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त्रि-विमीय ज्यामिति | Class 12 Mathematics Notes

द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 3 मिनट का पठन

त्रि-विमीय ज्यामिति – this guide gives you a concise, exam-ready overview of त्रि-विमीय ज्यामिति from Class 12 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.

11.5 दो रेखाओं के मध्य न्यूनतम दूरी (Shortest Distance between two lines)

अंतरिक्ष में दो रेखाएँ या तो प्रतिच्छेदी होती हैं, समांतर होती हैं, या विषमतलीय (skew) होती हैं।

(i) यदि रेखाएँ प्रतिच्छेदी हैं, तो उनकी न्यूनतम दूरी शून्य होती है।

(ii) यदि वे समांतर हैं, तो उनकी न्यूनतम दूरी उनके बीच लंबवत दूरी होती है।

(iii) विषमतलीय रेखाएँ वे होती हैं जो न तो समांतर होती हैं और न ही प्रतिच्छेदी। इन रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी वह लंबवत रेखाखंड होता है जो दोनों रेखाओं पर लंब होता है।

दो विषमतलीय रेखाओं l₁: r = a₁ + λ b₁ और l₂: r = a₂ + μ b₂ के बीच की न्यूनतम दूरी d निम्नलिखित सदिश सूत्र द्वारा दी जाती है:

d = |((b₁ × b₂) · (a₂ - a₁))| / |b₁ × b₂|

जहाँ × सदिश गुणनफल और · डॉट गुणनफल है।

यदि दो रेखाएँ समांतर हैं, तो उनकी दूरी:

d = |(b × (a₂ - a₁))| / |b|

जहाँ b दोनों रेखाओं का समान दिक्-अनुपात है।

📊 Diagram: See figure_7: आकृति 11.5; See figure_8: आकृति 11.6; See figure_9: मान लीजिए कि सदिशों \overrightarrow{ST} और \vec{b} के बीच का कोण θ है। तब,

🧪 Activity: छात्रों को विषमतलीय और समांतर रेखाओं के बीच दूरी निकालने के लिए सदिश विधि का अभ्यास दिया जाता है।

🔗 Connection: यह खंड प्रश्नावली और सारांश के लिए आधार प्रदान करता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

1. यदि एक रेखा $x, y$ और $z$-अक्ष के साथ क्रमशः $90^\circ, 135^\circ, 45^\circ$ के कोण बनाती है तो इसकी दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।

दिक्-कोसाइन वे कोसाइन होते हैं जो रेखा द्वारा x, y और z-अक्षों के साथ बनाये गए कोणों के होते हैं।

दी गई कोण हैं: $90^\circ, 135^\circ, 45^\circ$

इसलिए, दिक्-कोसाइन होंगे: \[ \cos 90^\circ = 0, \quad \cos 135^\circ = -\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

अतः दिक्-कोसाइन हैं $0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}$।

2. एक रेखा की दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए जो निर्देशांशों के साथ समान कोण बनाती है।

यदि रेखा निर्देशांशों के साथ समान कोण बनाती है, तो सभी कोण बराबर होंगे।

चूंकि दिक्-कोसाइन $l, m, n$ हैं और $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।

यदि सभी समान हैं, तो $l = m = n = x$ कहें।

तो, $3x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

अतः दिक्-कोसाइन हैं $\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}$ या उनके ऋणात्मक मान।

3. यदि एक रेखा के दिक्-अनुपात $-18, 12, -4$, हैं तो इसकी दिक्-कोसाइन क्या हैं?

दिए गए दिक्-अनुपात हैं: $-18, 12, -4$

दिक्-कोसाइन निकालने के लिए पहले इनका मान निकालते हैं:

\[ \sqrt{(-18)^2 + 12^2 + (-4)^2} = \sqrt{324 + 144 + 16} = \sqrt{484} = 22 \]

अतः दिक्-कोसाइन होंगे:

\[ \frac{-18}{22} = -\frac{9}{11}, \quad \frac{12}{22} = \frac{6}{11}, \quad \frac{-4}{22} = -\frac{2}{11} \]

अतः दिक्-कोसाइन हैं $-\frac{9}{11}, \frac{6}{11}, -\frac{2}{11}$।

4. दर्शाइए कि बिंदु $(2, 3, 4), (-1, -2, 1), (5, 8, 7)$ सरेख हैं।

बिंदु हैं: $A(2,3,4), B(-1,-2,1), C(5,8,7)$

सरेखता जांचने के लिए, देखें कि $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{BC}$ सदिश अनुपात में हैं या नहीं।

\[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 2, -2 - 3, 1 - 4) = (-3, -5, -3) \]

\[ \overrightarrow{BC} = C - B = (5 + 1, 8 + 2, 7 - 1) = (6, 10, 6) \]

अब देखें कि क्या $\overrightarrow{BC} = k \overrightarrow{AB}$ के लिए कोई वास्तविक संख्या $k$ है:

\[ \frac{6}{-3} = -2, \quad \frac{10}{-5} = -2, \quad \frac{6}{-3} = -2 \]

सभी अनुपात समा

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