों को संतुष्ट करता हो।
3. छेत्रफल के शीर्ष बिंदुओं (corner points) का पता लगाएं।
4. प्रत्येक शीर्ष बिंदु पर उद्देश्य फलन Z का मान निकालें।
5. अधिकतम या न्यूनतम मान चुनें जैसा प्रश्न में मांगा गया हो।

नीचे प्रत्येक प्रश्न का संक्षिप्त समाधान दिया गया है:

प्रश्न 1:
अवरोध: x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
छेत्रफल: x-अक्ष, y-अक्ष और रेखा x + y = 4 के नीचे त्रिभुज।
शीर्ष बिंदु: (0,0), (4,0), (0,4)
Z = 3x + 4y
Z(0,0)=0, Z(4,0)=12, Z(0,4)=16
अधिकतम Z = 16 पर (0,4)

प्रश्न 2:
अवरोध: x + 2y ≤ 8, 3x + 2y ≤ 12, x,y ≥ 0
शीर्ष बिंदु ज्ञात करें:
(0,0), (0,4), (4,2), (4,0)
Z = -3x + 4y
Z(0,0)=0, Z(0,4)=16, Z(4,2)=-12+8=-4, Z(4,0)=-12
न्यूनतम Z = -12 पर (4,0)

प्रश्न 3:
अवरोध: 3x + 5y ≤ 15, 5x + 2y ≤ 10, x,y ≥ 0
शीर्ष बिंदु:
(0,0), (0,3), (2,0), (10/7, 9/7)
Z=5x+3y
Z(0,0)=0, Z(0,3)=9, Z(2,0)=10, Z(10/7,9/7)=50/7+27/7=77/7=11
अधिकतम Z=11 पर (10/7,9/7)

प्रश्न 4:
अवरोध: x + 3y ≥ 3, x + y ≥ 2, x,y ≥ 0
छेत्रफल: इन रेखाओं के ऊपर क्षेत्र
शीर्ष बिंदु:
(0,3), (3,0), (1.5,0.5)
Z=3x+5y
Z(0,3)=15, Z(3,0)=9, Z(1.5,0.5)=3*1.5+5*0.5=4.5+2.5=7
न्यूनतम Z=7 पर (1.5,0.5)

प्रश्न 5:
अवरोध: x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 15, x,y ≥ 0
शीर्ष बिंदु:
(0,0), (0,5), (5,0), (4,3)
Z=3x+2y
Z(0,0)=0, Z(0,5)=10, Z(5,0)=15, Z(4,3)=12+6=18
न्यूनतम Z=0 पर (0,0)

प्रश्न 6:
अवरोध: 2x + y ≥ 3, x + 2y ≥ 6, x,y ≥ 0
छेत्रफल ऊपर
शीर्ष बिंदु:
(0,3), (3,0), (2,2)
Z=x+2y
Z(0,3)=6, Z(3,0)=3, Z(2,2)=2+4=6
न्यूनतम Z=3 पर (3,0)
यह दिखाइए कि न्यूनतम मान दो बिंदुओं से अधिक बिंदुओं पर घटित होता है।
यहाँ Z=6 पर (0,3) और (2,2) दोनों पर समान मान है, अतः न्यूनतम मान दो बिंदुओं से अधिक बिंदुओं पर घटित होता है।

प्रश्न 7:
अवरोध: x + 2y ≤ 120, x + y ≥ 60, x - 2y ≥ 0, x,y ≥ 0
शीर्ष बिंदु ज्ञात करें और Z=5x+10y का न्यूनतम और अधिकतम मान निकालें।

प्रश्न 8:
अवरोध: x + 2y ≥ 100, 2x - y ≤ 0, 2x + y ≤ 200, x,y ≥ 0
Z=x+2y का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात करें।

प्रश्न 9:
अवरोध: x ≥ 3, x + y ≥ 5, x + 2y ≥ 6, y ≥ 0
Z=-x + 2y का अधिकतम मान ज्ञात करें।

प्रश्न 10:
अवरोध: x - y ≤ -1, -x + y ≤ 0, x,y ≥ 0
Z=x + y का अधिकतम मान ज्ञात करें।

(प्रश्न 7 से 10 के लिए भी समान ग्राफीय विधि अपनाएं।)

सभी प्रश्नों के लिए ग्राफ बनाकर छेत्रफल निर्धारित करें, शीर्ष बिंदु ज्ञात करें, और उद्देश्य फलन के मान निकालकर अधिकतम/न्यूनतम मान निर्धारित करें। — प्रत्येक प्रश्न के लिए निम्नलिखित चरण अपनाएं:

1. अवरोधों को ग्राफ पर रेखांकित करें।
2. छेत्रफल (feasible region) निर्धारित करें जो सभी अवरोधों को संतुष्ट करता हो।
3. छेत्रफल के शीर्ष बिंदुओं (corner points) का पता लगाएं।
4. प्रत्येक शीर्ष बिंदु पर उद्देश्य फलन Z का मान निकालें।
5. अधिकतम या न्यूनतम मान चुनें जैसा प्रश्न में मांगा गया हो।

उदाहरण के लिए प्रश्न 1 में:
- अवरोध x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 के कारण छेत्रफल x-अक्ष, y-अक्ष और रेखा x + y = 4 के नीचे त्रिभुज होगा।
- शीर्ष बिंदु (0,0), (4,0), (0,4) हैं।
- Z = 3x + 4y के मान क्रमशः 0, 12, 16 हैं।
- अतः अधिकतम मान 16 है जो (0,4) पर होता है।

इसी प्रकार अन्य प्रश्नों के लिए भी अवरोधों की रेखाएं बनाकर छेत्रफल और शीर्ष बिंदु ज्ञात करें तथा उद्देश्य फलन के मान निकालें।

प्रश्न 6 में यह विशेष रूप से दिखाना होगा कि न्यूनतम मान दो से अधिक बिंदुओं पर घटित होता है, जो कि उद्देश्य फलन के मानों की तुलना से स्पष्ट होगा।

Question 3

रैखिक प्रोग्रामन समस्या में उद्देश्य फलन क्या होता है और इसे किस प्रकार व्यक्त किया जाता है?

Accepted Answer

उद्देश्य फलन वह रैखिक फलन होता है जिसे अधिकतम या न्यूनतम करना होता है। इसे $Z = ax + by$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ $a$ और $b$ अचर हैं और $x$, $y$ निर्णायक चर होते हैं। उदाहरण के लिए, फर्नीचर व्यापारी की समस्या में $Z = 250x + 75y$ उद्देश्य फलन है। — उद्देश्य फलन वह गणितीय अभिव्यक्ति है जो समस्या का लक्ष्य दर्शाती है, जैसे लाभ या लागत। इसे रैखिक रूप में व्यक्त किया जाता है ताकि अधिकतम या न्यूनतम मान ज्ञात किया जा सके। फर्नीचर व्यापारी के उदाहरण में, मेजों और कुर्सियों की संख्या के अनुसार लाभ को $Z = 250x + 75y$ के रूप में व्यक्त किया गया है।

Question 4

निम्नलिखित में से कौन सा कथन रैखिक प्रोग्रामन समस्या के सुसंगत क्षेत्र के लिए सही है?

A) सुसंगत क्षेत्र सदैव उत्तल बहुभुज होता है।
B) सुसंगत क्षेत्र में कोई भी बिंदु असुसंगत हल कहलाता है।
C) सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध क्षेत्र होता है।
D) सुसंगत क्षेत्र में केवल एक बिंदु होता है।

Accepted Answer

सुसंगत क्षेत्र सदैव उत्तल बहुभुज होता है। — सुसंगत क्षेत्र वह क्षेत्र होता है जहाँ सभी व्यवरोधों को संतुष्ट किया जाता है और यह उत्तल बहुभुज (convex polygon) होता है। असुसंगत हल सुसंगत क्षेत्र के बाहर के बिंदु होते हैं। सुसंगत क्षेत्र में अनेक बिंदु होते हैं, न कि केवल एक।

Question 5

फर्नीचर व्यापारी की समस्या में निवेश और संग्रहण के व्यवरोधों को रैखिक असमिकाओं के रूप में लिखिए।

Accepted Answer

निवेश व्यवरोध: $5x + y \leq 100$ (जहाँ $x$ मेजों की संख्या और $y$ कुर्सियों की संख्या है)।
संग्रहण व्यवरोध: $x + y \leq 60$।
साथ ही ऋणेतर व्यवरोध: $x \geq 0$, $y \geq 0$। — व्यापारी के पास Rs 50,000 निवेश के लिए और 60 वस्तुओं के लिए स्थान है। मेज की लागत Rs 2500 और कुर्सी की Rs 500 है। इसलिए निवेश व्यवरोध $2500x + 500y \leq 50000$ को $5x + y \leq 100$ में बदला गया। संग्रहण व्यवरोध वस्तुओं की संख्या का योग $x + y \leq 60$ है। ऋणेतर व्यवरोध यह सुनिश्चित करते हैं कि वस्तुओं की संख्या ऋणात्मक न हो।

Question 6

आकृति 12.1 में दर्शाए गए सुसंगत क्षेत्र OABC के कोनीय बिंदुओं के निर्देशांक क्या हैं?

आकृति में छायांकित क्षेत्र OABC एक उत्तल बहुभुज है, जिसके शीर्ष बिंदु अक्षांश और रेखांश पर स्थित हैं।

Accepted Answer

O(0,0), A(20,0), B(10,50), C(0,60) — आकृति 12.1 में सुसंगत क्षेत्र OABC के कोनीय बिंदु हैं: O(0,0), A(20,0), B(10,50), और C(0,60)। ये बिंदु व्यवरोधों के समीकरणों के प्रतिच्छेदन से प्राप्त होते हैं।

Question 7

फर्नीचर व्यापारी की समस्या में उद्देश्य फलन $Z = 250x + 75y$ का अधिकतम मान किस कोनीय बिंदु पर प्राप्त होता है और अधिकतम लाभ कितना होता है?

Accepted Answer

अधिकतम मान बिंदु B(10,50) पर प्राप्त होता है। इस बिंदु पर $Z = 250 	imes 10 + 75 	imes 50 = 6250$ रुपये है। अतः अधिकतम लाभ Rs 6250 है। — सुसंगत क्षेत्र के कोनीय बिंदुओं O, A, B, C पर उद्देश्य फलन के मान क्रमशः 0, 5000, 6250, और 4500 हैं। इनमें से सबसे बड़ा मान 6250 है जो बिंदु B(10,50) पर है। इसलिए व्यापारी को 10 मेज और 50 कुर्सियाँ खरीदनी चाहिए।

Question 8

निम्नलिखित में से कौन सा कथन प्रमेय 1 के अनुसार सही है?

A) रैखिक प्रोग्रामन समस्या का इष्टतम मान सुसंगत क्षेत्र के किसी भी बिंदु पर हो सकता है।
B) इष्टतम मान सुसंगत क्षेत्र के कोनीय बिंदु पर होता है।
C) इष्टतम मान सुसंगत क्षेत्र के बाहर होता है।
D) इष्टतम मान ऋणात्मक चरों के लिए ही होता है।

Accepted Answer

इष्टतम मान सुसंगत क्षेत्र के कोनीय बिंदु पर होता है। — प्रमेय 1 के अनुसार, जब रैखिक प्रोग्रामन समस्या का इष्टतम मान हो, तो वह सुसंगत क्षेत्र के कोनीय (corner) बिंदु पर स्थित होता है।

Question 9

आकृति 12.2 में दिए गए कोनीय बिंदुओं के निर्देशांक और उनके अनुसार $Z=4x + y$ के मान ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

O(0,0):0, A(30,0):120, B(20,30):110, C(0,50):50 — आकृति 12.2 के कोनीय बिंदु O(0,0), A(30,0), B(20,30), और C(0,50) हैं। $Z=4x + y$ के मान क्रमशः 0, 120, 110, और 50 हैं। अधिकतम मान 120 बिंदु A पर है।

Question 10

निम्नलिखित व्यवरोधों के अंतर्गत $Z=200x + 500y$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए:
1) $x + 2y \geq 10$
2) $3x + 4y \leq 24$
3) $x \geq 0, y \geq 0$

सुसंगत क्षेत्र के कोनीय बिंदु A(0,5), B(4,3), C(0,6) हैं।

Accepted Answer

न्यूनतम मान बिंदु B(4,3) पर प्राप्त होता है, जहाँ
$Z = 200 	imes 4 + 500 	imes 3 = 800 + 1500 = 2300$। — Given: व्यवरोध A(0,5), B(4,3), C(0,6)
Find: $Z=200x + 500y$ का न्यूनतम मान
Formula: $Z=200x + 500y$
Solution:
Step 1: A(0,5) पर $Z=200	imes0 + 500	imes5=2500$
Step 2: B(4,3) पर $Z=200	imes4 + 500	imes3=800 + 1500=2300$
Step 3: C(0,6) पर $Z=200	imes0 + 500	imes6=3000$
Answer: न्यूनतम मान 2300 है जो बिंदु B(4,3) पर है।
Note: सभी कोनीय बिंदुओं पर $Z$ का मान जांचना आवश्यक है।

Question 11

आकृति 12.4 में दर्शाए गए सुसंगत क्षेत्र ABCD के कोनीय बिंदुओं के निर्देशांक क्या हैं और उद्देश्य फलन $Z=3x + 9y$ के न्यूनतम एवं अधिकतम मान कौन से बिंदुओं पर प्राप्त होते हैं?

Accepted Answer

A(0,10), B(5,5), C(15,15), D(0,20); न्यूनतम B(5,5) पर 60, अधिकतम C(15,15) और D(0,20) पर 180 — आकृति 12.4 में सुसंगत क्षेत्र ABCD के कोनीय बिंदु A(0,10), B(5,5), C(15,15), और D(0,20) हैं। $Z=3x + 9y$ का न्यूनतम मान 60 बिंदु B(5,5) पर और अधिकतम मान 180 बिंदु C और D दोनों पर समान रूप से प्राप्त होता है।

Question 12

निम्नलिखित व्यवरोधों के अंतर्गत उद्देश्य फलन $Z = -50x + 20y$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए:
1) $2x - y \geq -5$
2) $3x + y \geq 3$
3) $2x - 3y \leq 12$
4) $x \geq 0, y \geq 0$

सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। कोनीय बिंदु (0,5), (0,3), (1,0), (6,0) हैं।

Accepted Answer

कोनीय बिंदु (6,0) पर $Z$ का सबसे कम मान $-300$ है। परंतु चूंकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है और $Z < -300$ के लिए क्षेत्र में बिंदु मौजूद हैं, इसलिए $-300$ न्यूनतम मान नहीं है। — Given: व्यवरोध और कोनीय बिंदु (0,5), (0,3), (1,0), (6,0)
Find: $Z = -50x + 20y$ का न्यूनतम मान
Formula: $Z = -50x + 20y$
Solution:
Step 1: (0,5) पर $Z= -50	imes0 + 20	imes5=100$
Step 2: (0,3) पर $Z=60$
Step 3: (1,0) पर $Z=-50$
Step 4: (6,0) पर $Z=-300$
Step 5: चूंकि क्षेत्र अपरिबद्ध है, $Z < -300$ के लिए क्षेत्र में बिंदु हैं, अतः $-300$ न्यूनतम मान नहीं है।
Answer: न्यूनतम मान अस्तित्व में नहीं है।
Note: अपरिबद्ध क्षेत्र में इष्टतम मान की उपस्थिति जाँच आवश्यक है।

Question 13

निम्नलिखित व्यवरोधों के अंतर्गत उद्देश्य फलन $Z = 3x + 2y$ का न्यूनतमीकरण कीजिए:
1) $x + y \geq 8$
2) $3x + 5y \leq 15$
3) $x \geq 0, y \geq 0$

क्या इस समस्या का कोई सुसंगत हल है? कारण सहित बताइए।

Accepted Answer

इस समस्या का कोई सुसंगत हल नहीं है क्योंकि कोई ऐसा बिंदु नहीं है जो सभी व्यवरोधों को एक साथ संतुष्ट कर सके। अतः समस्या असुसंगत है। उदाहरण के लिए, $x + y \geq 8$ और $3x + 5y \leq 15$ के कारण कोई ऐसा क्षेत्र नहीं बनता जो दोनों को पूरा करे। — जब व्यवरोधों के निकाय का आरेख खींचा जाता है, तो कोई ऐसा क्षेत्र नहीं बनता जो सभी असमिकाओं को संतुष्ट करता हो। इसलिए समस्या का कोई सुसंगत हल नहीं होता। इसे असुसंगत समस्या कहते हैं। इस स्थिति में उद्देश्य फलन का इष्टतम मान ज्ञात नहीं किया जा सकता।

Question 14

रैखिक प्रोग्रामन समस्या में ऋणेतर व्यवरोध क्या होते हैं? उदाहरण के साथ समझाइए।

Accepted Answer

ऋणेतर व्यवरोध वे असमिकाएँ होती हैं जो चरों को ऋणात्मक मान लेने से रोकती हैं। उदाहरण के लिए, $x \geq 0$ और $y \geq 0$ ऐसे व्यवरोध हैं जो मेजों और कुर्सियों की संख्या को ऋणात्मक होने से रोकते हैं। — रैखिक प्रोग्रामन में चरों को वास्तविक जीवन की सीमाओं के अनुसार ऋणात्मक नहीं माना जाता। इसलिए $x$ और $y$ जैसे चरों के लिए $x \geq 0$ और $y \geq 0$ को ऋणेतर व्यवरोध कहते हैं। ये व्यवरोध समस्या के सुसंगत क्षेत्र को सीमित करते हैं।

Chapter 6

Chapter 6 — अध्ययन नोट्स

12.1 भूमिका (Introduction)

12.2 रैखिक प्रोग्रामन समस्या और उसका गणितीय सूत्रीकरण (Linear Programming Problem and its Mathematical Formulation)

12.2.2 रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को हल करने की आलेखीय विधि (Graphical Method of Solving Linear Programming Problems)

अभ्यास प्रश्न — Chapter 6

Ganit-II के सभी 7 अध्याय