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रैखिक प्रोग्रामन | Class 12 Mathematics Notes

द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 5 मिनट का पठन

रैखिक प्रोग्रामन – this guide gives you a concise, exam-ready overview of रैखिक प्रोग्रामन from Class 12 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.

12.2 रैखिक प्रोग्रामन समस्या और उसका गणितीय सूत्रीकरण (Linear Programming Problem and its Mathematical Formulation)

इस अनुभाग में रैखिक प्रोग्रामन समस्या को गणितीय रूप में व्यक्त करने की प्रक्रिया समझाई गई है। उदाहरण के तौर पर एक फर्नीचर व्यापारी की समस्या ली गई है, जिसमें मेजों की संख्या x और कुर्सियों की संख्या y को निर्णायक चर माना गया है।

व्यापारी के पास निवेश के लिए सीमित धनराशि Rs 50,000 और संग्रहण के लिए 60 वस्तुओं की जगह है। एक मेज की लागत Rs 2500 और एक कुर्सी की लागत Rs 500 है। लाभ क्रमशः Rs 250 प्रति मेज और Rs 75 प्रति कुर्सी है।

व्यापारी के निवेश और संग्रहण के व्यवरोधों को रैखिक असमिकाओं के रूप में व्यक्त किया गया है:

निवेश व्यवरोध: 2500x + 500y ≤ 50,000
संग्रहण व्यवरोध: x + y ≤ 60
ऋणेतर व्यवरोध: x ≥ 0, y ≥ 0

उद्देश्य फलन Z = 250x + 75y है, जिसका अधिकतम मान ज्ञात करना है। इस प्रकार समस्या का गणितीय रूपांतरण पूर्ण होता है।

यहाँ x और y की ऋणात्मक मान संभव नहीं हैं, इसलिए ये ऋणेतर व्यवरोध हैं। इस प्रकार रैखिक प्रोग्रामन समस्या में उद्देश्य फलन और व्यवरोध सभी रैखिक होते हैं।

🧪 Activity: इस अनुभाग में कोई विशेष गतिविधि नहीं है।

🔗 Connection: यह गणितीय सूत्रीकरण रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को हल करने के लिए आलेखीय विधि की ओर ले जाता है, जिसे अगले उपखंड में समझाया गया है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

आलेख द्वारा निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए: निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत $$ x + y \leq 50 \quad \dots (1) $$ $$ 3x + y \leq 90 \quad \dots (2) $$ $$ x \geq 0, y \geq 0 \quad \dots (3) $$ Z = 4x + y का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए:

हल: आकृति 12.2 में छायांकित क्षेत्र (1) से (3) के व्यवरोधों के निकाय के द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र है। हम निरीक्षण करते हैं कि सुसंगत क्षेत्र OABC परिबद्ध है। इसलिए हम Z का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए कोनीय बिंदु विधि का उपयोग करेंगे।

कोनीय बिंदु और Z के मान:

कोनीय बिंदु	Z के संगत मान
(0, 0)	0
(30, 0)	120 ← अधिकतम
(20, 30)	110
(0, 50)	50

कॉनीय बिंदुओं O, A, B और C के निर्देशां

ग्राफ्रीय विधि से निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को हल कीजिए: 1. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 3x + 4y का अधिकतमीकरण कीजिए: $$ x + y \leq 4, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0 $$ 2. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = -3x + 4y का न्यूनतमीकरण कीजिए: $$ x + 2y \leq 8, \quad 3x + 2y \leq 12, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0 $$ 3. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 5x + 3y का अधिकतमीकरण कीजिए: $$ 3x + 5y \leq 15, \quad 5x + 2y \leq 10, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0 $$ 4. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 3x + 5y का न्यूनतमीकरण कीजिए: $$ x + 3y \geq 3, \quad x + y \geq 2, \quad x, \quad y \geq 0 $$ 5. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 3x + 2y का न्यूनतमीकरण कीजिए: $$ x + 2y \leq 10, \quad 3x + y \leq 15, \quad x, \quad y \geq 0 $$ 6. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण कीजिए: $$ 2x + y \geq 3, \quad x + 2y \geq 6, \quad x, \quad y \geq 0 $$ दिखाइए कि Z का न्यूनतम मान दो बिंदुओं से अधिक बिंदुओं पर घटित होता है। 7. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 5x + 10y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए: $$ x + 2y \leq 120, \quad x + y \geq 60, \quad x - 2y \geq 0, \quad x, \quad y \geq 0 $$ 8. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए: $$ x + 2y \geq 100, \quad 2x - y \leq 0, \quad 2x + y \leq 200; \quad x, \quad y \geq 0 $$ 9. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = -x + 2y का अधिकतमीकरण कीजिए: $$ x \geq 3, \quad x + y \geq 5, \quad x + 2y \geq 6, \quad y \geq 0 $$ 10. निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = x + y का अधिकतमीकरण कीजिए: $$ x - y \leq -1, \quad -x + y \leq 0, \quad x, \quad y \geq 0 $$

प्रश्न 1 से 10 तक के लिए ग्राफीय विधि द्वारा समाधान:

सामान्य विधि: 1. दिए गए अवरोधों को ग्राफ पर रेखांकित करें। 2. छेत्रफल (feasible region) निर्धारित करें जो सभी अवरोधों को संतुष्ट करता हो। 3. छेत्रफल के शीर्ष बिंदुओं (corner points) का पता लगाएं। 4. प्रत्येक शीर्ष बिंदु पर उद्देश्य फलन Z का मान निकालें। 5. अधिकतम या न्यूनतम मान चुनें जैसा प्रश्न में मांगा गया हो।

नीचे प्रत्येक प्रश्न का संक्षिप्त समाधान दिया गया है:

प्रश्न 1: अवरोध: x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 छेत्रफल: x-अक्ष, y-अक्ष और रेखा x

रैखिक प्रोग्रामन समस्या में उद्देश्य फलन क्या होता है और इसे किस प्रकार व्यक्त किया जाता है?

उद्देश्य फलन वह रैखिक फलन होता है जिसे अधिकतम या न्यूनतम करना होता है। इसे $Z = ax + by$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ $a$ और $b$ अचर हैं और $x$, $y$ निर्णायक चर होते हैं। उदाहरण के लिए, फर्नीचर व्यापारी की समस्या में $Z = 250x + 75y$ उद्देश्य फलन है।

निम्नलिखित में से कौन सा कथन रैखिक प्रोग्रामन समस्या के सुसंगत क्षेत्र के लिए सही है? A) सुसंगत क्षेत्र सदैव उत्तल बहुभुज होता है। B) सुसंगत क्षेत्र में कोई भी बिंदु असुसंगत हल कहलाता है। C) सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध क्षेत्र होता है। D) सुसंगत क्षेत्र में केवल एक बिंदु होता है।

सुसंगत क्षेत्र सदैव उत्तल बहुभुज होता है।

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